Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона

Ранее была выдвинута гипотеза о законе распределения рассматриваемой случайной величины. Сопоставление статистического распределения (гистограммы) и предполагаемого теоретического (графика плотности) показывает наличие некоторых расхождений между ними (см. рис.3). Объяснить возникновение несовпадений можно двумя разными способами:

1) Указанные расхождения несущественны и вызваны ограниченным количеством наблюдений и случайными факторами – случайностью результата единичного наблюдения, способа группировки данных и т. п. В этом случае выдвинутая гипотеза о распределении считается правдоподобной и принимается как не противоречащая опытным данным.

2) Указанные расхождения являются существенными (неслучайными) и связаны с тем, что действительное распределение случайной величины отличается от предполагаемого. В этом случае выдвинутая гипотеза о распределении отвергается как плохо согласующаяся с результатами наблюдений.

Для выбора первого или второго варианта ответа служат так называемые критерии согласия. Существует несколько различных критериев согласия: К. Пирсона, А. Н. Колмогорова, Н. В. Смирнова и другие. Мы рассмотрим лишь критерий Пирсона, называемый также критерием c ² («хи-квадрат»).

Критерий Пирсона выгодно отличается от остальных, во-первых, применимостью к любым (дискретным, непрерывным) распределениям и, во-вторых, простотой вычислительного алгоритма.

Группировка исходных данных

Критерий Пирсона применяется к сгруппированным данным. Предположим, что было произведено n независимых опытов, в каждом из которых изучаемая случайная величина приняла определенное значение. Предположим, что вся числовая ось разбита на несколько непересекающихся промежутков (интервалов и полуинтервалов). Обозначим через n_i количество результатов измерений (значений случайной величины), попавших
в i -й промежуток. Очевидно, что .

Отметим, что критерий c ² будет давать удовлетворительный для практических приложений результат, если:

1) количество n опытов достаточно велико, по крайней мере ;

2) в каждом промежутке окажется не менее 5-10 результатов измерений, то есть при любом i; если количество полученных значений в отдельных промежутках мало (меньше 5), то такие промежутки следует объединить с соседними, суммируя соответствующие частоты.

Пусть концами построенного разбиения являются точки z_i, где z₁<z₂<…<z_l-1, то есть само разбиение имеет вид

Произведем группировку для данного варианта. Объединим последние три промежутка разбиения, заменим самую левую границу разбиения на , а самую правую на и придём к следующему интервальному распределению, пригодному для непосредственного применения критерия Пирсона:

 

zi-1; zi	; 4,2	4,2; 8,4	8,4; 12,6	12,6; 16,8	16,8; 21,0	21,0; 25,2	25,2; 29,4	29,4; 33,6	33,6;
ni