Стационарные оптимальные линейные фильтры

Предполагается, что на вход фильтра действует сумма сигнала и шума :

Сигнал и помеха представляют собой стационарные нормальные случайные про­цессы с нулевыми средними значениями, из­вестными корреляционными ф-циями и и соответствующими энергетическими спектрами и

Линейный стационарный фильтр полно­стью характеризуется импульсной, переход­ной ф-цией , связанной с частотно-пе­редаточной ф-цией преобразованием Фурье:

В общем случае колебание на выходе фильтра определяется через входное колебание соотношением

Фильтр должен минимизировать вели­чину

При статистической независимости и импульсная переходная характеристика оптимального фильтра является решением интегрального уравнения Вине­ра—Хопфа [7, 19]

(7-304)

Комплексная передаточная ф-ция опти­мального фильтра (без учета требований физической реализуемости, когда условие не принимается во внимание) опреде­ляется соотношением

, (7-305)

а средний квадрат значения ошибки вос­произведения равен:

(7-306)

Из ф-л (7-305) и (7-306) видно, что при указанных условиях, когда сигнал и шум представляют собой независимые стацио­нарные нормальные случайные процессы с нулевыми средними значениями, различие сигнала и шума заключено только в спект­ральных плотностях. При этом задача фильтрации состоит в том, чтобы по воз­можности полнее воспроизвести спектр сиг­нала и в максимальной степени подавить спектр помехи. Чем меньше перекрываются спектры сигнала и помехи, тем меньше ошибка воспроизведения. Если спектры не перекрываются совсем, то из (7-306) видно, что ошибка воспроизведения становится равной нулю. Фильтр, характеризуемый ф-лой (7-305), физически не реализуем. При вычислении комплексной передаточной ф-ции этого фильтра

(7-307)

интегрирование ведется в пределах от до , и, следовательно, предполагается существование отличного от нуля отклика до момента появления сигнала Тем не менее полученный результат представляет несомненный интерес, т. к. оп­ределяет потенциальную точность воспроиз­ведения процесса: ни один реальный фильтр не может дать меньшей ошибки. Одним из направлений развития теории оптимальной линейной фильтрации являет­ся т. н. «калмановская фильтрация», в рам­ках которой характеристики сигналов не­посредственно не задаются, а рассматривается дифференциальное уравнение системы, порождающей эти сигналы.

Оптимальная нелинейная фильтрация

Предполагается, что на входе приемни­ка имеется сумма помехи и сигнала. Поме­ха представляет собой нормальный белый шум с нулевым средним значением. Сигнал является высокочастотным колебанием, изменения одного из его параметров пред­ставляют собой полезное сообщение; является медленным нормальным случай­ным процессом, т. е. время корреляции со­общения много больше времени корреляции шума: . Оптимальный нели­нейный фильтр должен с наибольшей воз­можной точностью воспроизвести на выходе изменяющийся параметр На рис. 7-79 приведен вариант струк­турной схемы оптимального нелинейного фильтра.

Рис. 7-79. Схема оптимального нелинейного фильтра.

Устройства подобного типа нахо­дят широкое практическое применение. На вход фильтра подается напряжение , а на выходе образуется из­меренное значение сообщения (его оценка) . В дискриминаторе, являющемся в об­щем случае элементом нелинейным, радио­сигнал демодулируется, из него выделяется сопровождаемое шумом полезное сообще­ние . Напряжение, соответству­ющее величине , сравнивается с напряжением, подводимым к дискримина­тору с выхода фильтра по линии обратной связи. Физический смысл появления в схеме оптимального приемника обратной связи по воспроизводимому сообщению состоит в следующем. При малых значениях выходно­го напряжения характеристику дискримина­тора можно считать линейной (для воспро­изводимого сообщения). Поэтому для обес­печения неискаженного воспроизведения сообщения разность нужно под­держивать достаточно малой. Эту задачу и помогает решить линия обратной связи. В результате на выходе дискриминатора образуется напряжение

. (7-308)

Имеющийся в схеме линейный фильтр предназначается для наилучшего отфильтровывания белого шума и минимизации среднего квадрата разности:

Так как постоянная составляющая по­лезного сообщения, являющаяся априорно известной, на выход фильтра не проходит, то ее восстанавливают с помощью схемы суммирования.

Фильтры.

В радиоэлектронных устройствах широкое при­менение находит такой вид линейных цепей (чаще их называют четырехпо­люсниками), как электрические фильтры, предназначенные для выделения (пропускания) или подавления (ослабления) сигналов с заданным спектром частот. Область частот, в которой фильтры обладают малым ослаблением (затуханием), называется полосой пропускания. Область частот, в которой фильтрысущественно ослабляют сигнал, определяется как полоса задержи­вания (заграждения, подавления).

