Основные формулы и законы механики

Кинематика

Средняя скорость материальной точки: ,

где - перемещение; - время движения.

Средняя путевая скорость: ,

где ∆ S – длина пути; - время движения.

Мгновенная скорость материальной точки: ,

где – радиус-вектор.

Модуль скорости материальной точки: , где - проекции вектора скорости на оси координат. Если известна зависимость пути , пройденного материальной точкой, от времени ее движения , то модуль мгновенной скорости: .

Среднее ускорение материальной точки: , где - изменение вектора скорости за время ∆ .

Мгновенное ускорение материальной точки: .

Кинематическое уравнение равнопеременного движения материальной точки () вдоль оси :

.

Скорость материальной точки при равнопеременном движении: .

При равномерном движении и координата материальной точки:

.

При криволинейном движении ускорение материальной точки можно представить как векторную сумму нормальной и тангенциальной составляющих: , где , (R – радиус вписанной окружности); .

Средняя угловая скорость материальной точки: , где - изменение угла поворота точки за время ∆ .

Мгновенная угловая скорость материальной точки: .

Среднее угловое ускорение материальной точки: ,

где - изменение угловой скорости материальной точки за время ∆ t.

Мгновенное угловое ускорение материальной точки: .

Кинематическое уравнение равномерного вращения материальной точки: , где - модуль начального угла и - модуль вектора угловой скорости. При равномерном вращении и . Частота вращения равна или , где N - количество оборотов материальной точки за время ; T - период вращения.

Кинематическое уравнение равнопеременного вращения () материальной точки: .

Модуль угловой скорости материальной точки при равнопеременном вращении: .

Связи между линейными и угловыми величинами, характеризующими вращение материальной точки по окружности радиуса R, выражается формулами:

; ; ; ; ; .

 

Динамика материальной точки и тела, движущегося поступательно

Уравнение движения материальной точки (второй закон Ньютона) в векторной форме:

,

где - импульс материальной точки массой , - результирующая сила.

При : .

Третий закон Ньютона: .

 

Сила упругости: , где k – коэффициент упругости и x – изменение длины тела.

Сила гравитационного взаимодействия двух тел: ,

где - гравитационная постоянная, и - массы тел; - расстояние между центрами масс тел.

Сила трения скольжения: , где μ – коэффициент трения и – нормальная составляющая реакции опоры.

Закон сохранения импульса замкнутой системы тел:

или .

Работа, совершаемая постоянной силой : FΔr cos α,

где - перемещение тела, α – угол между векторами силы и перемещения.

Работа, совершаемая переменной силой:

При этом интегрирование проводится вдоль траектории, обозначаемой L.

Средняя мощность, развиваемая силой в течение времени :

Мгновенная мощность: , или = = F cos α,

где α – угол между векторами силы и скорости .

Кинетическая энергия материальной точки (или тела, движущегося поступательно):

или

Потенциальная энергия упругодеформированного тела (сжатой или растянутой пружины): ,

где k – коэффициент упругости и x – изменение длины тела.

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек (двух тел) массами и , находящихся на расстоянии :

.

Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном поле силы тяжести, на высоте h:

П =mgh,

где g – ускорение свободного падения тела.

В замкнутой системе тел, в которой действуют только консервативные силы, полная механическая энергия этих тел является постоянной величиной:

E= Т+П= const.

Из законов сохранения энергии и импульса следует, что после прямого центрального удара двух шаров скорость абсолютно неупругих шаров равна

,

а скорости абсолютно упругих шаров равны

и ,

где и - проекции первоначальных скоростей шаров, имеющих, соответственно, массы и , на их направление движения.

Механика твёрдого тела

Момент силы , действующей на тело, относительно точки O: ,

где - радиус-вектор, проведенный из точки О в точку приложения силы .

Модуль момента силы : ,

где - угол между векторами и , - плечо силы.

Момент инерции материальной точки относительно оси вращения: ,

где m – масса точки, - расстояние этой точки до оси.

Момент инерции твердого тела относительно оси: ,

где – масса –го элемента объема тела, - расстояние –го элемента объема до оси.

