Методы вычисления определителей

 

Как убедились выше, определители низших порядков (2-го и 3-го) находят, используя определения. Но бывают случаи, когда для вычисления таких определителей сначала лучше использовать свойства.

Пример 2.4. Найти определитель 2-го порядка: .

Решение. Умножим первую строку на (-1) и прибавим ко второй, получим

.

,

Определение определителя n -го порядка, а также свойства легли в основу некоторых методов вычисления определителей 4-го и выше порядков. Рассмотрим эти методы.

1) Используя разложение по строке или столбцу. В результате использования определения определителя n -го порядка мы приходим к вычислению определителей (n -1)-го порядка.

2) Метод эффективного понижения порядка. Используя основные свойства определителей, вычисление всегда можно свести к вычислению одного определителя (n -1)-го порядка, сделав в каком-либо ряду все элементы, кроме одного, равными нулю.

3) Приведение определителя к треугольному виду. Определитель, у которого все элементы, находящиеся выше или ниже главной диагонали, равны нулю, называются определителем треугольного вида. В этом случае определитель равен произведению элементов его главной диагонали. Приведение любого определителя n -го порядка к треугольному виду всегда возможно.

4) Использование программы Excel пакета Microsoft Office. Excel имеет в своем составе большое количество различных функций - предустановленных формул, использующихся для выполнения стандартных вычислений. Для вычисления определителя из математических функций используется МОПРЕД (массив).

 

Пример 2.5. Найти определитель 4-го порядка используя все три способа:

.

Решение.

1) Воспользуемся разложением определителя по второй строке, поскольку в этой строке один элемент нулевой. Получаем

 

 

.

 

2) Воспользуемся приведением определителя к треугольному виду. Умножим вторую строку на (-2) и прибавим к первой строкой, умножим вторую строку на (-3) и прибавим к третьей, умножим вторую строку на (-4) и прибавим к четвертой. Получаем

[поменяем местами первую и вторую строку]

 

[складываем вторую и третью строку, вторую строку умножаем на 2

и складываем с четвертой строкой]

 

 

[умножаем третью строку на (-11/8) и складываем с четвертой строкой]

 

.

 

3) Используем метод эффективного понижения порядка. Умножим первый столбец на (-2) и прибавим к третьему столбцу, умножим первый столбец на (-1) и прибавим к четвертому столбцу.

 

 

[к первой строке прибавим вторую; первую строку умножим на 2

и прибавим третью строку]

 

= .

 

4) Открываем экран Excel. Последовательно заносим в ячейки элементы определителя в виде массива. Например, ячейки B5:E8 (Рис. 1).

 

Рис. 1. Внесенные в ячейки элементы определителя

Входим в диалоговое окно - Мастер функций. Выбираем категорию: математические функции. Из предложенных выбираем функцию МОПРЕД (массив). Нажимаем ОК (Рис. 2).

Рис. 2. Диалоговое окно Мастер функций

В результате появляется окно Аргументы функции, где в ячейку Массив вносим выделенный массив элементов определителя: B5:E8 (Рис. 3). Внизу этого окна появляется значение 23.

Рис. 3. Диалоговое окно Аргументы функции

Если нажать на ОК, то в выделенной ячейке появится 23.

,

 

3. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

 

3.1. Теорема существования обратной матрицы

 

Определение 3.1. Квадратная матрица A называется невырожденной, если ее определитель . В противном случае матрица A называется вырожденной или особенной.

Определение 3.2. Матрицей, присоединенной к матрице A, называется матрица вида

,

где - алгебраическое дополнение элемента данной матрицы A (оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента определителя).

Определение 3.3. Матрица называется обратной матрице A, если выполняется условие

, (3.1)

где E – единичная матрица того же порядка, как и матрица A.

 

Матрица имеет тот же порядок, что и матрица A.

 

Пример 3.1. Показать,что матрица A является обратной для матрицы B, если

.

Решение. Найдем произведение матриц A и B.

 

.

 

Аналогично . Следовательно, матрица A является обратной для B.

,

Теорема 3.1. Для невырожденной матрицы A существует единственная обратная матрица , определяемая формулой

, (3.2)

где - матрица, присоединенная к матрице A.

Доказательство.

1) Сначала докажем существование единственной обратной матрицы.

Пусть и - матрицы, обратные для матрицы A. Тогда, используя свойство умножения матрицы на единичную матрицу, свойство ассоциативности и равенства (3.1), получаем следующее

.

Таким образом, .

 

2) Используя равенство (3.1) докажем справедливость формулы (3.2). Покажем, что . В ходе преобразований будем использовать свойство 9 для определителей и разложение определителя n- го порядка по i -ой строке.

 

 

 

.

 

Аналогично убеждаемся, что .

,

Пример 3.2. Найти , если .

Решение. 1) Находим определитель матрицы A.

.

Матрица A – невырожденная, значит, существует ей обратная.

2) Находим алгебраические дополнения элементов матрицы A.

.

Составляем матрицу, присоединенную к матрице A.

.

3) Находим .

.

Сделаем проверку:

,