Системи двох лінійних рівнянь із двома змінними

1. Системи лінійних рівнянь із двома змінними та їх розв’язки.

Розглянемо задачу.

У 7-А і 7-Б класах навчаються разом 56 учнів, до того ж, у 7-А класі на 4 учні більше, ніж у 7-Б. Скільки учнів у кожному класі?

Для розв’язання задачі позначимо кількість учнів 7-А класу через х, а кількість учнів 7-Б класу ¾ через у. За умовою задачі, у 7-А і 7-Б класах разом навчаються 56 учнів, тобто х + y = 56. У 7-а класі на 4 учні більше, ніж у 7-Б, тому різниця х - y дорівнює 4: х - y = 4.

Маємо два лінійні рівняння із двома змінними:

х + y = 56;

х - y = 4.

І в першому, і в другому рівняннях змінні позначають одні й ті ж величини ¾ кількості учнів 7-А і 7-Б класів. Тому потрібно знайти такі значення змінних, які перетворюють у правильну числову рівність і перше, і друге рівняння, тобто потрібно знайти спільні розв’язки цих рівнянь.

Якщо потрібно знайти спільні розв’язки двох рівнянь, то кажуть, що ці
рівняння утворюють систему рівнянь.

Систему рівнянь записують за допомогою фігурної дужки. Систему лінійних рівнянь із двома змінними, складену за умовою нашої задачі, записують так:

Спільним розв’язком обох рівнянь цієї системи є пара значень змінних х = 30, y = 26, бо рівності 30 + 26 = 56 і 30 - 26 = 4 є правильними. Цю пару чисел називають розв’язком системи рівнянь.

Означення

Розв’язком системи рівнянь із двома змінними називають пару значень змінних, для яких кожне рівняння системи перетворюється у правильну числову рівність.

Розв’язати систему рівнянь означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає.

2. Розв’язування систем лінійних рівнянь графічним способом.

Розв’яжемо систему рівнянь

Побудуємо в одній системі координат графіки обох рівнянь системи.
На рисунку 44 пряма АВ ¾ графік рівняння 2 х + y = -3, а пряма CD ¾ графік рівняння - х + 3 y = 5. Координати будь-якої точки прямої АВ є розв’язком першого рівняння системи, а координати будь-якої точки прямої CD є розв’язком другого рівняння. Будь-яка спільна точка цих прямих має координати, які є розв’язком як першого, так і другого рівнянь, тобто є розв’язком системи. Оскільки прямі АВ і CD перетинаються в єдиній точці М (-2; 1), то система рівнянь має єдиний розв’язок х = -2; y = 1. Цей розв’язок можна записувати й у вигляді пари (-2; 1).

Рис. 44

Спосіб розв’язування систем лінійних рівнянь, який ми щойно використали, називають графічним.

Щоб розв’язати систему лінійних рівнянь графічним способом, потрібно побудувати графіки рівнянь системи в одній системі координат і знайти координати спільних точок цих графіків.

Якщо в кожному з рівнянь системи хоча б один з коефіцієнтів біля змінних відмінний від нуля, то графіками таких рівнянь є прямі. Оскільки прямі можуть перетинатися, співпадати або бути паралельними, то такі системи рівнянь можуть мати один розв’язок, безліч розв’язків або не мати розв’язків.

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Розв’язати графічно систему рівнянь

● Побудуємо графіки обох рівнянь системи.

5 х - 2 y = 11   х - 3 y = -3 х       х   -3 y -3     y     Графіки перетинаються в єдиній точці ¾ точці М (3; 2). Отже, система рівнянь має єдиний розв’язок (3; 2). ● Примітка. Щоб не помилитися, визначаючи за графіками координати точки М, варто перевірити, чи справді знайдені координати є розв’язком системи. Перевіримо: якщо х = 3; y = 2, то 5 × 3 - 2 × 2 = 11 і 3 - 3 × 2 = -3 — правильні рівності. Пара (3; 2) справді є розв’язком системи.

Приклад 2. Скільки розв’язків має система рівнянь

● Побудуємо графіки рівнянь системи.   -2 х + y = 2   -6 х + 3 y = 6 х   -1   х   -1 y       y     Графіки співпадають. Система рівнянь має безліч розв’язків. ●

Приклад 3. Скільки розв’язків має система рівнянь

● Побудуємо графіки рівнянь системи. х + y = 3   2 х + 2 y = 3 х       х   1,5 y       y 1,5   Графіками рівнянь є паралельні прямі (бо Ð OAB = Ð OCD = 45°). Система рівнянь розв’язків не має. ●

Усно

937. Чи є розв’язком системи рівнянь пара чисел:

а) х = 2; y = 1; б) х = 0; y = 0?

