Определители второго порядка и их свойства

Действия над матрицами

Равенство матриц

Две матрицы A и B называют равными, (A=B), если они имеют одинаковое число строк и одинаковое число столбцов и их соответствующие элементы равны:

(1.2)

Сложение матриц

Две матрицы одинаковых размеров и можно складывать. Суммой матриц A и B называют матрицу C того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В:

C=A+B,

(1.3)

Операция сложения матриц обладает следующими свойствами:

1. (переместительный закон);

2. (сочетательный закон);

3. .

Пример 1.1. Даны две матрицы А и В. Найти А + В.

Умножение матрицы на число

Любую матрицу А можно умножить на число . Операция умножения матрицы на число осуществляется по правилу:

(1.4)

Операция умножения матрицы на число обладает следующими свойствами:

1. ;

2. ;

3.

Пример 1.2. Даны две матрицы А и В. Найти -5 А и 2А - В.

Произведение матриц

Произведением матрицы на матрицу называется матрица , каждый элемент которой определяется выражением:

(1.5)

Из определения двух матриц видно, что перемножить можно лишь матрицы, у которых число столбцов первой матрицы сомножителя А равно числу строк второй матрицы сомножителя В.

Например, если

и , то	(1.6)
Из определения умножения матриц следует, что новый элемент равен сумме произведений соответствующих элементов строки и столбца. На рис. 1.1 схематично показано получение элемента, стоящего в первой строке и в первом столбце в произведении матриц.	Рис 1. 1 Схема вычисления элемента

Пример 1.3. Даны две матрицы А и В. Найти и ВА.

Эти примеры показывают, что произведение двух матриц, вообще говоря, не подчиняется переместительному закону: .

Определение 1.1. Матрицы А и В, для которых АВ=ВА, называются коммутативными.

Операция перемножения матриц обладает следующими свойствами:

1. (сочетательный закон);

2. (распределительный закон).

 

Сложение матриц

Две матрицы одинаковых размеров и можно складывать. Суммой матриц A и B называют матрицу C того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В:

C=A+B,

(1.3)

Операция сложения матриц обладает следующими свойствами:

4. (переместительный закон);

5. (сочетательный закон);

6. .

Пример 1.1. Даны две матрицы А и В. Найти А + В.

Умножение матрицы на число

Любую матрицу А можно умножить на число . Операция умножения матрицы на число осуществляется по правилу:

(1.4)

Операция умножения матрицы на число обладает следующими свойствами:

4. ;

5. ;

6.

Пример 1.2. Даны две матрицы А и В. Найти -5 А и 2А - В.

 

Произведение матриц

Произведением матрицы на матрицу называется матрица , каждый элемент которой определяется выражением:

(1.5)

Из определения двух матриц видно, что перемножить можно лишь матрицы, у которых число столбцов первой матрицы сомножителя А равно числу строк второй матрицы сомножителя В.

Например, если

и , то	(1.6)
Из определения умножения матриц следует, что новый элемент равен сумме произведений соответствующих элементов строки и столбца. На рис. 1.1 схематично показано получение элемента, стоящего в первой строке и в первом столбце в произведении матриц.	Рис 1. 1 Схема вычисления элемента

Пример 1.3. Даны две матрицы А и В. Найти и ВА.

Эти примеры показывают, что произведение двух матриц, вообще говоря, не подчиняется переместительному закону: .

Определение 1.1. Матрицы А и В, для которых АВ=ВА, называются коммутативными.

Операция перемножения матриц обладает следующими свойствами:

3. (сочетательный закон);

4. (распределительный закон).

Транспонирование матриц

Если строки матрицы А записать в виде столбцов, а столбцы в виде строк, то получим матрицу транспонированную матрицу .

Операция транспонирования обладает следующими свойствами:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Пример 1.4. Дана матрица А. Найти А ^Т.

