Вывести необходимые уравнения движения, определить численные значение постоянных времени и коэффициентов усиления

Построение структурной схемы с указанием передаточных функции звеньев.

В соответствии с у уравнениями: (1), (2), (3), (4), (19), (21), (22) была построена и изображена на рис 2 структурная схема следящей системы с указанием передаточных функции звеньев.

 

Рис 2. Структурная схема следящей системы с указанием передаточных функции звеньев.

Определение передаточной функции замкнутой системы для регулируемой координаты по команде и по возмущению; для рассогласования-по команде и по возмущению

Приведем схему, изображенную на рис 1 к одноконтурному виду. Для этого объединим передаточную функцию двигателя по управлению с передаточной функцией тахогенератора:

 

. (23)

Также объединим передаточную функцию двигателя по возмущению с передаточной функцией тахогенератора:

 

 

,(24)

 

обозначим:

; (25)

; (26)

. (27)

Тогда при принятых обозначениях и уравнениях (23), (24) схема, после преобразования, будет выглядит следующим образом и представлена на рис 3.

Рис 3. Структурная схема САУ после преобразования

 

Определим передаточные функции замкнутой системы для регулируемой координаты по команде и по возмущению; для рассогласования - по команде и по возмущению. Для этого запишем передаточные функции в общем виде:

 

; (28)

; (29)

; (30)

. (31)

 

Так как в формулах (29)-(31) используется , запишем с помощью Рис 3 передаточную функцию разомкнутой системы:

 

. (32)

Проведение Д-разбиения по коэффициенту усиления системы. Построение годографа Михайлова. Определение критического коэффициента усиления и сравнение с коэффициентом усиления, найденным в п.4

Проведение Д-разбиения по коэффициенту усиления системы.

Запишем передаточную функцию разомкнутой системы:

 

 

Перед тем как начать Д- разбиение, произведем замену в передаточной функции разомкнутой системы. А именно:

.

После данных замен передаточная функция разомкнутой системы примет следующий вид:

.

Запишем характеристический полином для Д- разбиения относительно коэффициента :

 

(36)

Выразив , раскрывая скобки, получим следующее соотношение:

(37)

Заменив в выражении (36) p на jω, получим следующие соотношение:

. (38)

После раскрытия скобок в выражении (38) и выделения действительной и мнимой части, получим следующие соотношения для действительной и мнимой части соответственно.

U(ω)= (39)

V(ω)= (40)

Рассчитаем по представленной формуле;

 

. (41)

Далее, при помощи программы Mathcad, при ω=0,10..1000, в соответствии с уравнениями (39) и (40), было построено в плоскости U(ω), V(ω) Д- разбиение, которое приведено на рис 5 и 5.1

Разметка системы координат.

С учетом полученного диапазона частот сопряжения наносим сетку в системе координат (СК): по оси ординат (для ЛАХ L(ω)-дб, для ЛФХ φ(ω)-рад, град.) по оси абсцисс (ω, lgω) в диапазоне частот ω (1,4500). Ось ординат проводим через ω=1. Нанесем частоты: , на оси абсцисс и проведем через них вертикальные вспомогательные пунктирные линии. Масштабы: по оси частот декада – 100мм, по оси ординат 1дб, 1град. – 1мм. Проведем через точку (L(ω)= 20.40.60.80, ω=10) вспомогательные асимптоты под наклоном (20,40,60,80) дб/дек.

3. Построение асимптотической ЛАХ.

Постоим звено W(p)= /p. Отложим L(ω)= при ω=1 и проведем через эту точку прямую под наклоном -20 дб/дек пунктирно (ЛАХ интегрирующего звена построена). Далее, двигаясь по этой прямой из точки при ω=1 вправо до пересечения с вертикальной прямой, проведенной через , соответствующей частоте сопряжения колебательного звена. Следовательно, асимптота L(ω), сделав излом частоте сопряжения , пойдет вниз под наклоном -60 дб/дек до пересечения со следующей частотой сопряжения , соответствующей апериодическому звену. После асимптота идет под наклоном -80 дб/дек. Далее, для построения L(ω), в соответствии ПФ (50) введем поправки к построенной ЛАХ на частотах: , . Достроим ЛАХ с учетом этих поправок.

Построение ЛФХ.

Для построения ЛФХ воспользуемся шаблонами, которые были построены для функций: ; ,

:

. При построении исходя из передаточной функции на частотах и строятся шаблоны, а для получения общей фазовой характеристики необходимо геометрически сложить построенные ЛФХ по шаблонам. Построение ЛАХ и ЛФХ передаточной функции разомкнутой системы приведено в приложении 1 и выделено красной линией.
Формулировка:

Согласно критерию Найквиста-Михайлова для того, чтобы система, устойчивая в разомкнутом состоянии и имеющая амплитудно-фазовую характеристику первого рода, была устойчивая в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно на тех частотах, при которых логарифмическая амплитудно-частотная характеристика не отрицательна, т.е. иметь значение фазы φ(ω), не превосходящее -π. В соответствии с критерием Найквиста-Михайлова, исходная передаточная функция моделируемой системы не устойчива.

Заключение

Изначально смоделированная система следящей системы в программе Матлаб была не устойчивой. Это подтверждается рис.9. Поэтому в модель системы было включено последовательное корректирующее звено. После включения которого, система стала устойчивой. Это подтверждается рис. 11. Для снятия времени регулирования на вход системы был подан единичный сигнал и отключено возмущающее воздействие. В результате проведенной работы получены следующие характеристики САУ: ;

. Сопротивления последовательного корректирующего устройства: сопротивления первого звена R1=174 кОм, R2=124 кОм, сопротивления второго звена R1=12 кОм, R0=15 кОм, сопротивления третьего звена R1=5 кОм, R0=5 кОм.