938. Скільки розв’язків має система, графіки рівнянь якої зображені на рисунку 45; рисунку 46 (на рисунку 46 прямі паралельні)?

Рис. 45 Рис. 46

Рівень А

Розв’яжіть графічно систему рівнянь:

939. а) б)

в) г)

940. а) б) в)

941.Чи є пара чисел (-1; 3) розв’язком системи рівнянь:

а) б)

Рівень Б

942. Складіть яку-небудь систему рівнянь, що має розв’язок х = -2; y = 1.

943.Складіть яку-небудь систему рівнянь, що має розв’язок (3; -1).

Скільки розв’язків має система рівнянь:

944. а) б)

в) г)

945. а) б) в)

946. Знайдіть які-небудь два розв’язки системи рівнянь

Рівень В

947. Для яких значень коефіцієнтів а та b розв’язком системи
рівнянь є пара чисел (2; -1)?

948. Розв’яжіть графічно систему рівнянь:

а) б) в)

Вправи для повторення

949. Розв’яжіть рівняння:

а) 2 x - 6 = 2(1 - x); б) 3(6 y - 4) + 2 y = 0;

в) г)

950. Доведіть, що для будь-якого цілого значення n значення виразу
(n + 2)² - (n - 2)² ділиться на 8.

951*. Кожен із 28 туристів розмовляє англійською або французькою мовами. Відомо, що англійською мовою розмовляють 20 туристів, а французькою — 15. Яка ймовірність того, що навмання вибраний турист розмовляє і англійською, і французькою мовами?

952. З рівняння 2 х - 3 y = -4 виразіть:

а) змінну х через змінну y; б) змінну y через змінну x.

29. Розв’язування систем лінійних рівнянь
способом підстановки

Розглянемо правильну рівність 7 + 2 = 9. Якщо у цій рівності число 2 замінити числовим виразом 2(3 - 2), значення якого дорівнює 2, то одержимо правильну рівність 7 + 2(3 - 2) = 9. Навпаки, якщо у правильній рівності 7 + 2(3 - 2) = 9 вираз 2(3 - 2) замінити його значенням 2, то одержимо правильну рівність 7 + 2 = 9.

На цих властивостях числових рівностей базується розв’язування систем лінійних рівнянь способом підстановки. Розглянемо приклад.

Нехай треба розв’язати систему рівнянь

(1)

З першого рівняння системи виразимо змінну у через змінну х:

y = 3 - 2 х.

Підставимо у друге рівняння системи замість y вираз 3 - 2 х. Одержимо систему

(2)

Системи (1) і (2) мають одні й ті ж розв’язки (доведення у рубриці «Для тих, хто хоче знати більше»). Друге рівняння системи (2) має лише одну змінну х. Розв’яжемо його:

3 х - 6 + 4 х = 8; 7 х = 14; х = 2.

У перше рівняння системи (2) підставимо замість х число 2 і знайдемо відповідне значення у:

y = 3 - 2 × 2 = -1.

Пара чисел (2; -1) ¾ розв’язок системи (2), а також і системи (1).

Спосіб, використаний для розв’язання системи (1), називають способом підстановки.

Щоб розв’язати систему лінійних рівнянь способом підстановки, потрібно: 1) виразити з якого-небудь рівняння системи одну змінну через іншу; 2) підставити в інше рівняння системи замість цієї змінної одержаний вираз; 3) розв’язати одержане рівняння з однією змінною; 4) знайти відповідне значення іншої змінної.

Для тих, хто хоче знати більше

Доведемо, що системи (1) і (2) мають одні й ті ж розв’язки.

Нехай пара чисел (a; b) ¾ довільний розв’язок системи (1). Тоді правильними є числові рівності 2 а + b = 3 і 3 а - 2 b = 8, а отже, і рівність b = 3 - 2 a. Замінимо в рівності 3 а - 2 b = 8 число b виразом 3 - 2 a, одержимо правильну рівність 3 а - 2(3 - 2 a) = 8. Оскільки рівності b = 3 - 2 a і 3 а - 2(3 - 2 a) = 8 є правильними, то пара чисел (a; b) є розв’язком системи (2). Ми показали, що довільний розв’язок системи (1) є розв’язком системи (2).

