Произведение двух многочленов с целыми коэффициентами.

Произведение двух многочленов с целыми коэффициентами.

 

Определение: многочлен f(x) с целыми коэффициентами называется примитивным, если НОД всех его коэффициентов равен 1.

 

Лемма 3. Произведение двух примитивных многочленов также является примитивным многочленом.

 

Лемма 4: если многочлен с целыми коэффициентами приводим над полем Q, то его можно представить в виде произведения двух многочленов с целыми коэффициентами, степень каждого из которых меньше степени многочлена .

 

до-во: т.к. f(x) – приводим, то его можно представить в виде , , , и - многочлены с рациональными коэффициентами.

Пусть – НОК всех знаменателей коэффициентов многочленов и , тогда , где – многочлены с целыми коэффициентами. Если – НОД коэффициентов многочленов , то , где – примитивные многочлены. При необходимости сократив дробь, представим её в виде , где , таким образом из делит все коэффициенты многочлена . По лемме 3 этот многочлен является примитивным ⇨ .

до-но.

 

Алгебраическая замкнутость поля.

 

Определение: поле Р называется алгебраически замкнутым, если всякий многочлен из кольца степени разлагается над полем Р в произведение линейных множителей.

 

Определение: поле Р называется алгебраически замкнутым, если всякий многочлен из степени имеет в поле Р хотя бы один корень.

 

Покажем, что определения эквивалентны. Пусть поле Р алгебраически замкнуто по первому определению:

, где - элементы поля Р ⇨ - это корни ⇨ Р алгебраически замкнуто по второму определению.

Пусть поле Р алгебраически замкнуто по второму определению, т.е. всякий многочлен из кольца имеет корень – корень

Поле Р алгебраически замкнуто по первому определению.

 

Основная теорема алгебры.

 

Определение: функция от комплексной переменной называется непрерывной в точке , когда для любого сколь угодно малого действительного числа существует , что удовлетворяющего неравенству будет выполнено неравенство , и - действительные .

Функция f(x) называется непрерывной, если она непрерывна в каждой точке области определения.

 

Лемма 1:всякий многочлен из кольца является непрерывной функцией.

Лемма 2: модуль многочлена из кольца является непрерывной функцией.

Следствие: если последовательность комплексных чисел сходится к , то

Следствие: если последовательность комплексных чисел сходится к , то , то

Лемма 3 (Доломбера): пусть многочлен из кольца C[x], , если , то существует комплексное число C, что .

Лемма 4 (о возрастании модуля многочлена): пусть - последовательность комплексных чисел такая что

Теорема (основная теорема алгебры): всякий многочлен из кольца степени имеет по крайней мере один комплексный корень.

до-во: Обозначим через M множество всех значений модуля многочлена f (x). Пусть множество М всех значений модуля многочлена . Так как для любого C – комплексного, – неотрицательное действительное число, то множество M ограничено снизу. Из курса математического анализа известно, что всякое множество действительных чисел, ограниченное снизу, имеет точную нижнюю грань. Обозначим через l точную нижнюю грань множества M. Тогда, в частности, для любого натурального числа k можно подобрать такое комплексное число , что . Если бы было не так, то , и l не было бы нижней гранью множества M. Из (1) следует . Если построенная последовательность комплексных чисел неограничена, то в ней можно выделить подпоследовательность, которая стремится к . . По лемме 4 что противоречит (2). ⇨ что последовательность ограничена. Тогда в ней можно выделить сходящуюся подпоследовательность, тогда по лемме 2

Если l ≠ 0, то по лемме 3 существует такое комплексное число c, что .

Это противоречит тому, что l – точная нижняя грань множества M ⇨ l= 0 и и ⇨ – комплексный корень.

до-но.

Лемма о высшем члене многочлена.

Лемма 2.1. (о высшем члене многочлена).

Высший член произведения двух многочленов и , отличных от нуля, равен произведению высших членов этих многочленов.

Доказательство.

Расположим члены в многочленах и в словарном порядке.

;

;

Найдём произведение следующим образом: вначале умножим последовательно все члены многочлена, начиная с первого на первый член многочлена . Очевидно, что при этом словарный порядк расположения членов не нарушится. То есть мы получим группу членов, высшим из которых будет: -(3)’

Далее умножим все члены многочлена на второй член многочлена .

Получим группу членов, высшим из которых будет: -(3) и т.д.

Наконец, все члены многочлена умножим на последний член многочлена Получим группу членов высшим из которых будет:

Очевидно, что высший член произведения следует искать среди высших членов найденных групп. Но они в свою очередь составляют группу членов, полученных последовательным умножением многочлена , начиная с первого, на первый член многочлена . При таком умножении словарный порядок расположения членов не нарушится. Следовательно, высшим членом этой группы будет член (3), он же и будет высшим членом произведения . Следовательно, высший член произведения равен произведению высших членов сомножителей и . Теорема доказана.

Произведение двух многочленов с целыми коэффициентами.

 

Определение: многочлен f(x) с целыми коэффициентами называется примитивным, если НОД всех его коэффициентов равен 1.

 

Лемма 3. Произведение двух примитивных многочленов также является примитивным многочленом.

 

Лемма 4: если многочлен с целыми коэффициентами приводим над полем Q, то его можно представить в виде произведения двух многочленов с целыми коэффициентами, степень каждого из которых меньше степени многочлена .

 

до-во: т.к. f(x) – приводим, то его можно представить в виде , , , и - многочлены с рациональными коэффициентами.

Пусть – НОК всех знаменателей коэффициентов многочленов и , тогда , где – многочлены с целыми коэффициентами. Если – НОД коэффициентов многочленов , то , где – примитивные многочлены. При необходимости сократив дробь, представим её в виде , где , таким образом из делит все коэффициенты многочлена . По лемме 3 этот многочлен является примитивным ⇨ .

до-но.