По характеру расположения полосы пропускания и полосы задержива­ния фильтры разделяются на четыре основных вида:

1. Фильтры нижних частот (ФНЧ), полоса пропускания кото­рых расположена в области частот от до некоторой граничной верхней частоты (рис. 3.48, а).

2. Фильтры верхних частот (ФВЧ), полоса пропускания ко­торых простирается от некоторой граничной нижней частоты до беско­нечности (рис. 3.48, б).

3. Полосовые фильтры (ПФ), имеющие полосу пропускания в области между граничной нижней частотой и граничной верхней часто­ той (рис. 3.48, в).

4. Режекторные, или заграждающие фильтры (РФ), полоса задерживания которых расположена в области частот от (рис. 3.48, г).

Рис. 3.48. Амплитудно-частотные характеристики фильтров: а — нижних частот, б —верхних частот; в — полосового; г —режекторного

54. Вероятность и информация. Информационное содержание сигнала.

Понятия «информация» (от лат. informatio — разъ­яснение, изложение) и «сообщение» в настоящее время неразрывно связаны между собой. Эти понятия сложны, близки по смыслу, и дать их точные оп­ределения через более простые достаточно трудно.

Под информацией подразумевается совокупность сведений о каких-либо событиях, явлениях или предметах, предназначенных для передачи, приема, обработки, преобразования, хранения или непосредственного ис­пользования. Особенность информации состоит в том, что обычно возникает она в одном месте, а используется в другом. Передача информации — это процесс переноса сведений из одной точки пространства в другую. Отметим, что информацию, представленную в алфавитно-цифровой форме, в теории электросвязи принято называть данными.

При вероятностном подходе информации рассматривается как сообщение о исходе случайных событий реализует случайную величину и функцию, а количество информации ставиться в зависимость от априорных вероятностей этих событий, величин, функций, если получаемое сообщение часто встреча(ное) событиях, Вероятность появления которых стремиться к 1, т.е. к достоверным сообщениям, то такое сообщение мало информативно. Большинство видов информации можно свести к двоичным явлениям (да, нет). Это пара явлений будет простейшим элементам информации.

События – это элементарное явление, которое может быть с вероятностью от 0 до 1, т.е. вероятность = 0 до – вероятность = 1, или не быть вероятностью стремящейся к Q=1-P (P-вероятность) Когда P = 0.5 будет наибольшая неопределённость в ситуации

События – это наибольше возможные некоторого опыта, где все исходы составляют «ансамбль» событий. (т.е. полная группа событий).

Для ансамбля сумма вероятности событий равна.

В общем случае вероятности не остаются существующими, они могут изменяться во времени.

Это характерно для астацинарного процесса, при стационарном процессе остальные характеристики не изменяются.

Информационное содержание сигнала.

Информация, подлежащая передаче и выраженная в определенной форме, называется сообщением. Сообщение может быть представлено в форме текста телеграммы, некоторых сведений, передаваемых по теле­фону, радио или телеграфу, телевизионного изображения, данных на вы­ходе компьютера и т.д.

Ценность любых сведений, содержащихся в переданном получателю сообщении, характеризует количество заключенной в нем информации. Данная величина может определяться степенью изменения поведения полу­чателя под воздействием принятого сообщения. В теории связи количественная оценка информации основывается на концепции выбора наиболее важного сообщения из всей совокупности возможных сообщений. При этом чем менее вероятен выбор данного сообщения, т.е., чем более оно неожи­данно для получателя, тем большее количество информации в нем содер­жится. Совершенно очевидно обратное: достоверное (заранее известное) сообщение нет смысла передавать, поскольку оно не является неожиданным и, следовательно, не содержит никакой информации. Поэтому любые реаль­ные сообщения следует рассматривать как случайные события (случайные процессы).

В общем случае передаваемое по каналам связи сообщение можно представить в виде набора некоторых смысловых элементов или символов (например, букв какого-либо алфавита). Если общее количество (объем) смысловых символов равно т, а одно сообщение составлено из п элементов, то число возможных сообщений N = . Однако использование числа N в качестве меры информации неудобно, так как в данном случае не выполняется условие пропорциональности между длиной слова (длительностью сигнала) и количеством содержащейся в нем информации. Между тем удвоение времени передачи сообщений должно приводить к удвоению количества передаваемой информации.

Сигнал (от лат. signum — знак) — физический процесс (или явление), несущий информацию о состоянии какого-либо объекта на­блюдения. По своей физической природе сигналы могут быть электрически­ми, световыми, звуковыми и др. В радиотехнике в основном используются электрические сигналы.