Навпаки, нехай пара чисел (с; d) ¾ довільний розв’язок системи (2). Тоді правильними є числові рівності d = 3 - 2 c і 3 c - 2(3 - 2 c) = 8. Замінимо в рівності 3 c - 2(3 - 2 c) = 8 вираз 3 - 2 c числом d, одержимо правильну рівність 3 c - 2 d = 8.
З рівності d = 3 - 2 c випливає, що 2 c + d = 3. Оскільки рівності 2 c + d = 3 і 3 c - 2 d = 8 є правильними, то пара чисел (c; d) є розв’язком системи (1). Ми показали, що довільний розв’язок системи (2) є розв’язком системи (1).

Отже, системи (1) і (2) мають одні й ті ж розв’язки.

Системи рівнянь із двома змінними, які мають одні й ті ж розв’язки, називають рівносильними. Отже, розв’язуючи систему рівнянь (1), ми замінили її рівносильною системою (2).

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Розв’язати систему рівнянь

● Виразимо з першого рівняння змінну у через змінну х:

5 y = 4 х - 7; y =

Підставимо у друге рівняння системи замість у вираз і розв’яжемо одержане рівняння:

3 х + 4 × = -18;

15 х + 4(4 х - 7) = -90;

15 х + 16 х - 28 = -90;

31 х = -62;

х = -2.

Знайдемо відповідне значення змінної у:

у = = -3.

Відповідь. (-2; -3). ●

Приклад 2.Для яких значень коефіцієнта а система рівнянь не має розв’язку?

● Виразимо із другого рівняння змінну х через змінну у: х = 2 у + 3.

Підставивши у перше рівняння системи замість х вираз 2 у + 3, одержимо рівняння:

3(2 у + 3)- ау = 2.

Далі матимемо:

6 у + 9 - ау = 2; 6 у - ау = 2 - 9; (6 - а) у = -7.

Останнє рівняння не має коренів лише у випадку, коли коефіцієнт біля у дорівнює нулю: 6 - а = 0; а = 6. Для цього значення а система рівнянь не має розв’язку.

Відповідь. а = 6. ●

Приклад 3. Графіком функції є пряма, що проходить через точки A (–1; 2) і B (2; 5). Задати цю функцію формулою.

● Пряма є графіком лінійної функції. Нехай шукана лінійна функція задається формулою у = kx + b, де k і b — поки що невідомі числа. Оскільки графік функції проходить через точки A (–1; 2) і B (2; 5), то повинні виконуватися дві рівності

2 = k × (–1)+ b і 5 = k × 2+ b.

Розв’язавши систему знайдемо: k = 1, b = 3. Отже, функція задається формулою у = х + 3. ●

Рівень А

Розв’яжіть систему рівнянь способом підстановки:

953. а) б)

954. а) б) в)

г) д) е)

955. а) б) в)

г) д) е)

Рівень Б

Розв’яжіть систему рівнянь способом підстановки:

956. а) б)

в) г)

957. а) б) в)

Знайдіть координати точки перетину графіків рівнянь, не виконуючи
побудов:

958. а) х - у = 4 і х + 2 у = -2; б) 5 х - 2 у = 10 і 3 х - 4 у = -8.

959.7 х + 4 у = 9 і 2 х + 5 у = -9.

Знайдіть розв’язки системи рівнянь:

960. а) б)

в) г)

д) е)

961. а) б)

в) г)

962. Доведіть, що графіками рівнянь 4 х - 2 у = 5 і 6 х - 3 у = 6 є паралельні прямі.

963. Графіком функції є пряма, що проходить через точки A (–2; 6), B (3; 1). Задайте цю функцію формулою.

964.Графіком функції є пряма, що проходить через точки A (–3; 2), B (3; –1). Задайте цю функцію формулою.

Рівень В

965. Розв’яжіть систему рівнянь:

а) б)

в) г)

д)

966. Для яких значень коефіцієнта а система рівнянь не має розв’язку?

967. Для яких значень коефіцієнта b система рівнянь має безліч розв’язків?

Вправи для повторення

968. Розкладіть на множники:

а) 2 x - 6 - xу + 3 у; б) y ³ - 10 y ² + 25 у;

в) (a - 2 b)² - 4 a ²; г) 27 a ³ - b ³.

969. Доведіть, що значення виразу 4(а - 2)² - (2 а - 3)² + 4 а не залежать від значень а.

970. Відомо, що а ² + b ² = 25 і аb = -12. Знайдіть: (а + b)²; (а - b)².

971*. Вираз 2 а ² - аb для a = -2 і деякого значенні b набуває значення 4.
Якого значення набуває для тих самих значень a і b вираз а + 2(а + (2 a - b))?

972*. Чи можна розмістити 100 книжок на трьох полицях так, щоб на другій полиці було на 20 книжок більше, ніж на першій, і на 7 книжок менше, ніж на третій?