Законы и методы анализа цепей

1.5.1. Законы электротехники

Для расчета цепей недостаточно знать рассмотренные выше в п. 1.2
три уравнения элементов (1.5), (1.7), (1.11). В сложной цепи в общем случае токи
и напряжения на элементах оказываются связанными друг с другом.

Важным является закон Ома записанный, например, в форме выражения (1.5), позволяющий находить связь напряжения и токов в простых ветвях.

Для описаниявзаимосвязи токов напряжений на разных ветвях используются уравнения соединений (законы Кирхгофа).

Первое уравнение соединений (первый закон Кирхгофа)устанавливает взаимосвязь токов в узле (рис. 1.23).

Рис. 1.23. Электрическое соединение – узел

В узле заряды не могут накапливаться или исчезать. Для узла выполняется закон сохранения заряда — сколько зарядов переносится к узлу втекающими токами, столько же зарядов выходит из узла. После дифференцирования по времени уравнений, описывающих заряды, получаем первый закон Кирхгофа
(первое уравнение соединений): сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, вытекающих из узла. Для узла, объединяющего m ветвей, по которым протекают токи , используется следующая математическая запись первого закона Кирхгофа:

(1.18)

где втекающие токи берутся со знаком плюс, а вытекающие — со знаком минус
или наоборот. Например, для узла, изображенного на рис. 1.23получим:

Второе уравнение соединений (второй закон Кирхгофа) устанавливает взаимосвязь напряжений и ЭДС в контурах цепи. Рассмотрим прохождение положительного заряда по контуру (рис. 1.24), направление обхода которого указывается стрелкой.

Рис. 1.24. Электрическое соединение – контур

По закону сохранения энергии работа сторонних сил в этом контуре должна быть равна работе сил электрического поля. Продифференцировав уравнение, связывающее эти энергии (работы), по заряду, получим соотношение:

— второй закон Кирхгофа. Если стрелка напряжения или ЭДС противоположна направлению обхода, то эти ЭДС или напряжение должны записываться в формулу со знаком минус.

Обобщая полученное соотношение для сложного контура, содержащего произвольное число элементов, получим следующую формулировку второго закона Кирхгофа (второго уравнения соединения): в любом контуре цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений. Если стрелки ЭДС или напряжения не совпадают с направлением обхода, то в соответствующую сумму они записываются со знаком минус. Для контура, включающего р ЭДС и ветвей, используется следующая математическая запись второго закона Кирхгофа:

(1.19)

где при согласованных стрелках направления обхода и напряжения на ветви
или ЭДС ставится плюс, а при несогласованных — минус.

Для расчета линейной электрической цепи любой конечной сложности достаточно использовать два уравнения соединений и рассмотренные в параграфе уравнения элементов (1.5), (1.7), (1.11).

Рассмотрим использование этих уравнений для описания процессов цепи, схема которой изображена на рис. 1.24 записывая для контура этой цепи второй закон Кирхгофа: и учитывая уравнения элементов, получим интегро-дифференциальное уравнение цепи . Дифференцируя это выражение, получим дифференциальное уравнение электрической цепи для одной из неизвестных величин — тока цепи:

Коэффициенты этого уравнения являются константами и определяются параметрами элементов схемы. В правой части таких уравнений записываются члены, содержащие заданные токи или напряжения. Полученное выражение называется неоднородным линейным дифференциальным уравнением цепи. Легко убедиться в том, что процессы в любой другой линейной электрической цепи также описываются неоднородными линейными дифференциальными уравнениями. Общие методы решения этих уравнений излагаются в курсе математического анализа. Отдельные, наиболее часто используемые в электротехнике
и радиоэлектронике методы решения этих уравнений рассматриваются ниже.

Если в цепи имеется хотя бы один нелинейный элемент, то цепь становится нелинейной. Нелинейная цепь описывается нелинейным дифференциальным уравнением. Для параметрической цепи, содержащей, по крайней мере, один параметрический элемент, получим параметрическое дифференциальное уравнение.

Для линейной электрической цепи справедлив принцип суперпозиции (наложения). Поясним этот принцип на примере цепи, схема которой изображена на рис. 1.25.

Рис. 1.25. Схема с двумя источниками ЭДС

В цепи, включающей последовательно соединенные резистор, катушку
и конденсатор, действуют два сигнала: и . В контуре цепи как реакция
на эти два сигнала возникает результирующий ток .

Пусть на цепь воздействует только один сигнал (сигнал равен нулю). Дифференциальное уравнение для тока, возникающего под действием ЭДС имеет вид:

Пусть теперь напряжение равно нулю и на цепь воздействует сигнал Дифференциальное уравнение для тока возникающего под действием ЭДС , имеет аналогичный вид:

Суммируя левые и правые части этих уравнений и используя известные свойства интеграла и производной — интеграл или производная от суммы функций равны сумме интегралов или производных от каждой из функций, окончательно получим:

Из анализа формулы следует, что воздействие суммы сигналов вызывает появление реакции — результирующего тока , равно сумме токов возникающих от каждого из сигналов в отдельности.
Обобщая полученные результаты на сложные линейные цепи при воздействии нескольких источников, получим принцип суперпозиции: реакция на сумму воздействий в линейной цепи равна алгебраической сумме реакций на каждое из воздействий в отдельности. Заметим, что для нелинейных цепей принцип суперпозиции несправедлив.

Принцип суперпозиции часто используется для расчета цепей, содержащих несколько источников тока и (или) напряжения, например, в радиотехнике процесс модуляции. Неиспользуемые источники при расчете реакции на одно воздействие исключаются следующим образом: источники напряжения — методом замыкания выводов (короткого замыкания), а источники тока методом разрыва ветви (холостого хода).

Этот принцип суперпозиции широко используется на практике инженерами. Например, при расчете усилительного каскада (рис. 1.26) отдельно анализируют работу каскада на транзисторе в режиме постоянного тока (статический режим), который определяется напряжениями смещения и питания , и отдельно рассчитывают напряжения и токи, обусловленные воздействием на усилитель входного сигнала (динамический режим). Полный анализ состоит
в "наложении" указанных режимов.

Рис. 1.26. Транзисторный усилительный каскад

Наряду с принципом суперпозиции при анализе и расчете ЭЦ полезны теорема (взаимности) и теорема (принцип) компенсации. Не приводя доказательств, запишем только формулировки этих теорем.

Теорема обратимости (взаимности): если ЭДС, включенная на входе линейной цепи, вызывает некоторый ток на выходе, то та же ЭДС, перенесенная
на выход, вызывает на входе цепи ток такой же величины и фазы. Эта теорема справедлива только для обратимых электрических цепей, матрицы сопротивлений или проводимостей которых симметричны относительно главной диагонали. Доказательство этой теоремы можно легко провести самостоятельно. Для этого необходимо записать контурные уравнения для двух цепей. В первой цепи источник напряжения включается во входной контур, а во второй цепи этот источник перенесен в контур на выходе цепи. Решая контурные уравнения, находим
и сравниваем контурные токи во входном и выходном контурах.

К обратимым цепям относятся пассивные электрические цепи, не содержащие источников. Простой пример цепи, где действует теорема обратимости, — двухпроводная (телефонная) линия связи с двумя абонентами. Очевидно, что такая линия передачи информации обратима и абонентов в этой линии можно поменять местами.

Теорема компенсаций токи в электрической цепи не изменятся, если любой участок цепи заменить "компенсационной" ЭДС, равной по величине напряжению на данном участке и направленной навстречу этому напряжению. Доказательство этой теоремы следует из рассмотрения уравнений цепи, записанных
с использованием второго закона Кирхгофа. Напряжения в этих уравнениях, если их перенести в другую часть равенства, можно рассматривать как ЭДС. Отметим,
что эти компенсационные ЭДС, включаемые в цепь, будут зависимыми источниками напряжения.

1.5.2. Методы анализа цепей

Законы электротехники Ома, I и II Кирхгофа реализуются в методах анализа ЭЦ. Методы, применяемые для расчета реакции цепи на то или иное воздействие, зависят от вида воздействия, источника энергии.

Если воздействие не зависит от времени, находится в режиме постоянного тока. При этом все индуктивности в цепи представляются, как известно, короткими замыканиями (т.е. отрезками проводов), а все емкости — разрывами цепи. Оставшиеся в эквивалентной схеме резистивные сопротивления образуют чисто резистивную цепь. Нахождение напряжений и токов в такой цепи от любых источников не представляет сложностей. Методы расчета электрических цепей
в режиме постоянного тока хорошо описаны в литературе [3, 4, 10].
С математической точки зрения — это методы решения систем линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами.

Неизменное во времени воздействие (т.е. постоянный ток или постоянное напряжение) характеризуется только одним параметром — величиной
или значением этого воздействия. Когда же в качестве воздействия рассматривается гармоническое колебание, то необходимо учитывать в общем случае
три параметра его — амплитуду, частоту и начальную фазу. Линейная электрическая цепь обладает замечательным свойством: все ее реакции
на гармоническое воздействие будут гармоническими и будут иметь ту же частоту, что и воздействие. Таким образом, линейная электрическая цепь не изменяет частоту гармонических колебаний в ней. Кроме того, при наличии в цепи нескольких источников гармонических напряжений и токов одной и той же частоты все реакции цепи будут также гармоническими реакциями той же самой частоты.

