Інтегрування раціональних дробів за допомогою розкладу на елементарні дроби.

Перед інтегруванням раціонального дробу необхідно зробити такі алгебраїчні перетворення та обчислення:

1) якщо задано неправильний дріб, то виділити з нього цілу частину, тобто подати його у вигляді

, де – многочлен, – правильний раціональний дріб;

2) розкласти знаменник дробу на множники

,

де має комплексні спряжені корені;

3) правильний раціональний дріб розкласти на суму елементарних дробів:

4) знайти невизначені коефіцієнти

,

для чого звести останню рівність до спільного знаменника, прирівняти коефіцієнти при однакових степенях в лівій і правій частинах отриманої тотожності і розв’язати систему лінійних рівнянь відносно шуканих коефіцієнтів. Можна визначити коефіцієнти іншим способом, надаючи в отриманій тотожності змінній довільні числові значення. Часто корисно комбінувати обидва способи обчислення коефіцієнтів.

Найпростіші дроби першого типу інтегруються по формулам

Найпростіші дроби другого типу в випадку п=1 інтегруються підстановкою

Формула, запам’ятовувати яку не потрібно.

Найпростіші дроби другого типу в випадку інтегруються тією ж підстановкою

 

Приклад 2. Знайти .

Розв’язання:

Розкладемо на множники знаменник:

.

Тоді

Прирівняємо чисельники дробів:

При будемо мати . При будемо мати . Запишемо попередню рівність у вигляді

Прирівняємо коефіцієнти при :

Отримали систему лінійних рівнянь, із якої знайдемо невідомі .

Тоді , а отже

Завдання до виконання

Знайти невизначений інтеграл.

1. а) ; б) ;

2. а) ; б) ;

3. а) ; б) ;

4. а) ; б) ;

5. а) ; б) ;

6. а) ; б) ;

7. а) ; б) ;

8. а) ; б) :

9. а) ; б) ;

10. а) ; б)

 

Контрольні запитання.

1. Методи інтегрування дробово – раціональних виразів.

Практична робота № 8

Тема: Інтегрування тригонометричних функцій.

Мета:Засвоїти методи інтегрування тригонометричних функцій та виробити навички інтегрування.

Обладнання: Методичні вказівки.

Теоретичні відомості:

 

Інтегрування тригонометричних функцій.

Інтеграли виду зводяться до інтегралів від раціональних функцій за допомогою універсальної тригонометричної підстановки:

.

Проте в деяких випадках обчислення може бути спрощеним використанням інших підстановок:

1) Якщо непарна відносно (), використовується підстановка .

2) Якщо непарна відносно (), використовується підстановка .

3) Якщо парна відносно і , і (), використовується підстановка .

 

Інтеграли типу , де і – парні додатні числа, обчислюються з допомогою перетворень підінтегральної функції за формулами:

.

Правило 1.

Для обчислення інтегралів виду

та

(Де п –ціле додатне число), зручно ввести допоміжну функцію sin x в першому випадку та cos x –в другому випадку.

Правило 2.

Для обчислення інтегралів виду

та

Зручно користуватись формулами

Та вводити допоміжну функцію cos 2x

Правило 3.

Для обчислення інтегралів виду

, (*)

де хоча б одне з чисел-непарне,(якщо т -непарне, то cos x) або sinx (якщо непарне- n)

Правило 4.

Для обчислення інтегралів виду (*), т та n- парні числа зручно користуватись формулами

 

Правило 5.

Для обчислення інтегралів виду

Зручно користуватись формулами

 

 

Приклад 1 Знайти невизначений інтеграл .

Розв’язання:

Підінтегральна функція не є ні непарною відносно , ні непарною відносно , ні парною відносно і , і . Тому будемо використовувати універсальну тригонометричну підстановку.

Приклад 2. Знайти невизначений інтеграл .

Розв’язання:

Підінтегральна функція непарна по , тому використовуємо заміну .

 

Приклад 3. Знайти невизначений інтеграл

.

Розв’язання:

Підінтегральна функція парна відносно і , і , тому використовуємо підстановку .

 

 

Правило 6.

Для обчислення інтегралів виду , де п - ціле число, більше за 1

 

Зручно виділити множник tg²x або ctg²x

Завдання до виконання:

Згідно номера в друкованому списку журналу, студенти обирають N (додаванням зводять номер в журналі до однозначного числа), а n та m обчислюються за формулою

n=N+1

m=abc(N-2)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

 

Контрольні запитання:

1. Які методи інтегрування Ви знаєте?

2. В чому полягає суть інтегрування тригонометричних функцій?

3. В яких випадках(при яких значеннях п та т) можливе використання інших методів?

Практична робота № 9

Тема: Обчислення визначеного інтеграла.

Мета: Навчитися обчислювати визначений інтеграл різними методами.

Теоретичні відомості:

 

Література: [1] – с. 270-308, [2] – с. 365-408, [3] – с. 716-792, [4] – с. 243-266.

Формула Ньютона-Лейбніца. Має місце формула

,

де функція є довільна первісна для підінтегральної функції .

