Приведение матрицы к жордановой нормальной форме.

 

В предыдущем параграфе мы выяснили, что если матрица с элементами из поля приводится к жордановой нормальной форме, то эта форма определяется для матрицы однозначно с точностью до расположения жордановых клеток на главной диагонали. В этом параграфе мы укажем условие того, чтобы матрица допускала такое приведение, а так же способ практического разыскания жордановой матрицы, подобной матрице , если такая жорданова матрица существует.

ТЕОРЕМА 1. Матрица с элементами из поля тогда и только тогда приводится в поле к жордановой нормальной форме, если все характеристические корни матрицы лежат в самом основном поле .

В самом деле, если матрица подобна жордановой матрице , то эти две матрицы обладают одними и теми же характеристическими корнями. Характеристические корни матрицы находятся, однако, без всяких затруднений: так как определитель матрицы равен произведению ее элементов, стоящих на главной диагонали, то многочлен разлагается над полем на линейные множители и его корнями служат числа, стоящие на главной диагонали матрицы , и только они.

Обратно, пусть все характеристические корни матрицы лежат в самом поле . Если отличные от инвариантные множители матрицы будут

, (10)

то

.

Действительно, определители матрицы и ее канонической матрицы могут отличаться друг от друга лишь постоянным множителем, который на самом деле равен , так как именно таков старший коэффициент характеристического многочлена . Таким образом, среди многочленов (10) нет равных нулю, сумма степеней этих многочленов равна и все они разлагаются над полем на линейные множители последнее ввиду того, что, по условию, многочлен обладает таким разложением.

Пусть (8) будут разложения многочленов (10) в произведения степеней линейных множителей. Назовем элементарными делителями многочлена , отличные от единицы степени различных линейных двучленов, входящие в его разложение (8), т. е.

Элементарные делители всех многочленов (10) назовем элементарными делителями матрицы и выпишем их в виде таблицы (7).

Возьмем теперь жорданову матрицу порядка , составленную из жордановых клеток, определяемых следующим образом: каждому элементарному делителю матрицы ставим в соответствие жорданову клетку порядка , относящуюся к числу . Очевидно, что отличными от инвариантными множителями матрицы будут многочлены (10) и только они. Поэтому матрицы и эквивалентны и, следовательно, матрица подобна жордановой
матрице . □

Пример 5. Найти жорданову нормальную форму матрицы

Решение. Приводя обычным способом матрицу к каноническому виду, получим, что отличными от единицы инвариантными множителями этой матрицы будут многочлены

Мы видим, что матрица приводится к жордановой нормальной форме далее в поле рациональных чисел. Ее элементарными делителями являются многочлены и , а поэтому жордановой нормальной формой матрицы служит матрица

.

На основании предшествующих результатов может быть доказано, наконец, следующее необходимое и достаточное условие приводимости матрицы к диагональному виду.

ТЕОРЕМА 2. Матрица порядка с элементами из поля тогда и только тогда приводится к диагональному виду, если все корни последнего инвариантного множителя ее характеристической матрицы лежат в поле , причем среди этих корней нет кратных.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В самом деле, приводимость матрицы к диагональному виду равносильна приводимости к такому жорданову виду, все жордановы клетки которого имеют порядок . Иными словами, все элементарные делители матрицы должны быть многочленами первой степени. Так как, однако, все инвариантные множители матрицы являются делителями многочлена , то последнее условие равносильно тому, что все элементарные делители многочлена имеют степень , что и требовалось доказать. □

 

 

Минимальный многочлен.

Пусть дана квадратная матрица порядка с элементами из поля . Если

произвольный многочлен из кольца , то матрица

будет называться значением многочлена при .

Нетрудно проверить, что если или , то и, соответственно, .

Если многочлен аннулируется матрицей , т. е. , то матрицу будем называть матричным корнем многочлена .

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Всякая матрица служит корнем некоторого ненулевого многочлена.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Известно, что все квадратные матрицы порядка составляют над полем мерное векторное пространство. Отсюда следует, что система из матриц

линейно зависима над полем , т. е. в существуют такие элементы , не все равные нулю, что

.

Таким образом, матрица оказалась корнем ненулевого многочлена

,

степень которого не превосходит . □

Матрица является корнем и для некоторых таких многочленов, старшие коэффициенты которых равны единице достаточно взять любой ненулевой многочлен, аннулируемый матрицей , и разделить этот многочлен на его старший коэффициент. Многочлен наименьшей степени со старшим коэффициентом , аннулируемый, матрицей , называется минимальным многочленом матрицы . Заметим, что минимальный многочлен матрицы определен однозначно, так как разность двух таких многочленов имела бы меньшую степень, чем каждый из них, но также аннулировалась бы матрицей .

