Множення одночлена на многочлен

Помножимо одночлен 2 а на многочлен а ² - 3 а + 4. Використовуючи розподільний закон множення, матимемо:

2 а (а ² - 3 а + 4) = 2 а × а ² - 2 а × 3 а + 2 а × 4 = 2 а ³ - 6 а ² + 8 а.

Отже, добутком одночлена 2 а і многочлена а ² - 3 а + 4 є многочлен 2 а ³ - 6 а ² + 8 а. Щоб знайти добуток, ми помножили одночлен на кожний член многочлена й одержані результати додали.

Щоб помножити одночлен на многочлен, треба одночлен помножити на кожний член многочлена й одержані добутки додати.

За цим правилом можна множити і многочлен на одночлен. Наприклад:

(3 х ² - х + 2) × 3 х = 3 х ² × 3 х - х × 3 х + 2 × 3 х = 9 х ³ - 3 х ²+ 6 х.

Добуток будь-якого одночлена і будь-якого многочлена завжди можна записати у вигляді многочлена.

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Виконати множення:

а) 2 a ² b × (-5 b ² + 2 ab); б) (2 a + b - 3 c) × (-4 а).

● а) 2 a ² b × (-5 b ² + 2 ab) = 2 a ² b × (-5 b ²) + 2 a ² b × 2 ab = -10 a ² b ³ + 4 a ³ b ².

Скорочений запис: 2 a ² b × (-5 b ² + 2 ab) = -10 a ² b ³ + 4 a ³ b ².

б) (2 a + b - 3 c) × (-4 а) = 2 a × (-4 а) + b × (-4 а) - 3 c × (-4 а) =

= -8 a ²- 4 аb + 12 ас.

Скорочений запис: (2 a + b - 3 c) × (-4 а) = -8 a ²- 4 аb + 12 ас. ●

Приклад 2. Спростити вираз 5 х (х ² + 4 х - 2) - 2 х ²(3 х - 1).

● 5 х (х ² + 4 х - 2) - 2 х ²(3 х - 1) = =

= - х ³ + 22 х ² - 10 х. ●

Приклад 3. Розв’язати рівняння 2 х (2 х + 3) - 7 = 4 х ² - 4.

● 4 х ² + 6 х - 7 = 4 х ² - 4; 4 х ² + 6 х - 4 х ² = 7 - 4; 6 х = 3; х = 0,5.

Відповідь. 0,5. ●

Усно

388. Виконайте множення:

a) a (а + 1); б) а (а ² - 2 a); в) х (х ² + х - 4);

г) (a + 4) × a; д) (b + 2 a) × b; е) (y ² + 4 y + 4) × y.

Рівень А

Перемножте вирази:

389. а) х (2 х - 5); б) 2 а ²(5 а + 3); в) b (4 b ² + 3 b);

г) - а ²(a ² - 2 a + 1); д) 4 с ²(2 с ³ - с ²+ 5); е) - аb (2 a - 3 b - 2);

є) (х ² - 5 х) × х ²; ж) (- y ³+ 5 y ³) × (-4 y); з) (y ² - x - 3) × 2 xy.

390. а) а (2 а + 3); б) 3 х (х ² - 4 х + 3); в) -2 b (b ² + 2 b - 3);

г) 3 с ²(-2 с ⁴+ с ² + 3); д) (-3 n ²+ 2 n) × 2 n; е) (2 a ² - 2 a - 5) × (-3 a).

Запишіть у вигляді многочлена стандартного вигляду:

391. a) - х (4 х - 3) + 3; б) (5 а + 2) × (-4 а) + 10 а ²;

в) a ²(2 a ³ + а) - 2 a ³; г) 4 x (2 x - 3 x ²) - 8 x ²- 2 x.

392. а) -3 а ²(а - 1) - 3 а ²; б) 2 b (3 b ² - 2) - 2 b ³ + 1.

Спростіть вираз:

393. а) a (2 a + b) - ab; б) 4 y (2 x - y) - 8 xy + 2 y ²;

в) 2(4 т ² - 3) + m (-8 m - 3); г) - х (2 x - y) - (-2 x ² + xy).

394. а) c (c ² + 3 с) - 3 c ²; б) -5 х (x ² + 3 х - 4) - 20 х;

в) 2 а (3 а -4 b) + 8 аb - 2 а ²; г) -4 аb + 2 а (2 b + 3) - 6 а.

Розв’яжіть рівняння:

395. а) 2(2 х - 1) + 3 = х - 2; б) 9 - 4(1 - 2 х) = 10 х;

в) -1,5(6 х + 1) + 3 х = 3; г) 4 х (1 - 2 х) + 8 х ² = 24.

396. а) 2 + 3(5 х - 3) = 8 х; б) 24 - 2(2 х + 6) = х.

Рівень Б

Спростіть вираз:

397. а) 2 a (- а + 2 а ²) - 4(а ³ + 2 a - 2);

б) 5 x ³(3 x ³- 2 x + 1)- x ²(8 x ²+ 5 x);

в) -8 m ³ n (mn ² - mn - n ²)- (2 mn)³; г) 2 xy ² - x (6 x + 6 y ²- 1) +

д) 2 ab (5 c + 2 а)- a (4 ab - bc); е) -5 x ³ y (2 x ² y +4 y ³ x)-4 x ⁴(2 xy ²-5 y ⁴).

398. а) a ²(1 + 2 a + b ²) - (a ² b ² + a ²); б) 4 xy (2 x - y) - 2 х (4 xy - 1);

в) -2 т ² n ³(4 mn ² - 8 m ² n) -(4 т ² n ²)²; г)

399. Доведіть, що для всіх значень х вираз x ²(x - 2) - x (x ² + 2) + 2 x (1 + x) + 3 набуває одного й того ж значення.