Основні властивості визначеного інтеграла.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. (змінну інтегрування можна позначати довільною буквою).

7. .

 

Заміна змінної у визначному інтегралі. Часто для спрощення обчислення визначеного інтеграла доводиться заміняти незалежну змінну , покладаючи, що . Це приводить до формули перетворення визначеного інтеграла при введенні нової змінної

.

При цьому вважається, що:

1) – неперервна на ;

2) і неперервні на ;

3) ;

4) – монотонна на .

 

Інтегрування частинами. Формула інтегрування частинами для визначеного інтеграла має вигляд

,

де і функції від змінної , які мають неперервні похідні на відрізку інтегрування.

Приклад 1 Обчислити визначений інтеграл

.

 

Розв’язання:

 

 

Приклад 2. Обчислити визначений інтеграл

.

 

Розв’язання:

Приклад 3. Обчислити визначений інтеграл

.

Розв’язання:

Завдання до виконання:

Обчислити визначений інтеграл.

1. а) ;	б) ;	в) .
2. а) ;	б) ;	в) .
3. а) ;	б) ;	в) .
4. а) ;	б) ;	в) .
5. а) ;	б) ;	в) .
6.а) ;	б) ;	в) .
7. а) ;	б) ;	в) .
8. а) ;	б) ;	в) .
9. а) ;	б) ;	в) .
10. а) ;	б) ;	в) .

Контрольні запитання:

1. Дати означення визначеного інтеграла.

2. Формула Ньютона – Лейбніца.

3. Обчислення визначеного інтеграла заміною змінної.

4. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі.

5. Таблиця інтегралів.

Практична робота № 10

Тема: Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур та об’ємів тіл.

Мета: Навчитись застосовувати визначений інтеграл до обчислення площ плоских фігур та об’ємів тіл.

Теоретичні відомості:

1. Площа плоскої фігури.

Площа криволінійної трапеції. Площу плоскої фігури, обмеженою неперервною кривою , віссю і двома прямими , знаходять за формулою

 

Якщо фігура обмежена двома неперервними кривими, рівняння яких і , до того ж всюди на , і двома прямими , то площа визначається за формулою

 

Якщо плоска фігура, обмежена кривою, яка задана в параметричній формі рівняннями

то площа цієї фігури обчислюється за формулою

.

2. Об’єм тіла.

Якщо площа перерізу тіла площиною, перпендикулярною до осі , може бути виражена як функція від , тобто у вигляді , то об’єм частини тіла, обмеженої площинами знаходиться за формулою

.

 

Об’єм тіла обертання. Якщо криволінійна трапеція обмежена кривою , прямими обертається навколо осі , то об’єм тіла обертання обчислюється за формулою

.

 

Якщо фігура обмежена кривими і () і прямими , обертається навколо осі , то об’єм тіла обертання

.

 

Якщо криволінійна трапеція обмежена кривою , прямими , обертається навколо осі , то об’єм тіла обертання обчислюється за формулою

.

Приклад 1. Знайти площу фігури, обмеженої прямою і параболою .

Розв’язання:

Знайдемо абсциси точок перетину даних ліній, розв’язавши систему рівнянь Це і є межі інтегрування.

Зробимо схематичний рисунок фігури.

 

Тоді (кв. од.).

 

Приклад 2 Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі фігур, які обмежені лініями: .

Розв’язання:

. У нашому випадку , тому (куб. од).

Завдання до виконання:

1. Обчислити площу фігури, обмеженої параболою і прямою .

2. Обчислити площу фігури, обмеженої однією аркою циклоїди та віссю .

3. Обчислити площу фігури, обмеженої кардіоїдою .

4. Обчислити площу фігури, обмеженої чотирьох пелюстковою розою .

5. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо вісі фігури, обмеженої параболами і .

6. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо вісі фігури, обмеженої напівеліпсом , параболою та віссю .

7. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо вісі фігури, обмеженої кривими і .

8. Обчислити площу фігури, обмеженої параболою і прямою .

9. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо вісі фігури, обмеженої параболами і .

10. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо вісі фігури, обмеженої напівеліпсом , параболою та віссю .

 

Контрольні запитання:

1. Як знайти площу фігури за допомогою визначеного інтеграла?

2. Формули для обчислення обєма тіла обертання.

 

 

Практична робота № 11

Тема: Розв’язання лінійних і однорідних диференційних рівнянь першого порядку.

Мета: Навчитись розв’язувати лінійні і однорідні диференційні рівняння першого порядку.

Література:

1. И.И.Валуцэ, Г.Д. Дилигул. Математика для техникумов. Москва. «Наука», 1989г.

2. Вища математика. П.П. Овчинников та ін. Ч.1.Київ «Техніка», 2003р.

3. А.М. Самойленко, С.А. Кривошея, А.М. Самойленко, С.А. Кривошея, Н.А. Перестюк. Дифференциальные уравнения. Примеры и задачи.-Москва, «Высшая школа», 1989г.

Теоретичні положення:

Диференціальними називаються рівняння, які пов’язують між собою незалежну змінну, шукану функцію і похідні або диференціали цієї функції.