Глава I. Элементы линейной алгебры

СОДЕРЖАНИЕ

Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

§ 1. Матрицы. Виды матриц 3

§ 2. Действия над матрицами.................................................................................................... 5

2.1. Умножение на число. Сложение и вычитание.......................................................... 5

2.2. Умножение матриц....................................................................................................... 6

2.3. Возведение в степень. Транспонирование матрицы............................................... 7

§ 3. Определители....................................................................................................................... 7

3.1. Основные понятия........................................................................................................ 7

3.2. Свойства определителей.............................................................................................. 8

§ 4. Обратная матрица................................................................................................................ 10

4.1. Основные понятия......................................................................................................... 10

4.2. Вычисление обратной матрицы методом присоединенной матрицы..................... 10

4.3. Вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований............. 11

§ 5. Системы m линейных уравнений с n переменными..................................................... 12

5.1. Основные понятия........................................................................................................ 12

5.2. Системы n линейных уравнений с n переменными.

Формулы Крамера. Метод обратной матрицы........................................................... 14

5.3. Метод Гаусса................................................................................................................. 15

 

Глава II. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

 

§ 6. Прямоугольная система координат в пространстве........................................................ 17

§ 7. Векторы................................................................................................................................ 18

7.1. Основные понятия......................................................................................................... 18

7.2. Линейные операции над векторами............................................................................ 18

7.3. Разложение вектора по базису. Координаты вектора.

Модуль вектора. Направляющие косинусы................................................................. 20

7.4. Действия над векторами, заданными координатами................................................. 21

7.5. Деление отрезка в данном отношении........................................................................ 21

§ 8. Скалярное произведение векторов.................................................................................... 22

8.1. Определение скалярного произведения..................................................................... 22

8.2. Свойства скалярного произведения........................................................................... 23

8.3. Вычисление скалярного произведения векторов через координаты...................... 23

8.4. Приложения скалярного произведения векторов..................................................... 24

§ 9. Векторное произведение векторов.................................................................................... 25

9.1. Определение и вычисление векторного произведения векторов........................... 25

9.2. Свойства векторного произведения........................................................................... 26

9.3. Приложения векторного произведения..................................................................... 27

§ 10. Смешанное произведение векторов................................................................................ 27

10.1. Определение, свойства и вычисление смешанного

произведения векторов.................................................................................................. 27

10.2. Приложения смешанного произведения.................................................................. 28

Глава III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

 

§ 11. Системы координат на плоскости................................................................................... 29

11.1. Прямоугольная и полярная системы координат..................................................... 29

11.2. Связь между прямоугольными и полярными координатами................................ 30

11.3. Преобразование прямоугольных координат........................................................... 31

§ 12. Прямая на плоскости......................................................................................................... 33

12.1. Общее уравнение прямой на плоскости.................................................................. 33

12.2. Частные случаи расположения прямой на плоскости.

Уравнение в отрезках на осях........................................................................................ 34

12.3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку:

а) параллельной данной прямой;

б) перпендикулярной данной прямой................................................................. 35

12.4. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Каноническое уравнение прямой.

Параметрические уравнения прямой...................................................................... 35

12.5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом....................................................... 36

12.6. Взаимное расположение прямых на плоскости.

Расстояние от точки до прямой..................................................................................... 37

§ 13. Линии второго порядка на плоскости............................................................................. 38

13.1. Эллипс......................................................................................................................... 38

13.2. Гипербола..................................................................................................................... 40

13.3. Парабола....................................................................................................................... 41

13.4. Общее уравнение линии второго порядка................................................................ 43

 

 

Глава IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

§ 14. Плоскость........................................................................................................................... 44

14.1. Общее уравнение плоскости...................................................................................... 44

14.2. Расположение плоскости в пространстве.

Уравнение плоскости в отрезках на осях..................................................................... 45

14.3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки............................................... 47

14.4. Нормальное уравнение плоскости............................................................................. 47

14.5. Пучок плоскостей........................................................................................................ 49

14.6. Взаимное расположение плоскостей.

Расстояние от точки до плоскости................................................................................ 50

§ 15. Прямая в пространстве...................................................................................................... 51

15.1. Общие, канонические и параметрические уравнения прямой............................... 51

15.2. Уравнения прямой, проходящей через две точки.................................................... 52

15.3. Взаимное расположение прямых в пространстве.

Условие принадлежности двух прямых одной плоскости......................................... 53

§ 16. Прямая и плоскость в пространстве.

Условие принадлежности прямой плоскости.............................................................. 54

§ 17. Поверхности второго порядка......................................................................................... 56

17.1. Эллипсоид.................................................................................................................... 56

17.2. Однополостный гиперболоид.................................................................................... 57

17.3. Двуполостный гиперболоид...................................................................................... 58

17.4. Эллиптический параболоид....................................................................................... 60

17.5. Гиперболический параболоид.................................................................................... 61

17.6. Конус второго порядка................................................................................................ 62

17.7. Цилиндрические поверхности................................................................................... 63

 

Литература................................................................................................................................... 66

 

Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Матрицы. Виды матриц

Определение. Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов.

 

Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами.

Матрицы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита А, В, С, а для обозначения элементов матрицы используются, соответственно, строчные буквы с двойными индексами: , где i – номер строки, j – номер столбца.

Записывают матрицу так

или в сокращенном виде: , где ,

(i принимает значения от 1 до ; j принимает значения от 1 до ).

Например, .

Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения: .

 

Определение. Матрицы одного размера называются равными, если их элементы совпадают, т.е. , для любых , .

 

Виды матриц.

1. Матрица, состоящая из одной строки, называется

матрицей (вектором) - строкой: .

2. Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей (вектором)- столбцом:

.

 

3. Матрица, содержащая одну строку и один столбец, отождествляется с числом. - есть число . - есть число .

4. Матрица называется квадратной - го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно .

- квадратная матрица 3-го порядка.

Определение. Элементы матрицы , у которыхномер строки равен номеру столбца , называются диагональными элементами и образуют главную диагональ матрицы.

 

5. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Например, - диагональная матрица 3-го порядка.

 

6. Диагональная матрица -го порядка, все диагональные элементы которой равны 1, называется единичной матрицей - го порядка.

Она обозначается буквой Е.

Например, - единичная матрица 3-го порядка.

 

7. Матрица любого порядка, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей. Она обозначается буквой О.

Например, - нулевая матрица.

 

Матрицы Е и О играют ту же роль, что и числа 1 и 0 в арифметике.

Действия над матрицами

Умножение матриц

 

Умножение матрицы на матрицу возможно, когда число столбцов первой матрицы () равно числу строк второй матрицы ().

В результате получается матрица, число строк которой равно числу строк матрицы ; а число столбцов равно числу столбцов матрицы .

Схема:

Определение. Произведением матриц и называется матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов - й строки первой матрицы () на соответствующие элементы - го столбца второй матрицы ().

 

Схема вычисления:

 

Например, .

.

В частном случае .

 

Многие свойства операций над числами выполняются и для операций над матрицами:

1) + = +	6)
2) +( + )=( + )+	7)
3)	8)
4)	9)
5)

 

Однако некоторые свойства произведения чисел не выполняются для произведения матриц:

- произведение не всегда равно ;

(если , то матрицы называются перестановочными).

 

- произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице: .

 

 

Определители

Основные понятия

Квадратной матрице - го порядка соответствует число, называемое определителем (или детерминантом).

 

Обозначается определитель: ; или .

Если = 1 , то		- определитель 1-го порядка.
Если = 2 , то		- определитель 2-го порядка.

Схема вычисления:

 

Например, .

 

Если = 3 , то

- определитель 3-го порядка.

Определитель третьего порядка можно вычислять по правилу треугольников (правилу Саррюса).

Схема вычисления:

Например,

 

Свойства определителей

1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот.

.

Будем называть строки и столбцы рядами определителя.

 

2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

 

3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

 

4. Общий множитель элементов какого-либо ряда можно выносить за знак определителя.

 

5. Если элементы какого-либо ряда представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей:

.

 

6. Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, предварительно умноженные на любое число :

.

 

Определение. Минором некоторого элемента определителя - го порядка называется определитель ( - 1) – го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент.

Обозначается: .

Если , то .

Определение. Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, умноженный на .

Обозначается: .

 

7. ( Разложение определителя по элементам некоторого ряда).

Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения:

.

Например,

Определители высоких порядков вычисляем, применяя свойство 7. При вычислении определителей третьего и более высокого порядка удобно пользоваться свойством 6. Покажем на примере вычисления определителя третьего порядка.

 

Первую строку заменили суммой ее со второй, предварительно умноженной на число 2.

 

 

Обратная матрица

Основные понятия

Для каждого числа существует обратное ему число , причем .

Для квадратных матриц вводится аналогичное понятие.

Определение. Матрица называется обратной матрице , если выполняется равенство: .

Условием существования обратной матрицы является требование: .

Определение. Если , то матрица называется невырожденной; если , то матрица называется вырожденной.

Основные понятия

 

Системы m линейных уравнений с n переменными имеют вид:

(1)

 

где , - - произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами.

Решением системы называется совокупность чисел , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Две системы называются равносильными (или эквивалентными) если они имеют одно и то же множество решений.

 

Равносильность систем не нарушается при следующих элементарных преобразованиях:

1) перемена местами уравнений;

2) умножение обеих частей уравнения на число ;

3) удаление из системы уравнения ;

4) прибавление к обеим частям какого - либо уравнения соответствующих частей другого уравнения этой же системы, предварительно умноженных на любое число.

 

Запишем матрицы:

, , .

- матрица системы, состоящая из коэффициентов при переменных,

- матрица-столбец переменных,

- матрица- столбец свободных членов.

Так как число столбцов матрицы равно числу строк матрицы , то их произведение есть матрица-столбец:

.

Элементами полученной матрицы являются левые части уравнений системы (1).

На основании определения равенства матриц систему (1) можно записать в следующем виде:

- это матричный вид системы.

Матрица системы, дополненная столбцом свободных членов, называется расширенной матрицей.

 

- расширенная матрица системы (1)

 

5.2. Системы n линейных уравнений с n переменными.

Метод обратной матрицы

Запишем систему (2) в матричном виде и решим матричное уравнение:

 

 

 

Матричное уравнение может иметь и другой вид:

 

Метод Гаусса

 

Одним из наиболее универсальных методов решения алгебраических систем является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении переменных.

Пусть дана система уравнений:

 

На первом этапе (прямой ход) систему уравнений приводим к ступенчатому (в частном случае, когда , к треугольному) виду с помощью элементарных преобразований.

На втором этапе (обратный ход) последовательно определяем значения переменных из полученной ступенчатой системы.

Если ступенчатая система окажется треугольной, то исходная система имеет единственное решение. Из последнего уравнения находим значение , из предпоследнего - , и далее, поднимаясь по системе вверх, найдем значения всех остальных переменных .

Если в результате элементарных преобразований появляются уравнения , то их вычеркиваем. Если же появляется уравнение , то это свидетельствует о несовместности системы.

Преобразования Гаусса удобнее проводить не с самой системой, а с ее расширенной матрицей, выполняя элементарные преобразования над строками.

Удобно, чтобы коэффициент был равен . Для этого можно переставить уравнения системы либо разделить обе части первого уравнения на .

Пример 1. Решить систему уравнений методом Гаусса

¦ Прямой ход.

1. Выберем «ведущим» третье уравнение и запишем его на первое место.

2. Запишем расширенную матрицу системы и выполним элементарные преобразования над ее строками:

~	~
первую строку перепишем, а вторую и третью заменим суммой с первой, умноженной соответственно на и на ;	разделим вторую строку на .
~	~
первую и вторую строки перепишем, а третью заменим суммой ее со второй, умноженной на ;	из этой матрицы запишем систему треугольного вида.

Обратный ход.

Из третьего уравнения находим значение , из второго - значение , из первого - значение .

Ответ: .?

Пример 2. Решить систему уравнений

¦ Запишем расширенную матрицу системы. Выполняя элементарные преобразования над ее строками, получим:

~ ~

~ ~ .

 

Из последней матрицы запишем систему

Из третьего уравнения находим значение , из второго - значение .

Так как уравнений в системе осталось меньше, чем переменных, то из первого уравнения выражаем через ( - свободная переменная, т.е. - любое число).

Следовательно, система уравнений имеет бесконечно много решений.

Ответ: , где - любое число.?

 

Векторы

Основные понятия

Вектором называется направленный прямолинейный отрезок. Если - начало вектора, а - его конец, то вектор обозначается или . Вектор называется противоположным вектору . Вектор противоположный вектору , обозначается .

Длиной или модулем вектора называется длина отрезка и обозначается . Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается .

Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Обозначаются .

Векторы и называются равными , если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

 

Прямая на плоскости

Эллипс

Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек и , называемых фокусами, есть величина постоянная , большая, чем расстояние между фокусами .

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

, где .

Расположим систему координат следующим образом: за ось примем прямую, проходящую через фокусы и , за ось примем перпендикуляр к оси абсцисс, проходящий через середину отрезка .

, , и - точки пересечения эллипса с осями симметрии

(координатными осями) называются вершинами эллипса.

Отрезки и называются осями эллипса, причем - большая ось, а - малая ось, так как .

 

Параметры и , входящие в каноническое уравнение, называются полуосями эллипса, а называется фокусным расстоянием эллипса.

 

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к большей полуоси . Очевидно, что .

Прямые называются директрисами эллипса .

Пусть точка - произвольная точка эллипса.

Длины отрезков и называются фокальными радиусами .

и

Если фокусы эллипса лежат на оси , то большей осью будет отрезок ,

а малой осью отрезок .

Тогда , а директрисами являются прямые .

Если , то эллипс превращается в окружность, определяемую уравнением

.

 

Уравнение определяет вырожденный эллипс, т.е. это уравнение определяет на плоскости только одну точку .

Уравнение определяет мнимый эллипс, т.е. это уравнение не определяет на плоскости никакого геометрического образа.

Если центр эллипса находится в точке и оси параллельны осям координат, то его уравнение имеет вид:

Гипербола

 

Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек и , называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная , меньшая, чем расстояние между фокусами .

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид , где .

 

Расположим систему координат следующим образом: за ось примем прямую, проходящую через фокусы и , за ось примем перпендикуляр к оси абсцисс, проходящий через середину отрезка .

Гипербола имеет две оси симметрии (оси координат), с одной из которых она пересекается в точках , , называемых вершинами гиперболы.

 

Отрезок - действительная ось, - мнимая ось.