Момент инерции твердого тела в интегральной форме: .

Момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину: , где m – масса стержня и - его длина.

Момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец: .

Момент инерции кольца (обруча) относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца (обруча) и проходящей через его центр: ,

где m – масса кольца (обруча) и R – его радиус.

Момент инерции круглого однородного диска (цилиндра) относительно его оси симметрии: ,

где m – масса диска (цилиндра) и - его радиус.

Момент инерции однородного шара относительно его оси симметрии: ,

где m – масса шара и - его радиус.

По теореме Штейнера момент инерции тела относительно произвольной оси равен

,

где - момент инерции тела относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела; m – масса тела и - расстояние между указанными осями.

Момент импульса вращающегося тела относительно неподвижной оси:

,

где - момент инерции тела относительно неподвижной оси; - угловая скорость тела.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси:

,

где - момент силы , действующей на тело, относительно точки O, находящейся на неподвижной оси.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси в случае постоянного момента инерции:

,

где - момент инерции тела относительно неподвижной оси; - угловое ускорение тела.

Закон сохранения момента импульса для замкнутой системы тел, момент инерции которой меняется относительно неподвижной оси:

,

где и ,соответственно, начальный и конечный моменты инерций системы тел; и , соответственно, начальная и конечная угловые скорости этой системы тел.

Закон сохранения момента импульса для двух взаимодействующих тел относительно неподвижной оси:

,

где , и , ,соответственно, начальные и конечные моменты инерций тел; , и , ,соответственно, начальные и конечные угловые скорости этих тел.

Элементарная работа постоянного момента силы , действующего на вращающееся тело: , где - угол поворота тела.

Мгновенная мощность, развиваемая моментом силы при вращении тела:

, где - мгновенная угловая скорость тела.

Кинетическая энергия вращающегося тела: ,

где - момент инерции тела относительно его оси вращения.

Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения:

,

где - масса тела; - скорость движения центра масс тела; - момент инерции тела и - угловая скорость вращения тела относительно оси, проходящей через центр масс этого тела.

Работа силы, совершаемая при вращении тела, расходуется на изменение его кинетической энергии:

.

где и ,соответственно, начальная и конечная угловые скорости тела.

Относительное продольное растяжение (сжатие) тела: .

где - начальная длина тела, - изменение его длины.

Напряжение деформации тела: ,

где F -модуль силы, действующей на площадь S поперечного сечения тела.

Закон Гука для малой деформации тела: , где - модуль Юнга.

Потенциальная энергия упругого растянутого (сжатого) стержня:

,

где - первоначальный объем тела.

Механические колебания

Уравнение гармонических колебаний точки вдоль оси Ox:

,

где A - амплитуда колебаний; - циклическая (круговая) частота; - начальная фаза колебаний в момент времени t = 0, - фаза колебаний в момент времени t.

Циклическая частота колебаний: ,

где - линейная частота колебаний; - период колебаний.

Скорость точки, совершающей гармонические колебания вдоль оси Ox:

.

Ускорение точки, совершающей гармонические колебания вдоль оси Ox:

.

Амплитуда результирующего колебания, полученного при сложении двух гармонических колебаний с одинаковыми частотами, происходящих по одной прямой

и ,

определяется по формуле

,

где , и , - амплитуды и начальные фазы складываемых колебаний.

Начальная фаза результирующего гармонического колебания определяется по формуле:

Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях с амплитудами и , и начальными фазами и :

.

Если начальные фазы и складываемых колебаний одинаковы, то уравнение траектории принимает вид

.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки, на которую действует упругая сила :

или ,

где - масса материальной точки; - коэффициент упругости; - циклическая частота свободных незатухающих колебаний.

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания:

.

Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания:

.

Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания:

.

Период колебаний пружинного маятника: ,

где - масса маятника, - коэффициент упругости пружины.

Период колебаний математического маятника: ,

где - длина маятника; - ускорение свободного падения.

