Задачи, рассмотренные на Лекции и Семинаре 9

 

Задача 0-Т9. Предположим, что 5% мужчин и 0,25% всех женщин страдают дальтонизмом. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Считая, что мужчин и женщин одинаковое количество, определить вероятность того, что этот человек

а) мужчина; б) женщина.

 

Задача 1–Т9. Предположим, что в двух корзинах содержится соответственно 3 белых и 7 черных и 7 белых и 3 черных шара. Наугад выбирают корзину и из нее наугад вынимают шар. Этот шар оказывается белым. Какова вероятность того, что выбрана корзина с б о льшим числом белых шаров?

 

Задача 2-Т9 (самостоятельно). Имеется три одинаковых по внешнему виду ящика. В первом ящике находится 26 белых шаров, во втором – 15 белых и 11 черных, в третьем ящике 26 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вытаскивается белый шар. Вычислить вероятность того, что белый шар взят из первого ящика.

 

Задача 3–Т9. На экзамене студентам предлагается 20 билетов, 5 из которых – легкие, а 15 - трудные. Два студента по очереди тянут билеты – сначала первый студент, затем – второй.

а) Какова вероятность вытянуть легкий билет для первого студента?

б) Чему равна вероятность вытянуть легкий билет для второго студента?

в) Известно, что второй студент вытащил легкий билет. Чему равна вероятность того, что и первый студент вытащил легкий билет?

 

Задача 4-Т9. Пациент проходит медицинское обследование. Врач знает, что применяемый им тест надежен на 99%, т.е. для 99% больных людей положителен (даст правильный ответ о том, что человек болен), а для 99% здоровых – отрицателен (т.е. для здорового человека он даст отрицательный ответ). Врач знает также, что доля больных, имеющих это заболевание, составляет всего 1% населения. Какова вероятность, что пришедший на прием человек страдает этим заболеванием, если результат проведенного теста у него положителен?

 

Задача 5–Т9 (самостоятельно). Партия микросхем, среди которых 10% неисправных, поступила на проверку. Используется упрощенный тест проверки, по которому с вероятностью 0,95 дефектная схема признаётся дефектной, и с вероятностью 0,3 исправная микросхема признается дефектной. Наудачу выбранная микросхема протестирована и признана дефектной. Какова вероятность того, что на самом деле микросхема является исправной?

 

Задача 6–Т9. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени, делая по одному выстрелу. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,5; для второго – 0,7 и для третьего – 0,9. После стрельбы в мишени обнаружена только одна пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит третьему стрелку.

 

Задача 7–Т9. Фирма планирует выпуск на рынок нового вида товара. Субъективные представления руководства фирмы таковы: вероятность хорошего спроса на этот товар составляет 0,7, вероятность плохого спроса – 0,3. Было проведено специальное исследование товарного рынка, которое предсказало плохой сбыт. Однако известно, что исследования такого рода дают правильный прогноз не всегда, а лишь с вероятностью 0,8.

а) Каким образом маркетинговое исследование повлияло на вероятности хорошего и плохого сбыта?

б) (самостоятельно). Как изменятся вероятности хорошего и плохого сбыта, если бы исследование рынка предсказало бы хороший сбыт?

 

Задача 8-Т9. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 студента подготовлены отлично, четверо – хорошо, двое – удовлетворительно и один – плохо. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный – на 16 вопросов, удовлетворительно подготовленный – на 10, а плохо подготовленный студент может ответить только на 5 вопросов. Вызванный наугад студент ответил на три заданных преподавателем вопроса. Найти вероятность того, что:

а) студент подготовлен отлично;

б) студент подготовлен плохо.

 

Задача 9-Т9. Клеточная активность мозга регистрируется микроэлектродом. С вероятностью 0,6 предполагается, что в опыте наблюдается первая из двух соседних структур мозга (т.е. в неё попал при установке микроэлектрод). Известно, что в первой структуре мозга некоторый тип активности индуцируют 60% клеток, а во второй, соседней с ним, - 50%. Микроэлектрод зарегистрировал в фиксированный момент времени данный тип активности. Как в связи с этим изменится мнение о нахождении микроэлектрода в первой структуре мозга?

 

Задача 10-Т9. Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности поражения цели первым, вторым и третьим орудиями соответственно равны р ₁ = 0,4; р ₂ = 0,3 и р ₃ = 0,5.

