Оператор момента импульса частицы

В классической физике момент импульса:

Операторы момента импульса:

 

Если результатом действия оператора на функцию u является та же функция, умноженная на число λ, то число λ называется собственным значением оператора , а функция u – собственной функцией .

Собственные функции в квантовой теории должны удовлетворять условиям непрерывности, конечности, гладкости, однозначности.

Совокупность собственных значений оператора называется его спектром.

Именно собственные значения обнаруживаются в эксперименте.

 

 

14.Основные сведения из теории операторов. Одна из основных задач квантовой механики состоит в определении вероятности получения того или иного значения динамических переменных, характеризующих частицу или квантовую систему. Причём в квантовой физике не только координаты и скорости, но и другие физические величины не могут иметь определённые значения. Поэтому говорят лишь о вероятности системы иметь то или иное значение величины её характеризующей: энергии, импульса, координаты и т. д. В связи с эти в квантовой физике физическая величина характеризуется её не численным значением, а оператором, который эта физическая величина представляет. Оператором называют правило, по которому любой функции из некоторого пространства сопоставляется другая функция из этого же пространства, то есть u=v. · Операторы, используемые в квантовой механике, всегда линейные. Оператор называется линейным, если для произвольных функций u и v, и произвольных постоянных α и β выполнено равенство: (αu+βv)=α u+β v. · Операторы Ĉ,Ĉ1, называют суммой, разностью операторов и соответственно, если справедливы равенства: Ĉu= u+ u, Ĉ1u= u- u,. · В общем случае . Если выполняется условие ,то операторы и называются коммутирующими, а запись называется коммутатором операторов и . Если ,то операторы и называются антикоммутирующими, и запись   · Если результатом действия оператора на функцию u является функция u, умноженная на некоторое число λ, то это число называют собственным значением оператора , а функцию u – собственной функцией оператора, соответствующей этому собственному значению: u= λ u. Причём, собственные функции в квантовой механике должны удовлетворять свойствам конечности, непрерывности, однозначности и гладкости. Совокупность собственных значений оператора называется его спектром. Спектр оператора может быть как дискретным, так и непрерывным. Причём, возможны случаи, часть спектра дискретна, а часть непрерывна. Возможны также случаи, когда одному собственному значению соответствует несколько собственных функций. Такое собственное значение называют вырожденным. · Помимо линейности, на квантово-механические операторы накладывается требование самосопряжённости. Оператор называется самосопряжённым или эрмитовым,если для произвольных функций u и v справедливо равенство: собственными значениями самосопряжённых операторов являются действительные числа. Собственные значения, как-либо описывающие физическую величину, измеряются в эксперименте. Вообще говоря, физическую величину можно измерить, если её оператор эрмитовый. Теорема 1. Собственные функции линейного эрмитового оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны друг другу, то есть Док-во: Запишем по определению собственного значения: . Теперь, подставляя сюда формулы (1), получим: – константы, то мы можем вынести их за знак интеграла. Перенося интеграл в левую часть, получим: Так как собственная функция определяется лишь с точностью до произвольного множителя, то этот множитель можно выбрать так, чтобы функции были ортонормированными:

 

 