 

Определители второго порядка и их свойства

Рассмотрим матрицу второго порядка:

(2.1)

Определение 2.1. Определителем (или детерминантом) второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число :

(2.2)

Пример 2.1. Вычислить определитель матрицы:

Свойства определителей

Сформулируем основные свойства определителя:

1. При транспонировании матрицы определитель не меняется:
2. Если матрица А имеет нулевую строку или нулевой столбец, то и определитель равен нулю: .
3. Если переставить местами две любые строки или два любых столбца, то определитель поменяет знак.
4. Если А имеет две одинаковые строки или два одинаковых столбца, то .
5. Если все элементы какой-либо строки или столбца матрицы умножить на число, то определитель умножится на это число.
6. Если определитель имеет две пропорциональные строки или два пропорциональных столбца, то он равен нулю.
7. Определитель не изменится, если к какой-либо строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на число.
8. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц:

(2.16)

Обратная матрица

Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц.

Определение 3.3. Если А — квадратная матрица, то обратной для нее матрицей называется матрица, обозначаемая А ^-1и удовлетворяющая условию

(3.3)

Теорема 3.1. (об обратной матрице): Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной, т. е. чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Для простоты на примере матрицы третьего порядка приведем последовательность вычислений, которая позволяет построить обратную матрицу.

Пусть

(3.4)

Невырожденная матрица, т. е. её определитель

(3.5)

Составим новую матрицу В, заменяя в матрице А каждый ее элемент а_ij его алгебраическим дополнением А_ij, деленным на определитель |A | матрицы А:

(3.6)

Построим матрицу В^Т, транспонированную по отношению к матрице В:

(3.7)

Покажем, что матрица В^Т, является обратной матрице А. Для этого составим произведение:

Так как. числители элементов на главной диагонали равны |A| (раскрытие определителя по элементам строки), а числители всех остальных элементов равны нулю (сумма произведений элементов одной строки или столбца на алгебраические дополнения другой строки или столбца равна нулю).

Таким образом, откуда Итак, способ построения обратной матрицы получен:

.

(3.8)

Пример 3.1. Дана матрица

Найти обратную матрицу.

Вычислим определитель матрицы А:

Находим алгебраические дополнения элементов этого определителя по формулам

Следовательно,

 

11.Элементарные преобразования матриц

При вычислении обратной матрицы, как правило, приходится вычислять большое число определителей. Чтобы облегчить этот процесс, применяют специальные приемы, которые называют элементарными преобразованиями матриц.

Элементарными называются следующие преобразования:

· умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля;

· прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число;

· перемена местами строк (столбцов) матрицы;

· отбрасывание строк (столбцов) матрицы, все элементы которых равны нулю.

Матрицы, получающиеся одна из другой при элементарных преобразованиях, называются эквивалентными.

Пример 4.1. Вычислить определитель матрицы:

(4.1)

Преобразуем матрицу так, чтобы не вычислять много миноров. Для этого в первом столбце во второй, третьей и четвертой строках получим нули. Работу начнем со второй строки, первую строку перепишем без изменений. Воспользуемся элементарными преобразованиями матрицы и ко второй строке прибавим первую, умноженную на :

(4.2)

Теперь к третьей строке прибавим первую строку, умноженную на :

(4.3)

И, наконец, к четвертой строке прибавим первую, умноженную на :

(4.4)

Определитель полученной матрицы равен произведению элемента на его алгебраическое дополнение:

Пример 4.2. Вычислить определитель матрицы:

(4.5)

Преобразуем матрицу так, чтобы под главной диагональю стояли нули. ПоДля этого в первом столбце во второй, третьей и четвертой строках получим нули. Работу начнем со второй строки, первую строку перепишем без изменений. Воспользуемся элементарными преобразованиями матрицы и ко второй строке прибавим первую, умноженную на :

(4.6)

Теперь к третьей строке прибавим первую строку, умноженную на :

(4.7)

И, наконец, к четвертой строке прибавим первую, умноженную на :

Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу размера

.

(4.1)

Выделим в ней несколько миноров.

Определение 3.1. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы.

Определение 3.2. Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным.

У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Пример 4.4. Найти ранг матрицы:

(4.2)

Определитель матрицы (3.2) равен нулю. Все миноры 3-го порядка равны нулю, например:

Есть минор 2-го порядка, отличный от нуля:

Значит, .

