Определение производной. Общее правило нахождения производной.

Определение производной. Общее правило нахождения производной.

Производная – придел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к 0

Общее правило: находим , потом и затем обношение

Правила и формулы дифференцирования элементарных функций.

Дифференцирование – это взятие производной от функции.

Правила дифференцирования:

1)производная постоянной равна нулю

(c)ʹ = 0, c - const

2)производная Х равна 1

(x)ʹ = 1

3) постоянный множитель выносится за знак производной

(c*u)ʹ=c*uʹ, c - const

4) производная алгебраической суммы функции равна алгебраической сумме производных от каждого слагаемого

(u+γ-ω) ʹ= uʹ+γʹ-ωʹ

5) производная произведения равна производной первого множителя на второй, плюс производная второго множителя, умноженного на первый

(u*γ) ʹ= uʹγ+ γʹu

6) производная частного равна производной числителя умноженного на знаменатель, минус производная знаменателя, умноженная на числитель и делить на знаменатель в квадрате

 

Формулы дифференцирования:

элементарные	сложные
	*uʹ
(sin x)' = cos x	(sin u)' = cos u * u'
(cos x)' = - sin x.	(cos u)' = - sin u * u'.
	y m:val="p"/></m:rPr><w:rPr><w:rStyle w:val="apple-style-span"/><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:color w:val="000000"/></w:rPr><m:t>*u'</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

 

 

Дифференцирование логарифмической функции. Производная показательной функции.

Производная показательной функции.

Дифференцирование тригонометрических функций и обратных тригонометрических функций.

см 2 билет (косинусы, синусы, тангенсы, катангенсы, арккосинусы, арксинусы, арктангенсы)

 

Производная второго порядка и её механический смысл. Уравнение касательной.

Производную от функции часто называют производной первого порядка (первой производной). Очевидно, что производная также является функцией и если она дифференцируема, то от нее в свою очередь можно взять производную, которую называют производной второго порядка (второй производной) и обозначают yʹʹ,

Пусть тело движется прямолинейно по закону S=f(t). Как известно, скорость U движения тела в данный момент времени равно производной пути по времени, т.е. U=S

Если тело движется неравномерно, то скорость с течением времени изменяется и за промежуток времени получает приращение

В этом случае величина отношения показывающаяся изменение скорости за единицу времени, называется средним ускорением в промежутке времени от t до t+

Пусть , тогда t+ , а среднее ускорение стремится к величине, которая называется ускорение в данный момент времени t

Таким образом, ускорение прямолинейного движения тела в данный момент равно второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента.

Уравнение касательной:

 

 

y=f(x)

 

Понятие дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Вычисление дифференциала.

Дифференциал – главная часть приращения функции, линейная относительно приращения независимой переменной, обозначается знаком d т.е.

Геометрический смысл: дифференциал функции геометрический изображается приращением ординаты касательной, проведенной в точке М(x;y) при данных значениях x и

дифференциал можно вычислить по формуле

 

Понятие первообразной. Определение неопределенного интеграла и его свойства.

Дифференцируемая функция F(x), где называется первообразной для f(x), где , если выполняется равенство:

Совокупность всех первообразных функции f(x) на интервале от Называется неопределенным интегралом f(x) и обозначается

Свойства неопределенного интеграла:

1) постоянный множитель выносится за знак интеграла , с-const

2) интеграл от алгебраической суммы функции равен алгебраической сумме интегралов от каждого из слагаемых

 

Формулы интегрирования. Вычисление неопределенного интеграла. Пример.

 

Тут надо придумать. Можно что-то простое

 

Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Их следствия. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Стереометрия – это раздел геометрии, в котором фигуры изучаются в пространстве.

Основные фигуры: точка, прямая, плоскость.

Аксиомы:

1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки принадлежащие и не принадлежащие ей.

2. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящую через эту точку.

3. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

Следствия из них:

1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Доказательство: возьмем точку принадлежащую прямой. Через две точки проведем прямую, назовем b. Имея две пересекающиеся прямые по аксиоме мы может провести плоскость и притом только одну.

2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и сама прямая принадлежит этой плоскости.

Доказательство: пусть a – данная прямая и α - данная плоскость. Проведем через прямую a и точку A плоскость α`. Если плоскость α` совпадает с α, то плоскость α содержит прямую a, что и утверждается теоремой. Если плоскость α` отлична от α, то эти плоскости пересекаются по прямой a`, содержащей две точки прямой a.

3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве:

Прямые, лежащие на одной плоскости, имеющих одну общую точку,называют пересекающимися.

Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Прямые называются скрещивающимися, если они лежат в разных плоскостях.

 

Определение производной. Общее правило нахождения производной.

Производная – придел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к 0

Общее правило: находим , потом и затем обношение