Следует заметить, что при гармоническом воздействии на линейную электрическую цепь расчет напряжений на элементах и токов в ветвях усложняется. Дело в том, что реактивные элементы (индуктивность и емкость) оказывают влияние не только на амплитуду гармонической реакции, но и изменяют
ее начальную фазу. Из трех параметров гармонического колебания (амплитуда, частота и начальная фаза) два подвергаются изменению. Изменение амплитуды
и начальной фазы гармонического колебания легко отразить в виде изменения длины и положения вектора на комплексной плоскости. Действительно, у вектора, как и гармонического колебания, может изменяться величина и фазовый угол, отсчитываемый от какой-либо оси.

При заданной частоте гармонических колебаний в цепи воздействия представляются комплексными числами (или векторами на комплексной плоскости при графическом изображении). Реакции цепи будут представляться также комплексными числами, но с другими амплитудами и начальными фазами. Задача анализа цепи — найти эти амплитуды и начальные фазы.

Представление воздействий и реакций в виде комплексных чисел позволяет использовать для расчета (анализа) цепи тот же арсенал методов, который используется для цепей с постоянными воздействиями, с той лишь разницей,
что алгебраические операции производятся над комплексными числами. Стандартные, методы расчета линейной цепи сводятся обычно к решению систем линейных алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами
и комплексными переменными. Примеры анализа линейных цепей
при гармонических воздействиях даны в гл. 3.

Тот факт, что периодическое воздействие сложной формы можно представить в виде суммы гармонических колебаний разных частот, лежит в основе расчета цепей с источниками периодических негармонических сигналов (например, последовательностей прямоугольных, пилообразных, треугольных и тому подобных импульсов). Из математики известно, что представление периодической функции суммой гармонических колебаний называется разложением этой функции
в ряд Фурье. Таким образом, математический аппарат рядов Фурье — наиболее приемлемый аппарат для представления периодических воздействий сложной формы.

Набор гармонических колебаний кратных частот, описывающий периодический сигнал, называется спектром этого сигнала. Анализ изменения спектра сигнала на выходе цепи по сравнению со спектром входного сигнала позволяет сказать, как изменился сам сигнал при прохождении его по цепи.
В работах [1, 4, 10] рассмотрены вопросы анализа линейных электрических цепей
при воздействии на них периодических сигналов сложной формы.

Адекватным математическим аппаратов для представления непериодических воздействий является интегралом Фурье.

Два интегральных преобразования Фурье (прямое и обратное) позволяют
по форме сигнала определять его комплексный спектр, а по спектру — форму сигнала. Анализ электрической цепи при непериодическом воздействии сводится
к нахождению спектра реакции цепи на это воздействие, а затем и самой реакции.

Расчет реакции линейной цепи с источниками непериодических сигналов, называемый спектральным анализом, подробно описан в работах [1, 2, 8, 9].

Обобщением интегральных преобразований Фурье являются интегральные преобразования Лапласа, которые позволяют определять операторные изображения воздействий и, наоборот, форму воздействий по их изображениям. Поэтому вместо спектрального анализа цепи может быть проведен операторный анализ, суть которого состоит в отыскании сначала операторного изображения реакции, а затем с помощью обратного преобразования Лапласа — реакции цепи
на непериодическое воздействие. Методы операторного анализа изложены в [1, 9].

Существует прямой путь вычисления реакции цепи на воздействие, не при­бегая к определению спектров или изображений сигналов. В математике известны так называемые интегралы свертки, которые дают возможность найти реакцию цепи на непериодическое воздействие путем прямого вычисления интеграла свертки. Анализ линейных цепей с помощью интегралов свертки, или временной метод анализа, изучается в [1, 8, 9].

На практике часто встречаются случаи, когда в цепи происходят коммутации. Коммутацией принято называть любое изменение параметров цепи, ее конфи­гурации, подключение или отключение источников, приводящие к возникновению переходных процессов. Анализ переходных процессов приведен в [1, 3, 4, 9].
Этот анализ может быть выполнен любым из трех методов: спектральным, временным или операторным.

Если цепь содержит нелинейные резисторы (диоды, транзисторы), то чаще всего используют графоаналитические методы расчета. Как правило, в цепях
с нелинейными элементами не действует принцип суперпозиции. Ток нелинейного элемента содержит гармоники, которых не было во входном сигнале.
Методам анализа нелинейных резистивных цепей посвящены работы [1, 3, 4, 9, 10].