 

В данной работе не были учтены нагрев резисторов и нелинейности такие как:

насыщение, люфт и зона нечувствительности. Однако приведенные запасы по фазе и амплитуде нивелируют неучтенные факторы и позволяют системе работать. Можно сказать, что данная следящая система может выполнять поставленную задачу в соответствии с требуемыми показателями точности.

 

Список использованной литературы:

1. Карпов. А. И. Лекции по предмету ТАУ, каф. ОЭС.

2. Солодовников. В. В. Техническая кибернетика / Москва 1967 г.

3. Под редакцией проф. Г. А. Дегтярова. Теория автоматического управления. Методические указания к курсовой работе / Казань 1998 г.

 

Вывести необходимые уравнения движения, определить численные значение постоянных времени и коэффициентов усиления

 

 

Рис 1. Схема следящей системы

Условные обозначения, используемые на схеме.

- Сумматор.

ФД- фазовый детектор.

Ф- фильтр.

У- усилитель.

Дв- двигатель.

Р- редуктор.

Т- объект управления.

ТГ- тахогенератор.

U_ф –напряжение фильтра.

α_вх – входное значение угла.

α_вых – выходное значение угла.

ε – рассогласование.

U_тг - напряжение на тахогенераторе.

ΔU - разности напряжений на фильтре и на тахогенераторе.

U - напряжение после усилителя

α–угол поворота выходного вала

Исходные данные:

J_н = 0.2 кг*м² – момент инерции нагрузки

P = 50 Вт – мощность двигателя

U_ном =110 В – номинальное напряжение

i _ном = 0.65 А – номинальный ток якоря

R = 20.5 Ом – сопротивление якоря

L_я = 0.115 Гн – индуктивность якоря

J_я = 0.7*10^-4 кг*м² – момент индукции якоря

n = 3000 об/мин – скорость вращения

M_в = 6.4 H*м – возмущающий момент

К_тг = 0.04 – крутизна статической характеристики

К_р = 0.02 – передаточный коэффициент редуктора

Т_ф = 0.005 с – постоянная времени фильтра

= 10 В/рад - коэффициент сельсин датчика

i = 50 – коэффициент редукции

Показатели качества системы:

- статическая ошибка

– скоростная ошибка

– время регулирования

- динамическая ошибка

 

Уравнения следящей системы:

 

1.Уравнение напряжения фильтра

 

U_ф = ε, (1)

где: U_ф –напряжение фильтра,

- коэффициент сельсин датчика,

Т_ф – постоянная времени фильтра.

 

2 Уравнение рассогласования

ε = α_вх- α_вых , (2)

где: α_вх – входное значение угла,

α_вых – выходное значение угла,

ε – рассогласование.

 

3 Уравнение разности напряжений на фильтре и на тахогенераторе

 

ΔU = U_ф – U_тг, (3)

где: U_ф – напряжение на фильтре,

U_тг - напряжение на тахогенераторе,

ΔU - разности напряжений на фильтре и на тахогенераторе.

 

4 Уравнение напряжения после усилителя

 

U = К_уΔU, (4)

где: U - напряжение после усилителя,

К_у – коэффициент усилителя.

 

 

5 Уравнение двигателя.

 

Составим два уравнения для двигателя. Первое уравнение получено из второго закона Кирхгофа для цепи якоря:

, (5)

здесь L_я – индуктивность якоря, R_я–сопротивление якоря, i_я – сила тока якоря, α– угол поворота выходного вала, С_е − коэффициент противо ЭДС равный

.

Второе уравнение представляет собой закон равновесия моментов на валу двигателя:

 

 

J_пр M_в^пр =C_мi_я , (6)

 

где J_пр– приведенный момент инерции,

J_пр= (J_дв + J_н/i²)=0,7* , кг* м²+(0,2, кг* м² /50²)=0,00078 кг* м², (7)

J_дв, J_н – моменты инерции двигателя и нагрузки соответственно,

М_в^пр– приведенный момент.

Очевидно, что должен быть больше М_в^пр.

Условие 1:

, (8)

М_в^пр =M_вК_р =6.4*0.02= 0.128 H*м. (9)

Из уравнений (8) и (9) видно, что условие 1 выполняется, а значит редуктор с таким передаточным коэффициентом подходит.

Условие 2: ,

. (10)

Из уравнения (10) видно, что условие 2 выполняется, а следовательно использование привода, с такими параметрами возможно.

В уравнении (6) С_м − коэффициент момента равен:

. (11)

Преобразуем систему уравнений (5) − (6), используя оператор

:

(12)

 

Перепишем второе уравнение системы (12):

 

. (13)

В уравнении (13) = 0,0056 с,

где - постоянная времени якоря.

Из уравнения (13) имеем:

 

. (14)

 

Подставляя (14) в первое уравнение системы (12) получаем:

 

 

, (15)

 

 

;

 

;

 

(

(16)

Перепишем уравнение (16) обозначив:

;

 

− электромеханическая постоянная двигателя;

 

− коэффициент усиления двигателя равен:

; (17)

− коэффициент усиления по возмущению;

(18)

И перепишем уранение (16):

= . (19)

Обозначим:

 

Тогда уравнение двигателя запишется следующим образом:

. (20)

Уравнение напряжения тахогенератора:

U_тг= К_тг = К_тг . (21)

Уравнение выходного значения угла:

α_вых= К_рα. (22)