Свойства ранга матрицы

1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется: .
2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.
3. Ранг матрицы не меняется при умножении какой-либо строки (или столбца) на число, не равное нулю.
4. Ранг матрицы не меняется при перестановке местами строк (или столбцов) этой матрицы.
5. Ранг матрицы не меняется, если к какой-либо строке (или столбцу) прибавить другую строку (или столбец), умноженную на число.

Использование этих свойств позволяет в ряде случаев упростить вычисления ранга.

 

Пример 4.5. Найти ранг матрицы:

(4.3)

Определитель матрицы (4.3) равен нулю, поскольку матрица имеет пропорциональные строки, например, первую и третью. Значит ранг матрицы (4.3) будет меньше 4. Выполним некоторые элементарные преобразования: к третьей строке матрицы прибавим первую строку, умноженную на , к четвертой строке прибавим вторую строку, умноженную на 2. Получим:

Полученная матрица, очевидно, имеет ранг 2. Итак, .

Метод окаймления

При вычислении ранга можно использовать метод окаймления, состоящий в следующем. Пусть матрица имеет ненулевой минор порядка .Тогда можно рассматривать только миноры порядка , которые содержат упомянутый ненулевой минор порядка . Если все миноры большего порядка равны нулю, то .

Пример 4.6. Найти ранг матрицы, используя метод окаймления:

(4.4)

Эта матрица имеет ненулевой минор

Теперь достаточно рассмотреть не все миноры третьего порядка, а только миноры, которые содержат указанный ненулевой минор второго порядка:

Итак, .

Система линейных уравнений

Система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными имеет следующий вид:

(5.1)

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решение, и несовместной, если она не имеет решения.

Совместная система линейных уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет бесчисленное множество решений.

Две совместные системы уравнений называются равносильными, если решение первой системы является решением второй и наоборот.

С помощью теорем линейной алгебры можно доказать, что следующие преобразования, которые принято называть элементарными, приводят к равносильным системам:

· перемена местами двух любых уравнений;

· умножение обеих частей уравнений на произвольное число, отличное от нуля;

· прибавление к обеим частям одного из уравнений другого уравнения, умноженного на любое действительное число.

Формулы Крамера

Рассмотрим еще раз систему n уравнений с n неизвестными , для которой . Запишем матричное равенство (5.10) в следующем виде:

(5.11)

Или

(5.12)

Вспомним, что две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы:

(5.13)

Обратим внимание на то, что выражения в круглых скобках равенств (4.13) представляют собой определители, полученные из определителя системы заменой соответствующего номеру неизвестного столбца столбцом свободных членов данной системы уравнений (4.1). Обозначим их следующим образом:

	(5.14)
…

С учетом этих обозначений формулы (4.13) можно переписать в виде:

(5.15)

Пример 4.2. Решить систему уравнений методом Крамера

Ранее определитель системы

уже был вычислен (пример 4.1).

Вычислим определители неизвестных:

Используя формулы Крамера, найдем:

Множества. Основные понятия

Понятие множества является основным, неопределяемым понятием, поэтому можно только пояснить этот термин. Под множеством понимается собрание определенных и различимых между собой объектов, мыслимое как единое целое.

В этом интуитивном определении, принадлежащем немецкому математику Георгу Кантору (1845-1918), существенным является то обстоятельство, что собрание предметов само рассматривается как один предмет. Что касается самих предметов, которые входя во множество, то относительно них существует значительная свобода. Это может быть и множество целых чисел, и множество точек на плоскости и множество белых носорогов. Множество не обязательно должно содержать в каком-то смысле однородные объекты. Можно объединить в одном множестве и множество объектов и его одиночных представителей. Множества обычно обозначается заглавными латинскими буквами A, B, C,…. Множество можно задать, перечислив все его элементы: (1.1) При этом порядок, в котором элементы расположены при описании множества, не имеет значения. Не имеет значения также возможность неоднократного повторения одних и тех же элементов при описании множества.
Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор

Символом обозначается отношение принадлежности. Запись означает, что элемент является элементом множества .

Определение 1.1. Множества и считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Записать утверждение о том, что множество равно множеству можно при помощи простой формулы

(1.2)

Если множества состоят из разных элементов, то этот факт записывают

(1.3)

Пример 1.1. Даны три множества , и . В силу того, что все три множества состоят из одних и тех же элементов, справедлива запись .