16. Условие одновременной измеримости динамических переменных Из постулатов квантовой механики следует, что при измерении некоторой физической величины получается определённое значение лишь в том случае, когда волновая функция, описывающая систему, является собственной функцией оператора измеряемой величины. В общем случае различные операторы имеют различные собственные функции, то есть описываемые ими физические величины не могут одновременно иметь точно определённые значения, но в некоторых случаях это возможно. Необходимым и достаточным условием того, чтобы две физические величины имели одновременно определённые значения, является коммутативность операторов, описывающих эти величины. Докажем это утверждение. Необходимость. Пусть операторы имеют общую собственную функцию, а значит описываемые ими физические величины, одновременно имеют определённые значения Умножим эти выражения на соответств.: Так как по условию функция не нулевая, то , то есть операторы коммутирующие. Операторы имеют общую собственную функцию , и поэтому соответствующие им динамические переменные являются одновременно измеримыми с какой угодно степенью точности. Проверим, являются ли одновременно измеримыми проекция импульса на координату и сама эта координата: . Найдём их коммутатор: Подействуем этим оператором на функцию f: То есть оператор коммутатора не равен нулю. Значит операторы не коммутирующие. Значит, координата и проекция импульса не могут одновременно иметь определённые значения. Соотношение между дисперсией координаты и импульсом частицы было установлено Гейзенбергом (1927 г.) и получило в последствии название соотношения неопределённостей Гейзенберга. Найдём его. По определению дисперсии мы можем записать . Аналогично для импульса: . Выберем такую систему координат, в которой <x>=0 и <p>=0. В этой системе координат дисперсия координаты и импульса будет Для нахождения связи между неопределённостью координаты и неопределённостью импульса, Гейзенберг предложил рас/ть ∫ вида: Раскроем теперь скобки и приведём подобные члены. Причём, запишем полученное выражение как многочлен относительно степеней :. Так как подынтегральное выражение являлось квадратом модуля, то интегральная функция будет положительно определена: (1). Запишем теперь выражения для коэффициентов Беря полученный интеграл по частям, запишем: . Первое слагаемое здесь равно нулю, а второе 1 в силу условия нормировки. Запишем теперь условие положительной определённости (1): дискриминант (1) должен быть меньше либо равен нулю: Подставляя в последнее выражение значения A,B и С, получим: Возвращаясь к определению дисперсии в выбранной нами Данное соотношение носит название соотношения неопределённостей Гейзенберга. Оно показывает, что импульс и координаты частицы не могут быть одновременно определены (измерены) со сколь угодно большой точностью, хотя любая из этих величин по отдельности измерима с любой точностью. До измерения частица не имела определённых значений динамических переменных. Определённые значения динамические переменные квантовой системы принимают только в процессе измерения. Под процессом измерения в квантовой физике понимается процесс взаимодействия с любым классическим объектом (прибором). Наличие же наблюдателя вовсе не обязательно. Таким образом, измерения объективны.   Для других сопряженных величин – энергии E и времени tсоотношения неопределенностей,имеет вид: . Это означает, что при характерном времени эволюции системы Δ t, погрешность определения ее энергии не может быть меньше чем . Из этого соотношения следует возможность возникновения из ничего, так называемых, виртуальных частиц на промежуток времени меньший, чем и обладающих энергией Δ E. При этом закон сохранения энергии не будет нарушен. Поэтому по современным представлениям вакуум это не пустота, в которой отсутствуют поля и частицы, а физическая сущность, в которой постоянно возникают и исчезают виртуальные частицы. Одним из Если в классической физике измерение не возмущало сам объект, то в квантовой механике каждое измерение разрушает объект, уничтожая его волновую функцию. Для нового измерения объект нужно готовить заново. В этой связи Н. Бор выдвинул принцип дополнительности, суть которого в том, что для полного описания объектов микромира необходимо использование, двух противоположных, но дополняющих друг друга представлений.     16. Частица в прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Потенциальной ямой называется область пространства, в которой потенциальная энергия меньше, чем в окружающем пространстве. В частности движение электрона в кулоновском потенциале ядра есть движение в потенциальной яме. Рассмотрим простейший случай одномерной потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками. Её можно описать следующими уравнениями: Так как энергия частицы внутри ямы нулевая, то существует только вероятность нахождения частицы внутри ямы, так как она не может преодолеть стенки ямы: . Так как волновая функция имеет смысл плотности вероятности нахождения частицы в той или иной точке пространства, то и. функцию только внутри ямы. Стационарное уравнение Здесь E – энергия частицы. Запишем граничные условия: Решением данного уравнения является функция Применим теперь второе граничное условие: . То есть . Получается, что k зависит от n. Тогда . Очевидно, что k принимает дискретные значения. Вспоминая, что , получим с учётом последнего выражения: . Отсюда , причём минимальная энергия равна: . Таким образом, энергию движущейся частицы внутри потенциальной ямы мы можем представить в виде энергетических уровней. Волновая функция такой частицы имеет вид: . Волновая функция основного состояния . Эта функция внутри ямы изменяется и с уменьшением размера ямы энергия возрастает. Найдём константу A из условия нормировки: вероятность нахождения частицы внутри ямы равна 1: . . Отсюда и для волновой функции имеем: .