Энергия гармонического осциллятора

 

Гармонический осциллятор обладает энергией, за счёт ко-торой и совершает колебания.

Найдём выражения для кинетической, потенциальной и пол-ной механической энергии идеального пружинного маятника.

Кинетическая энергия

.

Потенциальная энергия деформированной пружины

.

Полная механическая энергия

(здесь учтено, что ).

Таким образом, полная механическая энергия идеального пружинного маятника постоянна. Кинетическая и потенциальная энергия постоянно изменяются, причём в положении равновесия кинетическая энергия достигает максимального значения, а потенциальная энергия уменьшается до нуля; при максимальном отклонении груза от положения равновесия всё наоборот – кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная максимальна.

В графической форме зависимость потенциальной, кинети-ческой и полной энергии от х имеет вид, показанный на рисунке.

Зависимость потенциальной, кинетической и полной энергии от времени показана на следующем рисунке (символом Т на рисунке обозначен период гармони-ческого колебания).

Обратите внимание: что кине-тическая и потенциальная энергия изменяются с удвоенной частотой,
т. е. с частотой 2w_о.

Полученные выводы применимы не только к пружинному маятнику без потерь энергии. Полная энергия любого гармонического осциллятора определяется амплитудой колебаний и упругими свойствами осциллятора и не изменяется с течением времени.

Энергия математического маятника может быть найдена из следующих соображений.

При отклонении математического маятника на малый угол j от положения равновесия груз поднимется на высоту h = l – l cosj. Потенциальная энергия маятника в этом положении равна U =
= mgl (1-cosj)= .

Учитывая, что при ма-лых j sinj = j, получаем

.

Поскольку , потен-циальная энергия математического маятника может быть рассчитана и так:

.

При возвращении маятника к положению равновесия высота груза уменьшается, при этом потенциальная энергия маятника переходит в кинетическую. В положении равновесия потен-циальная энергия уменьшается до нуля, при этом кинетическая достигает максимального значения.

За счёт накопленной кинетической энергии груз продолжит своё движение и вновь поднимется на высоту h, где вся кинетическая энергия перейдёт в потенциальную.

Энергия колебательного контура также может существовать в двух формах: в виде энергии, запасённой в электрическом поле конденсатора, и в виде энергии, запасённой в магнитном поле соленоида.

Как показано в разд. 1.25, энергия заряженного конденсатора равна . Энергия, запасённая в магнитном поле соленоида, равна (см. разд. 5.8).

В тот момент, когда весь заряд сосредоточен на обкладках конденсатора, ток в контуре равен нулю. Вся энергия контура существует в виде энергии заряженного конденсатора. Энергия магнитного поля соленоида равна нулю.

Как только конденсатор начинает разряжаться, через соленоид протекает постепенно возрастающий ток. Соответственно растёт энергия магнитного поля соленоида и уменьшается энергия заряженного конденсатора.

В момент полного разряда конденсатора ток максимален. Поэтому энергия контура существует в виде энергии магнитного поля соленоида.

Ток в контуре после разряда конденсатора протекает именно за счёт энергии магнитного поля. И именно за счёт этой энергии происходит перезарядка конденсатора.

 

Затухающие колебания

 

В разд. 6.4 была рассмотрена идеальная колебательная система – гармонический осциллятор. Там было показано, что полная энергия гармонического осциллятора постоянна, вследствие чего амплитуда колебаний не изменяется.

В любой реальной колебательной системе существуют потери энергии (например, пружинный маятник испытывает воздействие силы трения, вследствие чего механическая энергия переходит во внутреннюю).

Поскольку энергия реальной колебательной системы умень-шается, должна уменьшаться и амплитуда её колебаний. Это означает, что колебания реального осциллятора затухающие.