Подобно тому, как аналоговые воздействия были представлены преобразованиями Фурье и Лапласа, дискретные воздействия представляются
Z -преобразованием. Дискретные цепи описываются во временной области разностными уравнениями, а на комплексной плоскости — передаточной комплексной функцией Z. Расчет реакции дискретной цепи на дискретное воздействие может быть осуществлен как временным методом, так и с помощью передаточной функции и Z -преобразования.Методы анализа дискретных цепей описаны в [1, 9].

Основные положения, изложенные в п. 1.5 материалов:

· В основе методов анализа цепей лежат законы электротехники: закон Ома, I и II законы Кирхгофа. · В соответствии с законом токов, (I-й закон Кирхгофа), алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле цепи, ровна нулю. Токи, одинаково ориентированные относительно узла, записываются с одинаковыми знаками. · В соответствии с законом напряжении (II-й закон Кирхгофа), алгебраическая сумма напряжений ветвей в контуре равна нулю. Напряжения записываются со знаком «плюс», если их направление совпадает с направлением обхода контура, и со знаком «минус», если не совпадает. · Принцип суперпозиции позволяет рассчитывать реакцию линейной цепи на отдельные воздействия, а затем находить полную реакцию как сумму отдельных реакций. · Методы анализа цепи зависят от вида воздействия, источника энергии. · Расчет реакции резистивной цепи в режиме постоянного воздействия сводится к решению систем линейных уравнений с вещественными коэффициентами. · Реакция цепи на гармоническое воздействие рассчитывается в результате составления и решения систем линейных уравнений с комплексными коэффициентами и переменными. · Периодическое воздействие сложной формы можно представить, как сумму гармонических колебаний кратных частот, разложив его в ряд Фурье. Расчет реакции цепи на такое воздействие производится методом наложения. · Существует три метода анализа цепи на непериодическое воздействие сложной формы: спектральный, операторный, временной. · Спектральный метод основан на применении преобразований Фурье. Вначале определяют спектр реакции цепи, а затем саму реакцию. · В операторном методе используется интегральное преобразование Лапласа. Рассчитывается изображение реакции, а затем сама реакция. · Временной метод позволяет сразу же определить реакцию цепи, используя интеграл свертки. · Расчет реакции цепи на воздействие, изменяющееся скачкообразно, также может быть рассчитано временным, операторным или спектральным методами. · Для расчета реакций нелинейных резистивных цепей на постоянное и гармоническое воздействия используются в основном графоаналитические методы. · Для описания дискретных сигналов используется Z -преобразование. Реакция дискретной цепи на дискретное воздействие рассчитывается либо с помощью разностных уравнений, либо с использованием передаточных функций.

1.6. Вопросы и задания для самопроверки

1. Сформулируйте законы Кирхгофа и Ома.

2. Дайте определение тока, напряжения, ЭДС, электрического потенциала, разности потенциалов.

3. Поясните физические процессы, происходящие в простейшей замкнутой электрической цепи.

4. Поясните, что такое ветвь, узел, контур электрической цепи.

5. Перечислите особенности согласованного режима, режимов холостого хода и короткого замыкания.

6. Когда при расчетах токи и напряжения в цепи получаются отрицательными? Что означает отрицательное значение тока или напряжения?

7. Что показывает стрелка положительного направления для переменного тока, значения которого могут быть как положительными, так и отрицательными?

8. Рассматривая простейшие конструкции катушки и конденсатора и силовые линии полей в них, определить элемент, который при прочих равных условиях легче обнаружить.

9. Рассчитайте ток через конденсатор, если напряжение на нем линейно возрастает с течением времени.

10. Докажите, что напряжения на конденсаторах и токи через катушки индуктивности не могут изменяться скачками.

11. Найдите напряжение на катушке, если ток через нее возрастает с течением времени по линейному закону (по экспоненциальному закону, квадратично).

12. Когда в первое уравнение соединений для узла (первый закон Кирхгофа) токи записываются со знаком минус? Поясните это правило, исходя из закона сохранения заряда.

13. В каком случае во второе уравнение соединений (второй закон Кирхгофа) напряжения и ЭДС записываются со знаком минус? Поясните это правило, исходя из закона сохранения энергии (работы).

14. В какой цепи мгновенная мощность электрического тока может быть отрицательной? Что означает отрицательная величина мгновенной мощности?

15. Почему для съема информации с участка цепи удобнее использовать вольтметры, амперметры?

16. Как известно, наиболее часто встречающаяся неисправность
в электрических цепях — обрыв цепи. Какой принцип в этом случае использовать при проектировании устройства охраны — обнаруживать обрыв или короткое замыкание в контрольной цепи охраняемого объекта?