Соотношение сторон в треугольнике

Соотношение сторон в треугольнике всегда подчиняется следующему правилу: длина любой стороны треугольника не может быть больше суммы длин двух других сторон.

Это правило так же называется теоремой о неравенстве треугольника. С помощью этой теоремы можно для любых трех сторон ответить на вопрос: можно ли из них построить треугольник?

Пример 1.

Существует ли треугольник со сторонами 3, 4, 5?

Решение:

Необходимо сравнить каждую сторону с суммой длин двух других.

Возьмем сторону длиной 3. Тогда сумма длин двух других сторон равна: 4 + 5 = 9; 3 < 9.

Возьмем сторону длиной 4. Тогда сумма длин двух других сторон равна: 3 + 5 = 8; 4 < 8.

Возьмем сторону длиной 5. Тогда сумма длин двух других сторон равна: 3 + 4 = 7; 5 < 7.

Во всех трех случаях правило выполняется, значит, треугольник со сторонами 3, 4, 5 существует.

Пример 2.

Существует ли треугольник со сторонами 9, 5, 2.

Решение:

Возьмем сторону длиной 9. Тогда сумма длин двух других сторон равна 5 + 2 = 7; 9 > 7.

Правило не выполняется, значит, треугольник со сторонами 9, 5, 2 построить невозможно.

Соотношение углов и сторон в треугольнике

Для любого треугольника верно следующее:

· Сумма углов треугольника равна 180°.

· Напротив большего угла лежит большая сторона треугольника.

· Напротив меньшего угла лежит меньшая сторона треугольника.

По присутствующим углам в треугольнике выделяют:

· остроугольные треугольники (содержат только острые углы);

· прямоугольные треугольники (содержат один прямой угол);

· тупоугольные треугольники (содержат один тупой угол).

Зная длины всех сторон треугольника, всегда можно определить, к какому из перечисленных типов треугольника относится данный:

· для прямоугольного треугольника выполняется равенство: а 2 + b 2 = c 2, где a, b ― катеты, а с ― гипотенуза;

· для остроугольного треугольника для всех сторон выполняется неравенство:

a 2 + b 2 > c 2;

· для тупоугольного треугольника выполняется неравенство: a 2 + b 2 < c 2, где с ― сторона, лежащая против тупого угла.

Пример:

Докажите, что треугольник со сторонами 4, 5, 8 является тупоугольным.

Решение:

Т. к. тупой угол будет наибольшим в данном треугольнике, против него должна лежать наибольшая сторона, т. е. длиной 8.

Проверим, будет ли выполняться неравенство a 2 + b 2 < c 2, где с – сторона, лежащая против тупого угла:

42 + 52 < 82;

16 + 25 < 64;

41 < 64.

Неравенство выполняется, значит, данный треугольник является тупоугольным, причем против тупого угла лежит сторона, длиной 8.

Особые треугольники

Среди всех треугольников выделяют три особых треугольника: правильный, равнобедренный, прямоугольный.

У таких треугольников есть ряд особых свойств.

Равносторонний треугольник:

· Все стороны равны.

· Все углы равны 60°.

· Биссектриса, проведенная из любого угла, является медианой и высотой.

· Все биссектрисы/медианы/высоты пересекаются в одной точке ― в центре вписанной и описанной окружностей.

Равнобедренный треугольник:

· Боковые стороны равны.

· Углы при основании равны.

· Высота, проведенная из вершины, является медианой и высотой.

Прямоугольный треугольник:

· Для сторон выполняется теорема Пифагора: а 2 + b 2 = c 2, где a, b ― катеты, а с ― гипотенуза.

· Медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

· Центр описанной окружности является серединой гипотенузы.

· Соотношение сторон и углов лежит в основе тригонометрических функций: sin ― отношение противолежащего катета к гипотенузе; cos ― отношение прилежащего катета к гипотенузе; tg ― отношение противолежащего катета к прилежащему; ctg ― отношение прилежащего катета к противолежащему.

Формулы для нахождения площади треугольника

S = ah, где h ― высота, проведенная к стороне a.

S = ab sin α, где α ― угол между сторонами a и b.

S = , где R ― радиус описанной окружности.

S = rp, где r ― радиус вписанной окружности, а p ― полупериметр.

S = , где p ― полупериметр.

 

 

Иррациональные уравнения

Арифметический корень

Пусть n — натуральное число, отличное от единицы, а — неотрицательное число.

Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа а называетсянеотрицательное число, n-я степень которого равна а.

 

Для арифметического корня n− й степени из неотрицательного числа а, используется обозначение . Если n = 2, пишут .

По определению = a.

Для любых, в том числе отрицательных, значений а справедлива формула = │ a │, в частности, = │ a │ и =│ a − b │.