Понятие векторного пространства

Определение. Множество R элементов называется векторным или линейным пространством, если:

1. Любой паре элементов и однозначно ставится в соответствие элемент , называемый суммой и и обозначаемый ;

2. Каждому элементу и любому числу ставится в соответствие элемент , называемый произведением элемента на число и обозначаемый ;

3. Введение операций сложения элементов и умножения элементов на число удовлетворяют следующим аксиомам:

I. ;

II. , для любых ;

III. существует такой нулевой элемент , что , для любого ;

IV. для каждого элемента существует такой элемент (называемый противоположным к ), что ;

V. ;

VI. , для любого и любых чисел ;

VII. , для любого и любых чисел ;

VIII. , для любых и из R и любого числа ;

Элементы векторного пространства называются векторами. Если в пространстве R определено умножение его элементов на вещественные числа, то R называется вещественным векторным пространством. Если элементы из R можно умножать на комплексные числа, то R называется комплексным векторным пространством. Из аксиом I – VIII непосредственно вытекают следующие свойства векторного пространства:

1. Единственность нулевого вектора. Предположим, что в пространстве R имеются два нулевых вектора и . Тогда, так как для любого имеем и , то, в частности, полагая , получаем и, полагая , получаем . Ввиду равенства получаем .

2. Единственность противоположного вектора. Предположим, что у вектора имеются два противоположных вектора и . Тогда и . Следовательно, , и , откуда .

3. Для каждого вектора . Действительно, для каждого имеем . Прибавляя к левой и правой частям последнего равенства , получим , или .

4. Для любого числа и . Действительно, . Прибавляя к левой и правой частям равенства , получим .

5. Если произведение , то либо , либо . В самом деле, пусть , тогда .

Приведем следующие примеры некоторых векторных пространств.

1. Множество всех вещественных чисел с обычными операциями сложения и умножения. Данное множество является векторным пространством, если числовой множитель является элементом множества рациональных или вещественных чисел. Если числовой множитель есть элемент множества комплексных чисел, то данное множество не образует векторного пространства, так как произведение действительного числа на комплексное число в общем случае есть комплексное число.

2. Множество всех рациональных чисел образует здесь векторное пространство, если числовой множитель есть рациональное число. Если числовой множитель является вещественным или комплексным числом, то это множество векторного пространства не образует.

3. Рассмотрим множество элементов, каждый из которых является упорядоченной последовательностью из действительных чисел. Элементы этого множества будем называть векторами и обозначать

,

Операции сложения векторов и умножения вектора на число вводятся следующим образом:

, .

Введенные операции удовлетворяют всем аксиомам I – VIII векторного пространства. Значит, это множество является векторным пространством, которое обозначим R_n. Очевидно, что нулевой вектор из R_n имеет вид: .

4. Множество всех многочленов степени, не превосходящей n, с обычными для многочленов операциями сложения и умножения на число. В этом пространстве вектор имеет вид: , где А₀,А₁,…,A_n – произвольные числа, t – переменная. Данное множество является векторным пространством.

Пусть множество R образует некоторое векторное пространство. Тогда всякое подмножество R₁ множества R, элементы которого также образуют векторное пространство с теми же самыми операциями сложения и умножения на число, что и в R, называется подпространством векторного пространства R. Для того чтобы подмножество R₁ множества R было подпространством векторного пространства, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

1) если и , то

2) если и – любое число, то .

Необходимость следует из того, что эти условия должны выполняться для любого векторного пространства.

Для доказательства достаточности надо показать, что выполняются все восемь аксиом векторного пространства.

Справедливость аксиом I, II, V – VIII очевидна. Докажем выполняемость аксиомы III. Так как по условию, если , то при любом , то, полагая = 0, получим . Но и, следовательно, аксиома III верна. Для доказательства аксиомы IV положим . Так как , то , a есть вектор, противоположный вектору . Следовательно, подмножество R ₁ вместе с вектором содержит и противоположный ему элемент, что и доказывает выполнимость аксиомы IV.