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Всякий многочлен , аннулируемый матрицей , делится нацело на минимальный многочлен этой матрицы.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Разделим на с остатком

,

тогда

и из того, что следует , но степень меньше степени , что противоречит определению минимального многочлена. □

Для доказательства основной теоремы данного параграфа потребуется вспомогательное утверждение.

ЛЕММА. Пусть

, . (1)

Если

(2)

то

(3)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно доказать хотя бы первое из двух утверждений леммы второе доказывается аналогично. Доказательство состоит в непосредственной проверке справедливости равенства (2), если многочлен будет заменен его записью (1), вместо будет подставлено (3), а в качестве будет взят многочлен

ТЕОРЕМА 1. Минимальный многочлен матрицы совпадает с последним инвариантным множителем характеристической матрицы .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Как следует из § 3.1

. (4)

Значит, многочлены и не будут нулевыми. Обозначим, далее, через матрицу, составленную из алгебраических дополнений матрицы , причём алгебраические дополнения элементов каждой строки располагаются в соответствующем столбце.

Тогда справедливо равенство

. (5)

С другой стороны, так как элементами матрицы служат взятые со знаками плюс или минус миноры го порядка матрицы и только они, а многочлен есть общий наибольший делитель всех этих миноров, то

, (6)

причем наибольший общий делитель элементов матрицы равен .

Из равенств (5), (6) и (4) вытекает равенство

.

Это равенство можно сократить на ненулевой множитель . Таким образом,

,

откуда

. (7)

Это равенство показывает, что остаток от деления матрицы слева, на двучлен равен нулю. Из леммы вытекает, что этот остаток равен матрице . Действительно, матрица может быть записана как матричный многочлен, коэффициенты которого являются скалярными матрицами, т. е. перестановочные с матрицей . Таким образом , т. е. многочлен действительно аннулируется матрицей .

Отсюда следует, что многочлен нацело делится на минимальный многочлен матрицы ,

. (8)

Ясно, что старший коэффициент многочлена равен единице.

Так как , то по лемме остаток от левого деления матрицы на двучлен равен нулю, т. е.

. (9)

Равенства (8), (7) и (9) приводят к равенству

.

Обе части этого равенства можно сократить на общий множитель , так как старший коэффициент этого матричного многочлена является невырожденной матрицей. Таким образом,

.

Мы помним, однако, что наибольший общий делитель элементов матрицы равен . Поэтому многочлен должен иметь нулевую степень, а так как его старший коэффициент равен , то . Таким образом, ввиду (8), что и требовалось доказать. □

Так как, ввиду (4), характеристический многочлен матрицы нацело делится на многочлен , то из доказанной сейчас теоремы вытекает следующая

ТЕОРЕМА 2 (Гамильтона Кэли). Всякая матрица является корнем своего характеристического многочлена. □

 

ТЕОРЕМА 3. Если матрицы и подобны и если многочлен аннулируется матрицей , то он аннулируется и матрицей .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, пусть .

Если

, то

.

Трансформируя обе части этого равенства матрицей , получаем:

т.е. . □

СЛЕДСТВИЕ. Подобные матрицы обладают одним и тем же минимальным многочленом. □

Пусть теперь линейный оператор в мерном линейном пространстве над полем . Матрицы, задающие этот оператор в разных базисах пространства, подобны между собой. Общий минимальный многочлен этих матриц называется минимальным многочленом линейного оператора .

Используя операции над линейными операторами [2] можно ввести понятие значения многочлена

из кольца при , равном линейному оператору : это

будет линейный оператор

,

где тождественный оператор.

Будем говорить, что многочлен аннулируется линейным оператором , если , где нулевой оператор.

Учитывая связь между операциями над линейными операторами и над матрицами можно доказать следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 4. Минимальный многочлен линейного оператора является тем однозначно определенным многочленом наименьшей степени со старшим коэффициентом , который аннулируется оператором . □

После этого результаты, полученные выше, в частности теорема Гамильтона Кэли, могут быть переформулированы на языке линейных операторов.

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ III.

22. Привести следующие матрицы к нормальной диагональной форме посредством элементарных преобразований:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

23. Привести следующие матрицы к нормальной диагональной форме методом нахождения делителей миноров:

а)

б)

в)

24. Привести следующие матрицы к нормальной диагональной форме используя комбинированный метод:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

25. Выяснить, эквивалентны ли между собой следующие матрицы:

а)

б)

в)

26. Найти элементарные делители следующих матриц:

а)

б)

в)

27. Найти нормальную диагональную форму квадратной матрицы, если известны её элементарные делители, ранг и порядок :

а)

б)

в)

28. Выяснить, являются ли подобными между собой следующие матрицы:

а)

б)

в)

г)

29.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

л)

м)

н)

о)

п)

30. Выяснить, являются ли следующие матрицы подобными некоторым диагональным матрицам в полях рациональных, вещественных и комплексных чисел:

а)

б)

в)

г)

31. Найти минимальные многочлены следующих матриц:

а)

б)

ОТВЕТЫ.

1.

а) да;

б) нет;

в) да;

г) да;

д) нет.

2.

а) да;

б) нет;

в) да;

г) да;

д) нет;

е) нет;

ж) да.

3.

а) нет;

б) да;

в) да;

г) нет;

д) да;

е) нет;

ж) да.

4.

а) ;

б) ;

в) .

5.

а) ;

б) .

6.

а) ;

б) ;

в) .

7.

а) нет;

б) да,

в) да,

г) нет;

д) да,

е) да,

8. .

9.

а) нет;

б) да;

в) да.

10. Диагональная матрица является ортогональной тогда и только тогда, когда каждый диагональный элемент равен .

11.

а)

б)

в)

12.

а) нет;

б) да;

в) нет;

г) да.

13.

а)

б) ни при каком

14.

а)

б)

в)

15.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

16.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

17.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

18. Ответ определяется неоднозначно.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

19. Ответ определяется неоднозначно.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

л)

м)

20.

а) положительно определённая;

б) не является знакоопределённой;

в) не является знакоопределённой;

г) положительно определённая;

д) отрицательно определённая;

е) не является знакоопределённой.

21.

а) для любого ;

б) ни при каком значении ;

в) ;

г) ;

д) ни при каком значении ;

е) ;

ж) .

22.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

23.

а)

б)

в)

24.

а)

б)

в) где порядок данной матрицы.

г)

д)

е)

25.

а) эквивалентны;

б) не эквивалентны;

в) матрицы и эквивалентны между собой и не эквивалентны матрице .

26.

а)

б)

в) элементарных делителей не существует.

27.

а)

б)

в)

28.

а) подобны;

б) подобны;

в) матрицы и подобны между собой, но не подобны матрице ;

г) матрицы и подобны между собой, но не подобны матрице .

 

 

29.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

л)

м)

н)

о)

п)

30.

а) в поле рациональных чисел подобна матрице

б) в поле вещественных чисел подобна матрице

в) в поле комплексных чисел подобна матрице

г) не подобна диагональной матрице ни в каком поле.

31.

а)

б)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

1. Апатенок Р. Ф., Маркина Л. М., Хейнман В. Б. Сборник задач по линейной алгебре и аналитической геометрии. - Минск: Высшая школа, 1990.

2. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учеб.: Для ВУЗов. - М.: Физматлит, 2001.

3. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.

4. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Наука, 1984.

5. Шипачёв В. С. Задачник по высшей математике: Учеб. пособие для ВУЗов. - М.: Высшая школа, 2002.

СОДЕРЖАНИЕ.

ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВОМ

И УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВАХ. 3

§1.1. Евклидовы и унитарные пространства. 3

§1.2. Изоморфизм унитарных пространств. 13

§1.3. Линейные функции. 14

§1.4. Сопряжённые операторы. 16

§1.5. Нормальные операторы. 20

§1.6. Унитарные операторы. 22

§1.7. Эрмитовы (самосопряжённые) операторы. 24

§1.8. Кососимметрические операторы. 25

§1.9. Неотрицательные линейные операторы. 26

§1.10. Линейные операторы в евклидовом пространстве. 28

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I. 34

ГЛАВА II. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. 39

§2.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. 39

§2.2. Приведение квадратичной формы к главным осям. 48

§2.3. Закон инерции. 52

§2.4. Распадающиеся квадратичные формы. 57

§2.5. Положительно определенные формы. 59

§2.6. Пары форм. 65

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ II. 67

ГЛАВА 3. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ. 70

§3.1. матрицы, их эквивалентность. 70

§3.2. Унимодулярные -матрицы. Второй

критерий эквивалентности. 79

§3.3. Матричные многочлены. 83

§3.4. Связь подобия числовых матриц с эквивалентностью

их характеристических матриц. 86

§ 3.5. Жорданова нормальная форма. 89

§ 3.6. Приведение матрицы к жордановой нормальной форме. 97

§ 3.7. Минимальный многочлен. 100

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ III. 106

ОТВЕТЫ. 112

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. 122

СОДЕРЖАНИЕ. 123

 

Дмитрий Иванович Иванов

 

 

АЛГЕБРА

(часть II)

 

 

Учебно-методическое пособие