Вычисление статических моментов и координат центра тяжести материальной кривой.

Статическим моментом точки относительно оси называется произведение массы точки на расстояние до прямой.

Рассмотрим плоскую кривую, у которой плотность равна , тогда масса кривой равна ее длине, найдём статический момент кривой относительно оси .

Пусть кривая задана уравнением . Возьмем на кривой точку и вырежем из кривой элементарный участок длины , содержащий точку . Если считать массу участка, равную , сосредоточенной в точке , то элементарный момент, то есть статический момент малого элемента кривой относительно оси равен . Тогда статический момент всей кривой относительно оси , находится по формуле .

Аналогично выводится формула для вычисления статического момента кривой относительно оси : .

 

Определение. Центр тяжести кривой – это такая точка, что если в ней сосредоточить всю массу кривой, то ее статический момент относительно оси, не пересекающей кривую, будет равен статическому моменту всей кривой: .

Отсюда получаем формулы для нахождения координат центра тяжести однородной кривой .

В случае если кривая задана явно уравнением , координаты центра тяжести кривой находятся по формулам

.

 

Пример 1. Найти статический момент полуокружности относительно её диаметра.

 

Расположим полуокружность так, чтобы её диаметр находился на оси , а центр в начале координат.

Уравнение верхней полуокружности . Найдем значение подкоренного выражения в формуле для вычисления статистического момента . Подставляя в формулу, получаем ответ .

 

Пример 2. Найти статический момент относительно оси и координаты центра тяжести дуги астроиды, расположенной в первой четверти.

 

Запишем параметрические уравнения астроиды

Формула для вычисления статического момента в случае, если кривая задана параметрическими уравнениями .

Вычислим подкоренное выражение

.

Подставив в формулу, находим значение статического момента

.

Найдем координаты центра тяжести кривой.

В силу симметрии . Найдем ординату центра тяжести по формуле

, где .

Отсюда .

 

Статические моменты и координаты центра тяжести плоских фигур

 

Рассматриваем случай, когда фигура является однородной, то есть ее плотность в каждой точке равна 1. Пусть фигура является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком функции . Выделим элементарную бесконечно узкую вертикальную полоску. Приняв эту полоску приближенно за прямоугольник, находим ее массу, равную площади . Для определения соответствующих элементарных моментов предположим всю массу полоски сосредоточенной в ее центре тяжести, то есть центре прямоугольника. Полученная материальная точка отстоит от оси на расстояние , от оси на расстояние , что приближенно равно . Тогда элементарные моменты равны и . Отсюда получаем формулы

; .

 

Координаты центра тяжести однородной криволинейной трапеции определяются по формулам .

 

В случае явного задания функции уравнением , имеем

.

 

Пример 3. Найти статический момент относительно оси и координаты центра тяжести фигуры ограниченной осью и одной аркой циклоиды.

 

Запишем параметрические уравнения циклоиды

Подставим эти уравнения в формулу для вычисления статического момента фигуры относительно оси :

Найдем координаты центра тяжести фигуры. Так как , то фигура симметрична относительно прямой . Поэтому абсцисса центра тяжести . Ординату центра тяжести находим по формуле .

Вычислим площадь фигуры

.

Учитывая, что соответствующий статический момент уже посчитан, находим ординату центра тяжести . Итак, центр тяжести фигуры расположен в точке .

Теоремы Паппа-Гульдина

 

Впервые эти теоремы нашел александрийский математик Папп в 3 веке н.э.

В эпоху средневековья многие достижения античной науки были в Европе утрачены. В 17-ом веке теоремы вновь открыл швейцарский математик Гульдин.

 

Первая теорема Паппа-Гульдина. Площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг не пересекающей её оси, равна произведению длины кривой на путь, проходимый центром тяжести этой кривой.

В случае вращения вокруг оси теорема записывается формулой

.

Доказательство. Рассмотрим случай плоской кривой, когда она задана явно уравнением . Ордината центра тяжести кривой находится по формуле . Подставив сюда формулу для нахождения статического момента и умножив это равенство на длину кривой , получаем

.

Затем домножим обе части этого равенства на :

.

В правой части этого равенства стоит площадь поверхности тела, образованного вращением кривой вокруг оси .

В левой части равенства стоит произведение длины кривой на длину окружности , которую описывает центр тяжести. Теорема доказана.

Пример 1. Найти координаты центра тяжести полуокружности радиуса с центром в начале координат, расположенной в верхней полуплоскости.

 

В силу симметрии абсцисса центра тяжести . Найдем ординату центра тяжести, используя первую теорему Паппа-Гульдина. Поверхность, образованная при вращении кривой вокруг оси , является сферой, ее площадь . Длина кривой равна половине длины окружности . Подставив эти значения в формулу , найдем ординату центра тяжести .

 

Пример 2. Найти площадь поверхности вращения полуокружности вокруг касательной, параллельной её диаметру.

 

Используем результат, полученный в предыдущем примере. Ордината центра тяжести полуокружности .

Тогда радиус окружности, описываемой центром тяжести при вращении полуокружности вокруг касательной, равен . Из первой теоремы Паппа-Гульдина имеем формулу . Отсюда искомая площадь поверхности

.

 

Вторая теорема Паппа-Гульдина. Объём тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг не пересекающей её оси, равен произведению площади фигуры на путь, проходимый центром тяжести этой фигуры. В случае вращения вокруг оси теорема записывается формулой

.

Доказательство. Рассмотрим случай плоской кривой, когда она задана явно уравнением . Фигура под графиком этой кривой является криволинейной трапецией. Ордината центра тяжести плоской фигуры находится по формуле . Применяя формулу для вычисления статического момента , получаем . Домножим на число обе части этого равенства:

.

В правой части стоит объем тела, полученного вращением кривой вокруг оси . Левая часть является произведением площади фигуры на длину окружности, описываемой центром тяжести этой фигуры.

Теорема доказана.

 

Пример 3. Найти координаты центра тяжести полукруга радиуса R с центром в начале координат, расположенного в верхней полуплоскости.

 

Воспользуемся второй теоремой Паппа-Гульдина. При вращении вокруг оси полукруг образует шар. Объем шара равен , площадь полукруга равна . Подставляя эти значения в формулу , находим .