Параметрические уравнения прямой.

Рассмотрим канонические уравнения (3.29) прямой и примем за параметр t каждое из данных отношений: . Получим:

(3.31)

Эти уравнения являются параметрическими уравнениями прямой.

Примеры.

Написать уравнения прямой, проходящей через точку и перпендикулярно плоскости a: 2 х – 3 y + z – 1 = 0.

Решение. Направляющим вектором этой прямой служит нормальный вектор плоскости a: п = (2, –3, 1). Воспользуемся каноническими уравнениями (3.29), тогда уравнения искомой прямой примут вид: .

 

5. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве

1). Пусть в пространстве заданы плоскость a и прямая L:

Условие параллельности прямой L и плоскости a эквивалентно условию перпендикулярности нормали п = (А, В, С) плоскости a и направляющего вектора а = (l, m, n) прямой L и выражается равенством нулю скалярного произведения (2.11) векторов п и а, т.е.

Al + Bm + Cn = 0. (3.32)

Условие перпендикулярности прямой L и плоскости a эквивалентно условию коллинеарности (2.8) векторов п и а, т.е.

(3.33)

Как легко убедиться, условие принадлежности прямой L к плоскости a выражается двумя равенствами:

(3.34)

Угол j между прямой L и плоскостью a находится по формуле

(3.35)

2). Пусть в пространстве заданы две прямые своими каноническими уравнениями:

Условия параллельности, перпендикулярности и , а также угол между и определяются с использованием направляющих векторов и данных прямых.

Условие параллельности: (3.36)

Условие перпендикулярности: (3.37)

Угол между прямыми: (3.38)

3). Пусть в пространстве заданы две плоскости и своими общими уравнениями:

Условия параллельности, перпендикулярности и , а также угол между и определяются аналогично, используя векторы нормалей п и п к плоскостям.

Условие параллельности: (3.39)

 

Условие перпендикулярности: (3.40)

 

Угол между плоскостями:

(3.41)

 

Контрольные вопросы

1. Общее уравнение прямой, неполные уравнения прямой, уравнение прямой в отрезках.

2. Каноническое уравнение прямой, уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, уравнение прямой, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.

3. Параметрические уравнения прямой, уравнение прямой с угловым коэффициентом, нормальное уравнение прямой.

4. Расстояние от точки до прямой.

5. Условия параллельности и перпендикулярности прямых, заданных общими уравнениями. Нахождение угла между этими прямыми.

6. Условия параллельности и перпендикулярности прямых, заданных в виде с угловым коэффициентом. Нахождение угла между этими прямыми.

7. Общее уравнение плоскости, неполные уравнения плоскости, уравнение плоскости в отрезках.

8. Уравнение плоскости, проходящей через три точки, Уравнение плоскости, параллельной заданному вектору и проходящей через две заданные точки, уравнение плоскости, параллельной двум неколлинеарным векторам и проходящей через заданную точку.

9. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

10. Общие, канонические и канонические уравнения прямой в пространстве. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

11. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Вычисление угла между прямой и плоскостью.

12. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Вычисление угла между прямыми.

13. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Вычисление угла между плоскостями.