Пример 1.2. Даны два множества и . Эти множества нельзя считать равными, так как единственным элементом множества есть множество , множество состоит из двух элементов: чисел 1 и 2.

При рассмотрении способов задания множеств возникает проблема их эффективного описания. Частично эту проблему можно решить, если указывать условие, которому удовлетворяет любой элемент данного множества:

(1.4)

Пример 1.3. Множество содержит один элемент: состоит из набора элементов .

Зачем?

Пример 1.4. Парадокс брадобрея. Владелец парикмахерской в одном селе повесил следующее объявление: «Брею тех и только тех жителей села, кто не бреется сам». Спрашивается, кто бреет брадобрея?

Этот парадокс свидетельствует о том, что широко используемая теория множеств в ее интуитивном, «наивном» изложении является противоречивой. Формализация теории множеств, связанная, в частности, с устранением парадоксов, способствовала развитию не только методов теории множеств, но и такой науки, как математическая логика.

Определение 1.2. Если все элементы множества А принадлежат также множеству В, причем , то множество А является подмножеством В. Этот факт обозначают так:

(1.5)

Определение 1.3. Если каждый элемент множества А есть элемент множества В, причем возможно , то множество В включает подмножеством А:

	(1.6)
Для наглядного представления отношений между подмножествами какого-либо универсального множества используются диаграммы Венна. Простые и лаконичные рисунки, которые впервые предложил английский математик Джон Венн (1834-1923), используются для иллюстрации взаимосвязей и в теории вероятности, и в логике, и в статистике и в информатике. В теории множеств сами множества обозначают областями и размещают внутри прямоугольника, который представляет собой некое универсальное множество. Если два множества имеют общие элементы, то такие объекты иллюстрируются перекрывающимися областями.
	Джон Венн
Пример 1.5. Даны два множества , и . Для этих множеств справедливо , поскольку множество включает множество , и каждый элемент множества есть элемент множества .

Множество, не содержащее элементов, называется пустым, и обозначается символом Ø. Пустое множество есть подмножество любого множества.

Множества бывают конечные и бесконечные. Конечные множества содержат конечное число элементов. Множества, не являющиеся конечными, называются бесконечными.

Число элементов конечного множества называется его мощностью. Мощность множества обозначают .

Пример 1.6. Дано множество . Тогда =5.

 

Множество всех подмножеств множества называется множеством-степенью и обозначается . Если множество состоит из элементов, то множество состоит из элементов.

Пример 1.7. Дано множество . Множество-степень содержит следующие подмножества:

Операции над множествами

Рассмотрим методы получения новых множеств их уже существующих.

Определение 1.4. Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, одновременно входящих и в множество А, и во множество В. Это записывается следующим образом:

	(1.3)
Свойства операции пересечения множеств: 1. (коммутативность); 2. (ассоциативность); 3. ; 4. ; 5. Ø = Ø.

Пример 1.7. Если множество А есть интервал (1; 5) а множество В есть интервал (2; 7), то пересечение множеств А и В есть интервал (2; 5): .

Определение 1.5. Объединением множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из данных множеств или А, или В, или А и В одновременно. Это обозначается следующим образом:

	(1.4)
Свойства операции объединения множеств: 1. (коммутативность); 2. (ассоциативность); 3. (дистрибутивность); 4. ; 5. ; 6. Ø = Ø.

Пример 1.8. Если множество А есть отрезок [1; 3] а множество В есть отрезок [2; 5], то объединение множеств А и В есть отрезок [1; 5]: .

Определение 1.6. Дополнением множества А называется множество всех элементов универсального множества U, каждый из которых не принадлежит множеству А.

Дополнение множества А будем обозначать через

Свойства операции дополнения множеств: 1. ; 2. Ø 3.

Пример 1.9. Если множество А есть отрезок [1; 3], то множество представляет собой объединение двух интервалов: .

Определение 1.7. Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих множеству А, но не принадлежащих В:

.

(1.5)

 

Операция вычитания множеств не коммутативна: . Из определения разности множеств следует, что имеет место равенство .

Пример 1.10. Если множество А есть отрезок , а множество В есть отрезок , то разность представляет собой полуинтервал , а полуинтервал .