Период колебаний физического маятника: ,

где - приведенная длина физического маятника; - ускорение свободного падения; - расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника; - момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний пружинного маятника:

или ,

где - масса маятника; - коэффициент упругости пружины; - коэффициент сопротивления среды; - коэффициент затухания; - циклическая частота свободных незатухающих колебаний.

Решение дифференциального уравнения затухающих колебаний:

,

где - амплитуда затухающих колебаний; - амплитуда колебаний в момент времени ; - основание натурального логарифма; - коэффициент затухания; - начальная фаза затухающих колебаний.

Циклическая частота затухающих колебаний: .

Логарифмический декремент затухания: ,

где - период затухающих колебаний; - время релаксации; - число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в раз.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:

или ,

где – внешняя приведенная периодическая сила, действующая на колеблющуюся материальную точку и вызывающая вынужденные колебания,

– её амплитудное значение, .

Амплитуда вынужденных колебаний:

.

Резонансная частота и резонансная амплитуда:

и .

 

Волновые процессы

 

Длина гармонической волны: ,

где - скорость распространения волны, - период колебаний физических величин в данной точке пространства.

Для всех типов волн скорость их распространения: ,

где - линейная частота колебаний физических величин.

Уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси : ,

где - колеблющаяся физическая величина; - амплитуда колеблющейся физической величины; - фаза волны; - циклическая частота; - волновое число; - начальная фаза волны.

Скорость колеблющейся частицы в гармонической волне:

Ускорение колеблющейся частицы в гармонической волне:

Две волны называются когерентными, если разность их фаз остается

постоянной во времени: .

Когерентные волны имеют одинаковые частоты и длины:

и

При наложении в пространстве двух когерентных волн происходит увеличение или уменьшение амплитуды результирующей волны в разных его точках. Это явление называется интерференцией волн.

Контрольное задание №1

Вариант 1

1. Тело движется по прямой согласно уравнению S = 0,5t⁴ + 0,2t² +2. Найти скорость и ускорение тела в момент времени 4с. Каковы средние значения скорости и ускорения за первые 4 с движения?

2. Определить время полета самолета между двумя пунктами, находящимися на расстоянии 477 км, если скорость самолета относительно воздуха равна 280 м/с, а скорость встречного ветра, направленного под углом 14⁰ к направлению движения, равна 16 м/с.

3. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону: j =A+Вt+Сt², где А=10рад, В = 20 рад/с, С =-2 рад/c². Найти угловую скорость и угловое ускорение для момента времени t=5с.

4. Диск радиусом 2 м вращается согласно уравнению: j=А+Bt+Ct³, где

5.

А=3 рад, В=-10 рад/с, С=0,1 рад/с³. Определить тангенциальное и нормальное ускорения точек на окружности диска для момента вращения t=10 с.

5. Два небольших тела массой 2 кг и 1 кг связаны невесомой и нерастяжимой нитью и расположены на горизонтальной плоскости. К первому телу приложена сила 10 Н, направленная под углом 30⁰ к горизонту (вверх). Определить ускорение системы, если коэффициент трения тел о плоскость одинаков и равен 0,1.

6. Через блок перекинута нить, на концах которой висят два груза с одинаковыми массами М. Одновременно на каждый из грузов кладут по перегрузку: справа – массой 3m; слева массой – m. Определить ускорение системы, силу натяжения нити и силу давления перегрузков на основные грузы.

7. Камень брошен под углом к горизонту a = 60°. Кинетическая энергия Е_К0 камня в начальный момент времени равна 20 Дж. Определить кинетическую Е_К и потенциальную Е_П энергии камня в высшей точке его траектории. Сопротивлением воздуха пренебречь.

8. Наклонная плоскость имеет длину L = 5 м и высоту H = 3 м. Тело массой m = 400 кг прижимается к наклонной плоскости силой, параллельной ее основанию. Какой должна быть эта сила, чтобы тело двигалось равномерно вверх? Коэффициент трения о плоскость m = 0,1.

9. Падающий вертикально шарик массой 0,2 кг ударился об пол и подпрыгнул на высоту 0,4 м. Найти среднюю силу, действующую со стороны пола на шарик, если длительность удара 0,01 с. К моменту удара об пол скорость шарика равна 5 м/с.