400. Доведіть, що значення виразу x (x ² + 2 y) - y (y + x) + y (y - x) не залежать від значень y.

401. Доведіть, що для кожного від’ємного значення а значення виразу
а ²(а ³ - а ² + а - 1) - а (а ⁴ - а ³ + а ² - а + 1) є додатним.

402. Доведіть, що для будь-яких значеннь х, y та z значення виразу
x (x - y + z) + y (y - z + x) + z (z - x + y) є невід’ємним.

Доведіть тотожність:

403. а) a (b - c) + b (c - a) + c (a - b) = 0;

б) a (b ² - bc + c ²) + ab (c - b) + ac (b - c) = abc;

в) х ⁴(х ³ - х ²) - х ³(х ⁴ - х ³) + х ²(х ⁵ - х ⁴) - х (х ⁶ - х ⁵) = 0;

г) ab (c - ab) + bc (a - bc) + ca (b - ca) + a ² b ² + b ² c ² + c ² a ² = 3 abc.

404. а) x (x - yz) + y (y - zx) + z (z - xy) + 3 xyz = x ² + y ² + z ²;

б) a (a ⁴- 2 a ³ + 3 a ²) - a ²(a ³- a ² + 2 a) + a ³(a - 1) = 0.

Розв’яжіть рівняння:

405. а) 5(3 х - 6) + 4(3 - 2 х) = 5 х - 8; б) 0,4(2 х - 7) + 1,2(3 х + 0,7) = 1,6 х;

в) х (3 + 2 х + 4 х ²) - 2 х ²(2 х + 1) = 9; г) 2,5 х - 2 х (1,5 х + 1) = 1 – 3 х ².

406. а) -5(4 х + 3) + 3 х = -12(х - 5); б) 9(х - 3) - 4(7 - 3 х) - 3 = –8 х;

в) 3 х ²(х + 1) - (3 х ³ + 3 х ² + х – 1) = 0; г) 1,2 х (х + 2) – 3(0,4 х ² + 1) = 0,6.

407. а) б)

408. а) б)

409. Сума двох чисел дорівнює 10, а сума їх добутку і квадрата меншого
числа дорівнює 15. Знайдіть ці числа.

410.Знайдіть площу прямокутника за такими даними: його довжина у 2,4 разу більша від ширини; якщо ширину прямокутника збільшити на 2 см, то площа збільшиться на 24 см².

411. Дано три ділянки прямокутної форми. Довжина першої ділянки удвічі більша від її ширини. Друга ділянка має таку ж ширину, як перша, а
довжину на 4 м більшу, ніж перша. Третя ділянка має таку ж довжину, як перша, а ширину на 4 м більшу, ніж перша. Знайдіть площу першої ділянки, якщо площа другої ділянки менша від площі третьої на 40 м².

Рівень В

412. Спростіть вираз (n ¾ натуральне число):

а) x^{n + 2}(x^{n + 3} - 1) - xⁿ (x^{n + 5} - x ²);

б) а^{n + 1}(а^{n + 1} - 4) - аⁿ (а^{n + 2} – 4 a + 1);

в) xⁿ (x^{n +1}(x^{n + 2} + x^{n + 1}(x ² - x + 1))).

413. Доведіть тотожність:

а (1 + а + а ² + … + а ⁹ + а ¹⁰) - (1 + а + а ² + … + а ⁹ + а ¹⁰) = а ¹¹ - 1.

414. Доведіть, що значення виразу

3 x^{n + 2} у^{n + 1}(2 x ² у ³ - 4 xу + 6) - 2 x^{n + 1} уⁿ (3 x ³ у ⁴ - 6 x ² у ² + 9 ху),

де n ¾ натуральне число, не залежать від значень x і у.

415. Учні 7 класу прийшли до театру. В антракті всі вони побігли в буфет. Кожен хлопець купив пиріжок, а кожна дівчина ¾ булочку. Якби кожна дівчина купила пиріжок, а кожен хлопець ¾ булочку, то вони разом витратили б на 50 к. менше. Пиріжок дорожчий від булочки на 10 к. Кого було більше — хлопців чи дівчат — і на скільки більше?

416. У банці було 3 л спирту. З неї відлили х л спирту і долили таку ж кількість води. Потім, коли спирт і вода змішалися, з банки відлили х л суміші. Скільки літрів спирту залишилося в банці?

Вправи для повторення

417. Перший автомобіль долає шлях між двома містами за 1,5 год, а другий ¾ за 1,2 год. Швидкість другого автомобіля більша від швидкості першого на 15 км/год. Знайдіть відстань між містами.

418. З міста А до міста В одночасно виїхали легковий автомобіль і автофургон. Коли через 2,5 год легковий автомобіль прибув до міста В, автофургону залишалося їхати до міста В ще 30 км. Знайдіть відстань між містами, якщо швидкість легкового автомобіля в 1,2 разу більша від швидкості автофургона.

419*. Пірати захопили скриню із золотими монетами й вирішили поділити здобич порівну. Якби піратів було на 10 менше, то кожному дісталося б монет в 1,2 разу більше. Скільки було піратів?

420. Виконайте множення одночленів:

а) 5 a ² · 3 a ³; б) 0,2 a ³ b · 10 a; в) 2 ax · (–0,3 ax ²);

г) 4 m · 3 m ² n; д) –2 cd · (–3 c ⁴ d); е) 4 a ³ b · (–0,5 a ² b ³).

421. Запишіть у вигляді виразу:

а) добуток двочленів a – b і 2 a + b;

б) добуток суми виразів 2 a і 3 b та їх різниці.