Поток событий. Пуассоновский поток и его свойства

 

Под потоком событий в теории вероятностей понимается последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то моменты времени. Примерами могут служить: поток вызовов на телефонной станции; поток заказных писем, поступающих в почтовое отделение, и т.п. События, образующие поток, в общем случае могут быть различными. Если события различаются только моментами появления, то поток событий называется однородным.

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через строго определенные промежутки времени. Такой поток сравнительно редко встречается в реальных системах, но представляет интерес как предельный случай.

Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания того или иного числа событий на промежуток времени зависит только от длительности промежутка и не зависит от того, где именно на оси времени расположен этот промежуток.

На практике часто встречаются потоки заявок, вероятностные характеристики которого не зависит от времени. Например, поток вызовов на городской телефонной станции на участке времени от 12 до 13 часов может считаться стационарным. Тот же в течение

целых суток уже не может считаться постоянным.

Поток событий называется потоком без последействия, если для любых непересекающихся участков времени число событий, обладающих на одно из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие.

Например, поток пассажиров, входящих на станцию метро, можно считать потоком без последействия. Поток пассажиров, покидающих станцию метро, уже не может считаться потоком без последействия, так как моменты выхода пассажиров, прибывших одним и тем же поездом, зависимы между собой.

Выходной поток (или поток обслуженных заявок), покидающий систему массового обслуживания, обычно имеет последействие, даже если входной поток его не имеет. Рассмотрим, например, одноканальную систему массового обслуживания, для которой

время обслуживания любой заявки имеет одну и ту же величину t_об. Тогда в потоке обслуженных заявок минимальный интервал времени между заявками, покидающими

систему, будет равен t_об. Нетрудно убедиться, что наличие такого минимального интервала неизбежно приводит к последействию. Действительно, пусть известно, что в какой-то момент t ₁ систему покинула обслуженная заявка. Тогда можно утверждать с достоверностью, что на любом интервале времени, лежащем в пределах (t ₁, t ₁ + t_об),

ни одна заявка не покинет систему. Значит, будет иметь место зависимость между числами событий на непересекающихся участках.

Последействие, присущее выходному потоку, необходимо учитывать, если этот поток является входным для какой-либо другой системы массового обслуживания (так называемое “многофазное обслуживание”, в которой заявка переходит из системы в систему).

Отметим, что в самом простом на первый взгляд регулярном потоке, в котором события отделены друг от друга равными интервалами, имеется ярко выраженное последействие. Именно из наличия последействия анализа процессов, протекающих в системе массового обслуживания, гораздо сложнее, чем при простейшем.

Поток событий называется ординарным,если вероятность появления двух и более событий за малый промежуток времени имеет более высокий порядок малости по сравнению с вероятностью появления за этот промежуток одного события. Для ординарного потока событий вероятность одновременного появления более чем одного события равна нулю.

Условие ординарности означает, что заявки приходят по одиночке, а не парами, тройками и т.д.

Пуассоновским (простейшим) потоком называют поток, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности. Название “пуассоновский” связано с тем, что для этого потока число событий, попадающих на любой фиксированный интервал времени, будет распределено по закону Пуассона.

Пуассоновский поток играет среди потоков событий особую роль, до некоторой степени аналогичную роли нормального закона среди других законов распределения. Можно доказать, что аналогично тому как при суммировании большого числа независимых случайных величин, подчиненных практически любым законам распределения, получается величина, приближенно распределенная по нормальному закону, при суммировании (взаимном наложении) большого числа ординарных, стационарных потоков с практически любым последействием получается поток, сколь угодно близкий к пуассоновскому. Условия, которые должны для этого соблюдаться, аналогичны условиям центральной теоремы, а именно – складываемые потоки должны оказывать на сумму приблизительно равномерное влияние.

Интенсивность стационарного потока l называется среднее число событий, которые появляются в единицу времени.

Можно доказать, что если интенсивность пуассоновского потока равна l, то вероятность появления k событий за время длительностью T определяется формулой Пуассона

 

P_t (k)= (l T) ^k × e^{─l T} / k!. (9.3.1)

 

В частности, вероятность того, что на промежутке времени длительностью T не произойдет ни одного события, равна

 

P ₀(k) = e ^{─l T} . (9.3.2)

 

Важной характеристикой потока является закон распределения длительности промежутка времени между соседними событиями. Рассмотрим случайную величину

t ─ промежуток времени между двумя произвольными соседними событиями в пуассоновском потоке и найдем ее функцию распределения

 

F (t) = P (t < t).

 

Перейдем к вероятности противоположного события

 

1 ─ F (t) = P (t ³ t).

 

Это есть вероятность того, что в промежутке времени длительностью T, начинающемся в момент t_k появления, не появится ни одного из последующих событий. Так как

простейший поток не обладает последействием, то наличие в начале участка (в точке t_k) какого-то события не влияет на вероятность появления тех или других событий в

дальнейшем. Поэтому вероятность P (t ³ t) можно вычислить по формуле (9.3.2)

 

P ₀(k) = e ^{─l t} ,

 

откуда

 

F (t) = 1 ─ e ^{─l t} (t >0) . (9.3.3)

 

Дифференцируя, найдем плотность распределения

 

f (t) = l e ^{─l t} (t >0). (9.3.4)

 

Таким образом, длительность интервала времени между соседними

поступлениями заявок распределена по показательному закону с параметром l.

 

Нестационарный пуассоновский поток

 

Если поток событий нестационарен, то его основной характеристикой является

мгновенная интенсивность l(t). Мгновенной интенсивностью потока называется предел

отношения среднего числа событий, приходящегося на промежуток времени (t, t + D t), к длине этого участка, когда последняя стремится к нулю:

 

l(t) = lim _{D t ®0} (m (t + D t) ─ m (t)) / D t = m ‘ (t),

 

где m (t) ─ математическое ожидание числа событий на участке (0, t).

Рассмотрим поток однородных событий, ординарный и без последействия, но не стационарный, с переменной интенсивностью l(t). Такой поток называется

нестационарным пуассоновским потоком. Можно доказать, что для такого потока число событий, поступающих на участок длительностью T, начинающийся в точке t ₀ , подчиняется закону Пуассона

 

P_m (T, t ₀) = a ^m e ^{─ a} / m! (m = 0,1,2,…),

 

где a ─ математическое ожидание числа событий на участке от t ₀ до t ₀ + T, равное

 

^t ₀ + T

a = ò l(t) dt.

^t ₀

 

Здесь величина a зависит не только от длительности T промежутка времени, но и от его положения на оси времени.

Найдем для нестационарного потока закон распределения промежутка времени t между соседними событиями. Ввиду нестационарности потока этот закон будет зависеть от того, где на оси времени расположено первое из событий. Кроме того, он будет зависеть от вида функции l(t). Предположим, что первое из двух соседних событий появилось в момент t ₀ , и найдем при этом условии функцию распределения времени t между этим событием и последующим:

F (t) = P (t < t) = 1 ─ P (t ³ t).

t ₀

 

Найдем P (t ³ t) ─ вероятность того, что на промежутке времени от t ₀ до t ₀ + t не появится ни одного события:

 

^t ₀ + T

P (t ³ t) = e ^{─ a} = exp(─ ò l(t) dt ),

^t ₀

 

откуда

 

_{t + T}

⁰

F _t (t) = P (t < t) = 1 ─ exp(─ ò l(t) dt ).

^{0 t} ₀