10. Колесо, вращаясь при торможении равнозамедленно, уменьшило в течение времени t=1мин частоту своего вращения с 300 об/мин до 180 об/мин. Момент инерции колеса 2 кг×м². Определить угло­вое ускорение колеса и тормозящий момент.

11. На полый тонкостенный цилиндр намотана нить, свободный конец которой прикреплен к потолку. Цилиндр сматывается с нити под действием собственного веса. Найти ускорение цилиндра и силу натяжения нити, если массой и толщиною нити можно пренебречь. Начальная длина нити намного больше радиуса цилиндра.

12. Круглая платформа радиусом 1 м, момент инерции которой 130 кг×м², вращается по инерции вокруг вертикальной оси, делая 1 оборот в секунду. На краю платформы стоит человек, масса которого 60 кг. Сколько оборотов в секунду будет совершать платформа, если человек перейдет в ее центр? Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

13. Написать уравнение гармонических колебаний, совершающихся по закону косинуса. За время 1 мин совершается 60 колебаний, амплитуда которых 8 см, а начальная фаза равна 3/2π рад. Построить график зависимости смещения от времени.

14. Тонкий обруч радиусом 50 см подвешен на вбитый в стену гвоздь и колеблется в плоскости, параллельной стене. Найти период колебаний обруча.

15. Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выраженных уравнениями x=2cosωt и у=3sin0,5wt. Найти уравнение траектории точки и построить ее на чертеже.

 

Вариант 2

1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид x=A+Bt+Ct², где A=2 м; B=1 м/с; C=-0,5 м/с². Найти координату скорости и ускорения точки в момент времени t=2 с.

2. Тело брошено под углом к горизонту. Оказалось, что максимальная высота подъема равна дальность полета. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить угол броска к горизонту.

3. Колесо при вращении имеет начальную частоту 5 с^-1, после торможения его частота уменьшилась до 3 с^-1. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов, сделанных им за это время.

4. Диск радиусом r = 20 см вращается согласно уравнению j = A + Bt + Ct³, где A = 3 рад; B = – 1 рад/с; C = 0,1 рад/с³. Определить a_t тангенциальное, a_n нормальное и полное a ускорения точек на окружности диска для момента времени, равного t = 10 с.

5. Две гири массой 1 кг и 2 кг соединены невесомой нерастяжимой нитью, перекинутою через невесомый блок, подвешенный к динамометру. Какое значение покажет динамометр во время движения грузов? Трения в оси блока нет.

6. Определить работу, совершаемую при подъеме груза массой m =50 кг по наклонной плоскости с углом наклона a = 30° к горизонту на высоту h = 4 м, если время подъема t = 2 с, а коэффициент трения m = 0,06.

7. Материальная точка массой 1 кг движется под действием силы согласно уравнению х=10-2t²-0,2t³ (длина в метрах, время в секундах). Найти мощность, затрачиваемую на движение точки в момент времени равной 3 секундам.

8. Тело массой 990 г лежит на горизонтальной поверхности. В него попадает пуля массой 10 г и застревает в нем. Скорость пули равна 700 м/с и направлена горизонтально. Какой путь пройдет тело до остановки? Коэффициент трения между телом и поверхностью равен 0,05.

9. Камень массой 0,5 кг бросили под углом к горизонту с некоторой начальной скоростью. Его начальная кинетическая энергия равна 25 Дж. На высоте 2 м скорость камня равна v. Определить начальную скорость камня, скорость камня на высоте 2 м и угол, под которым бросили камень.

10. Найти момент инерции тонкого стержня длиной 50 см и массой 0,36 кг относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через: 1) конец стержня; 2) точку, отстоящую от стержня на 1/6 его длины.

11. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого равен 150 кг×м², вращается с частотой 240 об/мин. Через минуту он остановился. Определить момент сил торможения, угловое ускорение, число оборотов маховика со времени начала торможения до полной остановки.

12. Полый тонкостенный цилиндр массой 500 г, катящийся без скольжения, ударяется о стенку и отскакивает от нее. Скорость цилиндра до удара о стенку равна 1,4 м/с, после удара 1 м/с. Определить выделившееся при ударе количество теплоты.

