Косинус двойного угла равен разности единицы и удвоенного квадрата синуса данного угла.

Косинус двойного угла равен разности удвоенного квадрата косинуса данного угла и единицы.

В формуле sin (a + b) = sin a · cos b + cos a · sin b примем a = b.

sin (a + a) = sin a · cos a + cos a · sin a = 2 · sin a · cos a

sin 2a = 2sin a cos a, a -данный угол

Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса и косинуса данного угла.

Пример: Вычислить а) 2 sin 15° · cos 15°; б) cos ² - sin ² .

Решение:

а) Воспользуемся формулой синуса двойного угла: sin 2a = 2 sin a · cos a

2 sin 15° · cos 15° = sin (2 · 15°) = sin 30° = 0,5;

 

б) Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: cos 2a = cos ² a - sin ² a

cos ² - sin ² = cos (2 · ) = cos = .

Ответ: а) 2 sin 15° · cos 15° = 0,5; б) cos ² - sin ² = .

 

В формуле примем a = b.

 

В формуле примем a = b.

 

 

Тангенс двойного угла равен отношению удвоенного тангенса данного угла к разности единицы и квадрата тангенса данного угла.

Котангенс двойного угла равен отношению разности единицы и квадрата тангенса данного угла к удвоенному тангенсу данного угла.

Пример: Представить тригонометрические функции данного аргумента через тригонометрические функции вдвое меньшего аргумента:

sin a; sin 5a; cos ; tg 42°.

Решение: Воспользуемся формулами синуса, косинуса и тангенса двойного угла:

sin a = sin (2 · ) = 2 · sin · cos ;

sin 5a = sin (2 · ) = 2 · sin · cos ;

cos = cos (2 · ) = cos ² - sin ² ;

tg 42° = tg (2 · 21°) =

Ответ: sin a = 2 · sin · cos ; sin 5a = 2 · sin · cos ;

cos = cos ² - sin ² ; tg 42° =

 

 

Из формулы cos 2a = 1 - 2 sin ² a выразим sin ² a через cos 2a.

Из формулы cos 2a = 2 cos ² a -1 выразим cos ² a через cos 2a.

 

или 2 sin ² a = 1 - cos 2a

или 2 cos ² a = 1 + cos 2a

 

Замечание: Эти формулы называются формулами понижения степени.

Пример: Понизить степень выражения: 2 cos ² 3b; 2 sin ²

Решение: Воспользуемся формулами понижения степени:

 

2 cos ² 3b = 1 + cos (2 · 3b) = 1 + cos 6b

 

2 sin ^{2 =} 1 - cos ⁼ 1 - cos

Ответ: 2 cos ² 3b = 1 + cos 6b; 2 sin ^{2 =} 1 - cos

Пример:

№1. Сократить дробь .

 

Решение: Разложим cos 80 º по формуле косинуса двойного угла и применим формулу сокращенного умножения a ² – b ² = (a – b) · (a + b):

 

 

Ответ:

№3. Доказать тождество .

Решение: В числителе дроби преобразуем sin a по формуле синуса двойного угла, а в знаменателе дроби применим формулу понижения степени:

sin a = 2 · sin · cos ; 2 cos ² = 1 + cos a.

Определим область допустимых значений аргумента a:

или

; ; a ¹ p + 2p k, k Î Z;

; ; ; .

ОДЗ: a ¹ p + 2p k, , k Î Z.

 

Упражнения:

 

№1. Представить тригонометрические функции данного аргумента через тригонометрические функции вдвое меньшего аргумента:

1) sin 4b; 2) cos 8a; 3) sin ; 4) cos ; 5) tg .

№2. Представить тригонометрические функции данного аргумента через тригонометрические функции вдвое большего аргумента:

1) cos ² 15°; 2) sin ² 1,5 p; 3) sin ² ; 4) cos ^{2 .}

№3. Упростить выражение:

а) 1 + cos 2a - 2 sin ² a; б) ;

в) .

№4. Доказать тождество:

а) (sin a + cos a) ² – 1 = sin 2a; в) 4 · sin a · cos a · cos 2a = sin 4a;

 

б) cos ⁴ - sin ⁴ = cos a; г) .

№5. Вычислить sin 2a, cos 2a, tg 2a, если tg a = и 180° < a < 270°.

12. Формулы приведения.

Определение: Формулы, выражающие тригонометрические функции от аргументов - a, , , , , через тригонометрические функции от аргумента a, называются формулами приведения.

Замечание: Формулы приведения с аргументами - a, , называются формулами приведения горизонтального диаметра.

Формулы приведения с аргументами , называются формулами приведения вертикального диаметра.

 

2p + a

х

у

p + a

p - a

2p - a

 

На рисунке показана принадлежность координатным четвертям углов:

, , , , где a – острый угол.

