ІІ. Вивчення аксіом стереометрії та наслідків з них.

Стереометрія – це розділ геометрії, що вивчає фігури у просторі. Найпростішими фігурами простору є:

- точка: А, В, С,...

- пряма: а, в, с,...

- площина: ,..., (АВС).

Оскільки пло­щина – нова найпростіша фігура, то треба сформулювати аксіо­ми, що виражають властивості площини. Розглянемо три аксіоми стереометрії, зведені в одну таблицю.

Оскільки точка і пряма також є основними фігурами простору, то всі аксіоми планіметрії переходять у стереометрію і систе­ма аксіом стереометрії складається з дев'яти аксіом планімет­рії і трьох аксіом групи С.

У планіметрії розглядається одна площина, на якій розташовуються всі розглядувані фігури. У стереометрії нескінченно багато площин. У зв’язку з цим формулювання деяких аксіом планіметрії в якості аксіом стереометрії вимагають уточнення. Це стосується аксіом IV, VII, VIII, IX.

IV. Пряма, що належить площині, розбиває її на дві півплощини.

VII. Від півпрямої на площині, що її містить, у задану півплощину можна відкласти кут з заданою градусною мірою, меншою 180^○, і лише один.

VIII. Який би не був трикутник, існує рівний йому трикутник у даній площині у заданому розташуванні відносно даної півпрямої у цій площині.

ІХ. На площині через дану точку, що не лежить на даній прямій, можна провести не більше однієї прямої, паралельної даній.

Наслідки з аксіом

Теорема 1. Через пряму і точку, що не належить даній прямій, можна провести площину, і притому тільки одну.

а

Дано: пряма а, точка В а.

В.

Довести: 1) існує { а, В};

2) єдина.

 

Доведення

1) Виберемо на прямій а довільну точку А. Проведемо пряму в {А;В} (аксіома І). а і в різні, оскільки В а. За аксіомою С3: а і в визначають площину .

У ході доведення вчитель разом з учнями шляхом системи запитань складає таблицю.

Твердження	Обґрунтування
1.Виберемо на прямій а довільну точку А 2.Через А і В можна провести пряму в 3.Прямі а і в різні 4.Через прямі а і в можна провести площину 5.Площина проходить через пряму а і точку В	1. За аксіомою про існування точок, які належать прямій 2. За аксіомою про можливість проведення прямої через дві точки 3. Оскільки точка В не належить прямій а 4. За аксіомою про можливість проведення площини через дві прямі, які мають спільну точку 5. Тому що проходить через а за побудовою, а через В, тому що В належить в; проходить через в за побудовою

2) Доведемо єдиність (методом від супротивного).

Нехай існує ще одна площина , що проходить через а і точкуВ. За аксіомою С2: точка В належить прямій а. Це суперечить умові, що В а. Припущення не вірне.

Теорему доведено.

Теорема 2. Якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині.

А |

.

В |

 

 

Наслідок. Пряма і площина

 

не перетинаються перетинаються

(немає спільних точок) (мають одну спільну точку)

(принаймні дві спільні точки)

(Цю теорему учні доводять зі складанням таблиці і оформлюють вдома самостійно).

Теорема 3. Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести площину, і при цьому тільки одну.

C

A

.

.

Дано: а.

B

.

Довести: 1) існує ;

2) – єдина.

 

Учитель разом з учнями складає таблицю – колективний пошук доведення, оформлюють доведення учні вдома самостійно.

Твердження	Обґрунтування
1. Проведемо прямі АВ і АС 2. Прямі АВ і АС різні 3. Через прямі АВ і АС можна провести площину 4. Точки А, В, С належать площині	1. За аксіомою про можливість проведення прямої через дві точки 2. Точки А, В і С не лежать на одній прямій 3. За аксіомою про можливість проведення площини через дві прямі, які мають спільну точку 4. Точки А, В і С належать до прямих АВ і АС, а вони належать площині за побудовою

Доведення.

1) Проведемо прямі АВ і АС, вони різні, оскільки а. За аксіомою С3: через прямі АВ і АС можна провести площину .

2) Доведемо єдиність.

За теоремою 2 (якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині): . За аксіомою С3 така площина єдина.

Теорему доведено.

ІІІ. Задачі на доведення

Задача 1. Точки А, В, С і D не лежать в одній площині. Доведіть, що прямі АВ і СD не перетинаються.

Доведення.

– Скористаємось методом від супротивного.

– Яке можемо зробити припущення?

– Маємо дві прямі, що перетинаються. Яке з щойно вивчених тверджень можемо застосувати?

– Якщо прямі АВ і СD визначають площину , то який висновок можемо зробити щодо точок?

– У чому полягає отримане протиріччя?

Нехай прямі АВ і СD перетинаються, тоді за аксіомою С3: , а це означає, що точки А, В, С і D лежать в одній площині. Отримали протиріччя з умовою задачі. Значить прямі АВ і СD не перетинаються.

Задача 2. Чотири точки не лежать в одній площині. Чи можуть будь-які три з них лежати на одній прямій.

Доведення.

– Яке можна висунути припущення?

– Яке відоме вам твердження можна застосувати?

– З якою умовою ми отримали протиріччя?

Нехай три точки лежать на одній прямій, а четверта не належить цій прямій. Тоді за теоремою-наслідком 1 можна провести єдину площину, якій належить дані пряма і точка. Це означає, що задані умовою чотири точки належать одній площині. За умовою задачі це не можливо. Значить будь-які три з цих точок не можуть лежати на одній прямій.

IV. Підсумок уроку

Сьогоднішній урок було присвячено ідеї дедуктивної побудови геометрії, походженню та ролі первісних понять і аксіом, ми пригадали аксіоми планіметрії, ознайомилися з аксіомами стереометрії та наслідками з них. Завершити урок хочеться прикладами використання аксіом та їх наслідків у виробничій діяльності людини.

1) Тесляр перевіряє, чи розміщуються кінці ніжок стола в одній площині, від чого залежить стійкість стола. Він натягує нитки на кінці ніжок і перевіряє, чи перетинаються вони (аксіома С3).

2) Тесляр перевіряє якість поверхні стола, що виготовляється, прикладаючи до кришки в різних напрямках лінійку. Якщо між лінійкою і кришкою стола немає просвітів, то стіл виготовлено якісно (теорема 2).

3) На теоремі 3 ґрунтується будова штативів для фотоапаратів і різних геодезичних приладів. Кінці ніжок штативів належать одній площині, внаслідок чого прилад займає стійке положення.

Тестові завдання

2.

С1

D1

На малюнку зображено куб АВСDА₁В₁С₁D₁. Знайдіть кути трикутника В₁D₁С.

В1

А1

D

C

B

A

 

3. Як розмістити три прямі так, щоб вони утворили 12 прямих кутів?

4. Чи вірно, що пряма, яка має з колом тільки одну спільну точку, є дотичною до кола в цій точці:

1) на площині; 2) у просторі?

4. Довести, що через дві довільні точки можна провести хоча б одну площину.

5. Чи можна стверджувати, що всі точки кола належать площині, якщо це коло має з даною площиною:

1) дві спільні точки; 2) три спільні точки.

6. Через три точки можна провести дві різні площини. Як розташовані ці точки?