 

Домашнее задание 9. – Тема 9 – Теорема Байеса

 

Задача 1Д-Т9. Прибор содержит две микросхемы. Вероятность выхода из строя в течение 10 лет первой микросхемы равна 0,07, а второй – 0,10. Известно, что из строя вышла одна микросхема. Какова вероятность того, что вышла из строя первая микросхема?

 

Задача 2Д-Т9. Из 40 экзаменационных билетов студент выучил только 30. Каким выгоднее ему зайти на экзамен первым или вторым?

 

Задача 3Д-Т9. Известно, что 90% изделий, выпускаемых данным предприятием, отвечает стандарту. Упрощенная схема проверки качества продукции признает пригодной стандартную деталь с вероятностью 0,96 и нестандартную деталь признает стандартной (т.е. ошибается) – с вероятностью 0,06. Определить вероятность того, что:

а) наугад взятое изделие пройдет контроль;

б) изделие, прошедшее контроль качества, отвечает стандарту.

 

Задача 4Д-Т9. В трех одинаковых урнах лежат шары: в первой – 5 белых и 3 черных, во второй – 2 белых и 6 черных, а в третьей – 3 белых и 1 черный. Из случайно выбранной урны вынут шар. Найти вероятность того, что он белый. Найти вероятность того, что белый шар вынут:

а) из первой урны;

б) из второй урны;

в) из третьей урны.

 

Задача 5Д–Т9. В студенческой группе 20 студентов. Из них 5 отличников, которые знают все экзаменационные вопросы, 8 студентов знают ответы на 70% вопросов и 7 студентов – только на 50%. Вызванный первым, студент ответил на первый вопрос экзаменационного билета. Найти вероятность того, что он отличник.

 

Задача 6Д-Т9. Трое охотников одновременно выстрелили по вепрю, который был убит одной пулей. Определить вероятности того, что вепрь убит первым, вторым, третьим охотником, если вероятности попадания для них равны соответственно 0,2; 0,4 и 0,6.

 

Задача 7Д-Т9. Два цеха штампуют однотипные детали. В сборочный цех завода поступает 40% деталей из первого цеха и 60% деталей из второго цеха. В первом цехе производится 90% стандартных деталей, а во втором – 95%.

а). Найти вероятность того, что наудачу взятая сборщиком деталь окажется стандартной.

б). Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь, оказавшаяся стандартной, изготовлена вторым цехом.

 

Задача 8Д–Т9. Два цеха штампуют однотипные детали. Первый цех производит 5% брака, второй - 4%. Для контроля отобрано 20 деталей, выпущенных первым цехом, и 10 деталей, выпущенных вторым цехом. Эти детали смешаны в одну партию, и из нее наудачу извлекают одну деталь. Деталь оказалась бракованная. Какова вероятность того, что она произведена первым цехом?

 

Задача 9Д-Т9. Электролампы изготавливаются на трех заводах. Первый завод производит 30% общего количества электроламп, второй – 25%, а третий – остальную часть. Продукция первого завода содержит 1% бракованных электроламп, второго – 1,5%, третьего – 2%. В магазин поступает продукция всех трех заводов. Купленная в магазине электролампа оказалась бракованной. Какова вероятность, что она произведена:

а) первым заводом?

б) вторым заводом?

в) третьим заводом?

 

Задача 10Д-Т9. При обследовании больного имеется подозрение на одно из двух заболеваний Н ₁ и Н ₂. Их вероятности в данных условиях составляют Р (Н ₁) = 0,6, а Р (Н ₂) = 0,4. Для уточнения диагноза назначается анализ, результатом которого является положительная или отрицательная реакция. В случае болезни Н ₁ вероятность положительной реакции равна 0,9, а отрицательной – 0,1. В случае болезни Н ₂ положительная и отрицательная реакции равновероятны. Анализ провели дважды, и оба раза реакция оказалась положительной (событие А). Требуется оценить вероятность каждого заболевания после проведенных анализов.

 

Задача 11Д-Т9. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, переложено два шара в урну, содержащую 4 белых и 2 черных шара. Найти вероятность вынуть из второй урны белый шар.

 

Тема 10. Схема повторных независимых испытаний с двумя исходами. Схема Бернулли. Теорема и Формула Бернулли. - 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие