Действия над линейными операторами

 

 

Над линейными операторами, определяемыми в линейном пространстве, можно производить различные действия, приводящие к новым линейным операторам. Рассмотрим здесь действия сложения операторов, умножения на число и умножения операторов друг на друга.

1. Сложения линейных операторов

Пусть в пространстве заданы линейные операторы и .

Определение. Суммой операторов и в пространстве называется такой оператор , для которого выполняется равенство

,

где – любой вектор из .

Можно показать, что сумма линейных операторов является линейным оператором, причем его матрица равна сумме матриц и операторов и , то есть .

1. Умножение линейного оператора на число

Определение. Произведением линейного оператора на число называется оператор , определяемый равенством

,

где – любой вектор из .

 

Можно показать, что оператор является линейнымоператором, а его матрица равна произведению числа на матрицу оператора , то есть .

3. Умножение линейных операторов

Применим к произвольному вектору из сначала оператор , а затем

оператор , получим вектор

.

Определение. Оператор , переводящий вектор непосредственно в , называется произведением оператора на оператор , т.е. для всех векторов из имеет место равенство

,

при этом используется запись .

Можно показать, что произведение линейных операторов есть снова линейный оператор, а его матрица равна произведению матриц этих операторов, взятых в порядке, обратном действию операторов, то есть

.

4. Сопряженный оператор

Определение. Оператор называется сопряженным по отношению к оператору , если для любых векторов и из пространства выполняется равенство

.

Можно показать, что если оператор линейный, то у него существует единственный сопряженный оператор . При этом, если матрица

 

является матрицей оператора , то матрицей оператора является матрица

 

.

 

Такая матрица называется сопряженной по отношению к матрице . При этом, если оператор действует из в , то .

 

Можно показать, что имеет место следующая теорема.

Теорема (Альтернатива Фредгольма)

Пусть – линейный оператор, который действует из евклидова пространства на евклидово пространство , а – оператор, сопряженный по отношению к оператору .

Тогда или уравнение

,

где и – произвольные вектора из , имеет единственное решение, или уравнение

имеет, по крайней мере, одно ненулевое решение.

Определение. Линейный оператор называется самосопряженным (или Эрмитовым), если он совпадает со своим сопряженным, т.е. если для любого вектора из выполняется равенство

.

Определение. Квадратная матрица называется симметричной, если для ее элементов выполняется равенство

, .

Можно показать, что матрица самосопряженного оператора симметричная.

Глава 4. Преобразование координат

 

Замена базиса

 

Нетрудно заметить, что если в -мерном пространстве имеется два базиса и , то координаты произ­вольного вектора в одном базисе будут отличаться от координат того же вектора в другом базисе. Выясним, как связаны коорди­наты произвольного вектора относительно базиса с координатами этого вектора относительно базиса . Не уменьшая общности, рассмотрим трехмерный случай. Обозна­чив через и координаты вектора относительно базисов и соответственно, сможем написать

 

; (4.1)

. (4.2)

 

Для каждого из ортов имеют место следующие разло­жения в базисе

; ; (4.3)

,

 

где – координаты вектора в базисе .

 

Подставляя (4.3) в (4.2), получим

 

(4.4)

 

Сравнивая теперь (4.1) с (4.4) и учитывая единственность разложения вектора в базисе , получим формулы, выра­жающие его координаты относительно базиса через коор­динаты относительно базиса

 

(4.5)

 

Если ввести в рассмотрение одностолбцовые матрицы

 

,

и матрицу

,

то систему (4.5) можно заменить одним матричным равенством.

 

. (4.6)

 

Матрицу называют матрицей поворота координатной системы. Итак, координаты вектора относительно базиса линейно выражаются с помощью формулы (4.5) через его координаты от­носительно базиса . Матрица системы (4.5) совпадает с матрицей, получающейся в результате транспонирования мат­рицы перехода от базиса к базису [см. равенства (4.3)].

 

§ 2. Ортогональные преобразования

 

В евклидовом пространстве наибольший интерес представляет случай, когда каждый из базисов и ортонормированный. Ограничиваясь по-прежнему трехмерным слу­чаем, будем считать базисы и ортонормированными. Так как векторы единичные и взаимно ортогональ­ные, то имеют место 6 равенств

 

, . (4.7)

 

Подставляя (4.3) в (4.7) и учитывая, что векторы тоже единичные и взаимно ортогональные, получим

 

; ;

; ; (4.8)

; .

 

Определение. Всякая матрица , элементы которой удовлетворяют соотношениям (4.8), называется ортогональной, а соответствующее преобразование – ортогональным преобразова­нием.

Можно показать, что при ортогональном преобразовании со­храняются длины векторов и углы между ними. Докажем, что если матрица ортогональная, то обратная для нее и транспонированная совпадают, т.е.

. (4.9)

 

 

Для доказательства вычислим произведение

 

. (4.10)

 

Умножая обе части матричного равенства справа на , получим (4.9). Справедливо утверждение, обратное дока­занному. Иногда условие (4.9) берут за определение ортогональ­ной матрицы. Учитывая, что определитель произведения квадрат­ных матриц равен произведению их определителей, можем, исполь­зуя (4.10), написать

 

.

 

Но так как , а , то предыдущее равенство можно записать в виде

,

откуда следует

.

 

Таким образом, определитель ортогональной матрицы равен либо , либо .