13. Уравнение движения материальной точки задано в виде x=2sin(π/₂t +π/₄) м. Определить период колебаний точки и максимальные значения ее скорости и ускорения.

14. Математический маятник, отведенный на натянутой нити на угол α от вертикали, проходит положение равновесия со скоростью v. Считая колебания гармоническими, найти частоту ω₀ собственных колебаний маятника.

15. Точка участвует одновременно в двух колебаниях одного направления, происходящих согласно уравнениям x₁=2sinωt и x₂=2sin(ωt+π/₂). Записать уравнение результирующего колебания и представить векторную диаграмму сложения амплитуд. Определить скорость и ускорение результирующего колебания.

Вариант 3

1. Движение двух материальных точек выражаются следующими уравнениями: x₁=A₁+B₁t+C₁t², x₂=A₂+B₂t+C₂t² , где A₁=20 м; A₂ =2 м; B₂=B₁=2 м/с; C₁=-4м/с; C₂=0,5 м/c². В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковыми? Определить скорости и ускорения точек в этот момент.

2. Камень падает с высоты h = 1200 м. Какой путь пройдет камень за последнюю секунду своего падения?

3. Тело брошено с начальной скоростью 20 м/с под углом 60⁰ к горизонту. Найти радиус кривизны траектории в точке наивысшего подъема тела над поверхностью земли.

4. Диск радиусом 20 см вращается с угловым ускорением 3,14 рад/с². Найти для точек, находящихся на краю диска, к концу второй секунды после начала движения: а) угловую скорость; б) линейную скорость; в) тангенциальное, нормальное и полное ускорения.

5. На наклонной плоскости укреплен блок, через который перекинута нить. К одному концу нити привязан груз массой 1 кг, лежащий на наклонной плоскости. На другом конце нити висит груз массой 3 кг. Наклонная плоскость образует с горизонтом угол в 30⁰. Коэффициент трения между грузом и наклонной плоскостью равен 0,1. Определить ускорение грузов.

6. Брусок скользящий по гладкой горизонтальной поверхности, со скоростью 5 м/с наезжает на шероховатую поверхность с коэффициентом трения, равным 0,8. При какой длине бруска его задняя грань остановится на границе гладкой и шероховатой поверхностей?

7. Какую работу совершает двигатель автомобиля массой m = 1,3 т при движении с места на первых S = 75 м пути, если это расстояние автомобиль проходит за t = 10 с, а коэффициент сопротивления движению равен m = 0,05?

8. Молекула летит со скоростью 500 м/с и упруго ударяется о поршень, движущийся навстречу ей. Скорость молекулы составляет угол в 60⁰ с нормалью поршня. Определить величину и направление скорости молекулы после удара. Скорость поршня равна 20 м/с.

9. К ободу колеса, имеющему форму диска, радиус которого равен 0,5 м, а масса 50 кг, приложена касательная сила, равная 100 Н. Найти: а) угловое ускорение колеса; б) через какое время после начала действия силы колесо будет иметь частоту вращения 100 об/с.

10. На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом 2 м и массой 4 кг, стоит человек, масса которого равна 80 кг. Платформа может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. С какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек идет вдоль ее края со скоростью 2 м/с относительно платформы?

11. Определить момент инерции однородного диска радиусом 20 см и массой 1 кг относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через: а) центр диска; б) середину одного из радиусов диска.

12. Кинетическая энергия вала, вращающегося с постоянной частотой 6 об/с, равна 60 Дж. Найти момент импульса этого вала.

13. Материальная точка совершает гармонические колебания с частотой 0,5 Гц. Амплитуда колебания равна 3 см. Определить скорость точки в момент времени, когда смещение равно 1,5 см.

14. Как относятся длины математических маятников, если за одно и то же время один совершил 10, а другой 30 колебаний?

15. Вынужденные колебания описываются дифференциальным уравнениeм 0,1 +0,12 +0,4x = 0,4sin1,5t. При какой частоте внешней силы будет наблюдаться резонанс?

 

Вариант 4