Суперстатистика в анализе стохастических трасс

Мы установили, что статистические свойства открытого оптического канала передачи данных принципиальны в решении задач прогнозирования искажений диаграммы направленности сигнальных пучков, частотных параметров искажений интенсивности в заданной апертуре, технических решениях для служебных каналов. Использование статистического аппарата квазистационарных состояний для протяженных трасс, а также для среднемагистральных, развернутых в условиях городской застройки, не обеспечивает должной степени надежности прогноза на требуемом временном интервале из-за существенно разных временных масштабов развивающихся на трассе турбулентных процессов.

В последние годы для описания сложных систем интенсивно развивается концепция суперстатистики. Ее основная идея состоит в том, что сложная система описывается как суперпозиция нескольких подсистем, каждая из которых эволюционирует в собственном временном масштабе. Суперстатистический подход требует наличия достаточного «разделения» временной шкалы таким образом, что система имеет возможность «релаксации» в локальном состоянии равновесия и пребывания в нем в течение некоторого промежутка времени. Если такое необходимое разделение временной шкалы имеет место, суперстатистические модели обеспечивают эффективное описание наблюдаемых процессов.

 

Статистики Больцмана и Тсаллиса

 

Статистические модели нестационарной неравновесной среды создаются на основе динамических закономерностей энерго- и массопереноса. Для такого рода систем малопригодны априорные положения о равнораспределении энергии между различными степенями свободы или о равной вероятности заполнения доступных состояний.

Рассмотрим последовательно набор утверждений классической статистики Больцмана и обоснуем переход к статистике Тсаллиса.

Статистика Больцмана

 

Пусть у нас имеется идеальный газ Состояние каждой из N частиц описывается в шестимерном фазовом пространстве ( - пространстве) через вектор координаты и вектор скорости . Разобьем фазовое пространство на W бесконечно малых полностью заполняющих его и непересекающихся ячеек, число которых существенно меньше числа частиц . Любая ячейка может содержать в заданный момент времени частиц, обладающих запасом кинетической энергии . Объем ячейки .

Согласно аксиоматике Больцмана, в предположении равной вероятности для каждой из частиц газа занять любое из доступных остояний в фазовом пространстве, термодинамическая вероятность реализации некоторого заданного распределения частиц по ячейкам может быть определена следующим образом:

. (1)

Пусть в рассматриваемой системе сохраняются полное число частиц и их суммарная энергия:

(2)

И

.(3)

Здесь H - гамильтониан системы.

Определим максимально вероятное распределение заселенности ячеек как функцию энергии ячеек при условиях (2) и (3), исходя из определенного Джейнсом в 1957 году принципа максимума энтропии при равновесном распределении населенности (или вероятности) по уровням. Энергетическое распределение должно удовлетворять требованию максимальности функционала:

.(4)

Здесь - параметры Лагранжа.

Условию (4) удовлетворяет функция

,(5)

Представляющая собой распределение Максвелла-Больцмана или равновесное распределение частиц по ячейкам. Статистическая сумма обеспечивает нормировку распределения, постоянная в частном случае идеального газа с помощью уравнения состояния газа может быnь связана с термодинамической температурой .

На основе равновесного энергетического распределения (4) могут быть выведены первое и второе начала термодинамики, определена равновесная энтропия физической системы в виде:

.(6)

Выражение для равновесной энтропии Больцмана можно записать иначе, - определив число микросостояний системы , соответствующих полному запасу энергии системы E:

. (7)

Фактически определяет вероятность обнаружить систему в состоянии с полной энергией E, не оговаривая равновесность конкретного состояния системы.

 

Статистика Тсаллиса

Концепция небольцмановской сатистики была предложена в 1988 году Тсалисом для решения широкого круга задач неравновесной термодинамики жидкости и газа, описания фазовых переходов первого и второго рода, физики плазмы, астрофизических задач. Ключевым параметром статистики Тсаллиса стал априори неопределенный параметр q. Статистику Тсаллиса иногда пытаются трактовать как q -зависящее обобщение статистики Больцмана.

Введем q- зависящую энергию по Тсаллису следующим образом:

. (8)

При выражение (8) сводится к (6).

Допустимые статистикой Тсаллиса профили энергетических распределений вычислим, вводя дополнительные условия на сохранение нормировки q –параметрических вероятностей и q –параметрической внутренней энергии системы. Введем (сопровождающее (эскортное) распределение:

.(9)

Здесь - обобщенная q –параметрическая статистическая сумма.

Условия нормировки параметрического распределения и определение параметрической внутренней энергии запишем в виде:

(10)

,(11)

где - энергетические уровни системы.

Выполним поиск наиболее вероятного распределения при условиях (10) и (11) на основе модифицированного принципа максимальной энтропии Джейнса, определяя максимум функционала:

(12)

и - параметры Лагранжа.

В результате получим обобщенное параметрическое распределение

(13)

Обобщенная q –параметрическая статистическая сумма в выражениях (9) и (13) рассчитывается на основе нормировки q –параметрического распределения вероятностей:

(14)

Здесь

(15)

Функция распределения вероятностей Тсаллиса (13) переходит в распределение Больцмана при

(16)

где

(17)

Отметим, что для наблюдается степенной закон зависимости от энергии состояния. Строго говоря, диапазон значений параметра q специально не оговаривается, соответственно допустимы любые действительные значения. Собственные значения энергии рассматриваемой системы – положительно определенные величины. Следовательно, при возникают ограничения на допустимые диапазоны энергии состояний, не допускающие отрицательных величин вероятности значения состояний.

Параметрическая энтропия Тсаллиса не подчиняется принципу суперпозиции, как это принято в классической статистической механике Больцмана. При объединении двух систем А и В в единую систему –параметрическая энтропия преобразуется согласно (8) следующим образом: