Ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорения.

Движение точки характеризуется также ускорением—быстротой изменения скорости. Если скорость точки за произвольное время изменяется на величину , то величина

называется средним ускорением точки за это время. Ускорение в данный момент времени:

;

т.е. вектор равен производной по времени. Направление вектора совпадает с направлением приращения скорости за . Поскольку, , то ускорение точки можно записать как вторую производную по времени от радиуса-вектора:

;

Вектор ускорения можно разложить по компонентам: ; где , соответственно, …проекции ускорения на оси координат.

Если траектории точки плоская кривая, то для описания движения можно выбрать два перпендикулярные друг к другу направления: касательной к траектории (орт ) и нормали к ней (орт ). Тогда раскладывается по составляющим .

Поскольку вектор скорости , то подставив сюда элементарное перемещение , получим для скорости: .

Тогда для ускорения точки можно записать:

 

;

Из рис. видно, что есть разность векторов и . Видно, что есть приращение орта касательной к траектории, соответствующее элементарному пути за время .

Ввиду малости его можно считать совпадающим с дугой окружности радиуса с центром в т.0 с центральным углом .

При перемещении по траектории на длину единичный вектор поворачивается на угол . Из равнобедренного треугольника векторов , ввиду малости ;

По направлению совпадает с ортом : при вектор становится перпендикулярным . Тогда производная:

и полное ускорение точки

;

Отсюда видно, что — касательное (тангенциальное) ускорение характеризует быстроту изменения модуля скорости. При ускоренном движении и совпадает с , при замедленном и противоположно .

Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения направления вектора скорости. Оно направлено к центру кривизны траектории; ; поэтому его также называют центростремительным. При прямолинейном движении .

Модуль полного ускорения

;

При ускоренном движении угол острый, рис., при замедленном - тупой ( угол между и ). Если точка движется по окружности равномерно, т.е. , то и , т.е. перпендикулярно касательной к траектории.

 

Динамика поступательного движения

Поступательное движение

Простейшим видом механического движения твердого тела является поступательное движение, при котором прямая, соединяющая любые две точки тела перемещается вместе с телом, оставаясь параллельной| своему первоначальному положению (шарик на пружине относительно Земли, поршень в цилиндре стационарного двигателя, лифт, резец токарного станка и др.). Траектории всех точек тела одинаковы. Радиусы - векторы всех точек тела за время изменяется на одну и ту же величину , скорости всех точек и их ускорения одинаковы:

;

т.е. для описания движения можно взять одну точку тела; если при этом , то и тогда, интегрируя, находим скорость точки:

; Затем, интегрируя скорость , найдем координату:

 

Закон инерции.

В основе классической механики лежат три закона Ньютона, сформулированные им в сочинении «Математические начала натуральной философии», опубликованном в 1687г. Эти законы явились результатом гениального обобщения опытных данных и теоретических закономерностей в области механики, которые были установлены Ньютоном, а также Кеплером. Галилеем, Гюйгенсом. Гуком и др.

В качестве первого закона динамики Ньютон принял закон, установленный еще Галилеем:

Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока внешнее воздействие не заставит изменить это состояние.

Этот закон утверждает, что для состояния покоя или равномерного прямолинейного движения не требуется внешних воздействий. В этом проявляется особое динамическое свойство тел, называемое инертностью. Поэтому первый закон Ньютона называют также законом инерции, а движение тела в отсутствии внешних воздействий, движением по инерции.

В этой формулировке закона считается, что тело не деформируется, т.е. оно абсолютно твердое, и что оно движется поступательно. Однако, твердое тело может еще равномерно вращаться по инерции, обладая при этом ускорением. Необходимость во всех этих оговорках отпадает, если в первом законе Ньютона говорить не о теле, а о материальной точке, которая по определению не может ни деформироваться, ни вращаться.

Поэтому для материальной точки пользуются формулировкой:

материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока внешнее воздействие не выведет её из этого состояния.