 

Правило: Если аргумент приводимой функции имеет вид - a, p ± a, 2p ±a, то название приводимой функции не меняется, а знак в правой части формулы ставится в зависимости от того, какой знак имела бы приводимая функция в случае, если 0 < a < .

Правило: Если аргумент приводимой функции имеет вид , , то название приводимой функции меняется (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс), а знак в правой части формулы ставится в зависимости от того, какой знак имела бы приводимая функция в случае, если 0 < a < .

Пример:

№1. Упростить выражение: а) sin ( – p – a); б) cos ( – 2 p + a);

в) tg ( – + a); г) ctg ( – – a).

Решение: Воспользуемся четностью, нечетностью тригонометрических функций и формулами приведения:

 

а) sin ( – p – a) = sin (– (p + a)) = – sin ( p + a) = – ( – sin a) = sin a;

б) cos ( – 2 p + a) = cos ( – (2 p – a)) = cos (2p – a) = cos a;

в) tg ( – + a) = tg ( – ( – a)) = – tg ( – a) = – ctg a;

г) ctg ( – – a)= ctg ( – ( + a)) = – ctg ( + a) = – ( – tg a) = tg a.

Ответ: а) sin ( – p – a) = sin a; б) cos ( – 2 p + a) = cos a;

в) tg ( – + a) = – ctg a; г) ctg ( – – a) = tg a.

№2. Вычислить: 1) sin 240°; 2) cos ( – 315 °); 3) tg ( – 225 °); 4) ctg 300°;

5) sin ; 6) cos .

Решение: Воспользуемся четностью, нечетностью тригонометрических функций и формулами приведения:

1) sin 240° = sin (180° + 60°) = – sin 60 ° = ;

2) cos ( – 315 °) = cos 315° = cos (270° + 45°) = sin 45° = ;

3) tg ( – 225 °) = – tg 225 ° = – tg (180 ° + 45°) = – tg 45 ° = – 1;

4) ctg 300° = ctg (360° – 60°) = – ctg 60 ° = ;

5) ;

6) .

Ответ: 1) sin 240° = ; 2) cos ( – 315 °) = ; 3) tg ( – 225 °) = – 1;

4) ctg 300° = ; 5) ; 6)

№3. Доказать тождество:

 

Решение: Воспользуемся формулами приведения и упростим аргументы тригонометрических функций:

sin (p + a) = – sin a cos (p – a) = – cos a

sin (0,5 p + a) = cos a cos (0,5 p – a) = sin a

sin (p – a) = sin a cos (p + a) = – cos a

 

 

Воспользуемся формулой

cos 2a = cos ² a - sin ² a = 1 - 2 sin ² a = 2 cos ² a -1:

Воспользуемся формулой a ² – b ² = (a – b) · (a + b):

Сократим дроби и приведем подобные слагаемые:

cos a – sin a + sin a + cos a = 2 cos a 2 cos a = 2 cos a

 

Определим область допустимых значений выражения:

sin (0,5 p + a) + sin (p – a) ¹ 0 cos (0,5 p – a) + cos (p + a) ¹ 0

cos a + sin a ¹ 0 sin a – cos a ¹ 0

cos a ¹ – sin a sin a ¹ cos a

a ¹ + pk, k Î Z a ¹ + pk, k Î Z

Область допустимых значений выражения: a ¹ k, k Î Z.

Ответ: Тождество верно при a ¹ k, k Î Z.

Упражнения:

№1. Привести к тригонометрической функции острого угла, сохраняя название функции: а) sin 173°; б) tg 355°; в) ctg (– 215°).

№2. Привести к тригонометрической функции острого угла, изменив название функции: а) sin 1140°; б) tg 440°; в) cos 400°

№3. Упростить выражение:

а) sin (a– ) · cos (p – a) + sin (a – p) · sin (p + a);

б) sin ² (180° – a) + sin ² (270° – a);

в) cos ² (p + a) + cos ² ( + a);

г) ;

д) ;

е) sin ² (p – a) + tg ² (p – a) · tg ² ( + a) + sin ( + a) · cos (a – 2p);

ж)

№4. Доказать тождество:

1) (sin a + sin ( – a)) ² + (cos a – cos ( – a)) ² = 2;

2) ;

3) ;

4) sin ( + a) · ctg ( – a) + sin (p – a) + ctg ( – a) = tg a;

5) sin 200° · sin 310° + cos 340° · cos 50° =

№5. Вычислить:

1) tg 1800° – sin 495° + cos 480°; 2) cos 4455°– cos (– 945°) + tg 1035°– сtg (– 1500°);

3) ; 4)

13. Сумма и разность тригонометрических функций.

sin х + sin у = 2 · sin · cos