Сходящиеся и расходящиеся ряды

Пусть задана последовательность (a_n) действительных чисел

a₁, a₂, a₃, …,a_n, …. (1.1)

Сопоставим этой последовательности чисел последовательность (S_n) конечных сумм вида:

S₁=a₁,

S₂=a₁+a₂,

S₃=a₁+a₂+a₃, …,

S_n=a₁+a₂+…+a_n,…

Однако на практике часто приходят к задачам суммирования бесконечной последовательности чисел (1.1). В этом случае вместо слов последовательность (a_n) и последовательность (S_n) употребляют слово ряд. Для обозначения ряда используют символы:

a₁+a₂+…+a_n+…

или

(1.2)

Число называют n-й частичной суммой ряда , а число a_n – n-м (общим) членом этого ряда.

Так как каждому ряду соответствует последовательность (S_n) его частичных сумм, и, наоборот, каждой последовательности (S_n) соответствует ряд , где a₁=S₁, a₂=S₂-S₁,…, a_n=S_n-S_n-1,…, то каждое свойство последовательностей можно переформулировать в некоторое свойство рядов заменой характеристики членов последовательности соответствующей характеристикой членов ряда.

Таким образом, фразы «последовательность (a_n)», «последовательность (S_n)», «совокупность последовательностей (a_n) и (S_n)», «ряд » суть математические синонимы.

При определении ряда естественно возникают вопросы:

1. Что такое «сумма» бесконечной последовательности чисел?

2. Если сумма существует, то каковы ее свойства?

Прежде чем ответить на эти вопросы, рассмотрим следующие примеры.

Пример 1. Отрезок [1,0] разобьем пополам (на два равных отрезка).

1/2

7/8

15/16

3/4

 

Правую половину отрезка, то есть отрезок [1/2, 1], снова разделим пополам, затем разобьем пополам отрезок [3/4, 1] и т. д. Продолжая этот процесс до бесконечности, получим разбиение отрезка [0, 1] на бесконечное множество отрезков: [0, 1/2], [1/2, 3/4], [3/4, 7/8], [7/8, 5/16],… Естественно считать, что «сумма» длин всех отрезков, на которые разбит отрезок [0, 1], равна длине отрезка, т.е. единице. Иными словами,

(1.3)

Это рассуждение было известно еще грекам, и философ Зенон (ок. 490 г. до н.э.), известный своими «парадоксами», оспаривал его законность. Один из парадоксов утверждал, что бегущий человек никогда не сможет достичь своей цели, поскольку он должен пробежать сначала половину требуемой дистанции, затем половину оставшейся части дистанции и т. д.; таким образом, он должен пробежать бесконечное множество расстояний, а это будет продолжаться вечно.

Если бы мы попытались вычислить сумму (1.3), последовательно выполняя все указанные в ней сложения, то это, конечно, никогда бы не окончилось.

И все-таки равенство (1.3) в некотором смысле верно. В чем же заключается точный его смысл?

Определим понятие суммы ряда. Прежде обратимся к примеру 1. Последовательности сопоставим последовательность частичных сумм (S_n), где

Ясно, что является длиной отрезка.

Определение. Если последовательность (S_n) частичных сумм ряда сходится, то ее предел называют суммой ряда, а сам ряд (1. 2) называют сходящимся или суммируемым. В этом случае пишут:

Если , или предел последовательности не существует, то ряд называют расходящимся.

Если , то говорят, что ряд расходится к + , и пишут Аналогично в случае считаем, что

Пример 2. Рассмотрим ряд

Для этого ряда Данный ряд расходится к + .

Пример 3. Рассмотрим ряд Поскольку для этого ряда то последовательность не имеет предела при . Следовательно, ряд расходится. Заметим, что этот ряд не расходится ни к ни к

Пример 4. Рассмотрим последовательность

.

Ей соответствует ряд , где Так как последовательность сходится при и расходится при то и ряд сходится при и расходится при

Не существует каких-либо общих методов нахождения сумм сходящихся рядов. Эту задачу удается решить только в отдельных частных случаях.

Пример 5. Исследуем сходимость и найдем его сумму.

Так как то последовательность частичных сумм имеет . Итак, заданный ряд сходится и его сумма

Замечание. Для представления общего члена ряда в виде суммы простейших дробей полезно использовать метод неопределенных коэффициентов.

Пример 6. Исследуем на сходимость ряд

Представим общий член ряда в виде суммы простейших дробей:

Умножая обе части этого равенства на знаменатель левой части, приходим к тождеству: 1≡ A (n +1)(n +2)+ Bn (n +2)+ Cn (n +1).

Последовательно полагая n =0, -1, -2, находим:

Таким образом,

Отсюда:

Ясно, что

следовательно, данный ряд сходится и его сумма

Пример 7. Исследуем на сходимость ряд

Преобразуем формулу n -го члена ряда, представив его в виде суммы простейших дробей: Выпишем последовательность частичных сумм данного ряда и найдем ее предел:

Следовательно, ряд сходится и его сумма

Пример 8. Выясним, сходится или расходится ряд

Частичные суммы ряда равны:

Имеем т.к. аргумент логарифма, а значит и сам логарифм при стремятся к бесконечности. Следовательно, исследуемый ряд расходится.

Пример 9. Пусть m –фиксированное натуральное число. Исследуем на сходимость ряд называемый рядом обратных факториалов.

Преобразуем общий член ряда по формуле

Выпишем последовательность частичных сумм данного ряда:

Так как то

Пример 10. Пусть члены ряда представимы в виде:

и пусть существует конечный предел:

Тогда исходный ряд сходится и его сумма равна т.е.

= (1. 4)

Действительно,

т.е.

Так как то отсюда получаем и поэтому справедлива формула (1. 4).

Применим данное свойство для ряда с общим членом:

Представим его в виде:

Обозначим Тогда причем По формуле (1. 4) находим:

Пример 11. Найдем сумму ряда

Так как то

Отсюда:

Рассмотрим так называемые эталонные ряды, которые часто используются при исследовании сходимости многих рядов.

Пример 12. Исследуем сходимость гармонического [1]ряда:

Его частичная сумма Пусть Тогда

Таким образом, Последовательность не ограничена сверху, а потому не может быть сходящейся, так как сходящаяся последовательность ограничена. Следовательно, ряд расходится.

Приведем еще одно доказательство того, что гармонический ряд расходится. Действительно, если бы он сходился, то, обозначив его сумму через S, мы бы имели:

(1.5)

Но т.е. что противоречит (1.5).

Заметим, что гармонический ряд расходится очень «медленно». Л.Эйлер, например, вычислил, что

(Леонард Эйлер (1707– 1783) – математик, физик, механик; родился в Швейцарии, большую часть жизни прожил в России и в Германии, активно участвовал во многих направлениях деятельности Петербургской и Берлинской академий.)

Пример 13. Ряд называется обобщенным гармоническим. При - это гармонический ряд, и его расходимость доказана. Покажем, что этот ряд расходится и при

Здесь и при любом . Следовательно, и поэтому при данный ряд расходится. Итак, обобщенный гармонический ряд расходится при Ниже будет доказано, что при этот ряд сходится.

Пример 14. Исследуем на сходимость ряд где q -действительное число:

Преобразуем частичную сумму этого ряда следующим образом:

Отсюда Следовательно, ряд сходится и его

сумма равна

В частности, если то

1. 2. Число e как сумма ряда

Нам известно, что В этом пункте мы изучим ряд, с помощью которого можно указать достаточно хороший способ вычисления числа e.

По формуле бинома Ньютона:

Полагая и имеем

С другой стороны, при любом фиксированном k и любом из того же разложения имеем:

При левая часть последнего неравенства стремится к , а правая – к числу e, поэтому для любого Но тогда из двойного неравенства по известной теореме о пределе промежуточной последовательности получаем, что По определению суммы ряда теперь можно записать:

Оценим разность

Таким образом, чтобы абсолютная погрешность приближения числа e числом не превосходила, например, достаточно, чтобы имело место неравенство . Этому условию удовлетворяет уже

В заключение покажем, что число e иррационально.

Предположим, что где Тогда при любом число целое и положительное. Следовательно, при любом

С другой стороны, Противоречие!

В 1873 году Ш. Эрмит (Шарль Эрмит (1822-1901) – французский математик, член Парижской Академии наук) установил, что число e трансцендентно, т.е. не является корнем никакого алгебраического многочлена с целыми коэффициентами.