Тема 2.5 Термодинамічні процеси

План

1 Перший закон термодинаміки, формулювання та аналітичний вираз.

2 Основні термодинамічні процеси та алгоритм їх дослідження.

3 Ізохорний процес.

4 Ізобарний процес.

5 Ізотермічний процес.

6 Адіабатний процес.

7 Політропні процеси.

 

1 Нехай 1 кг газу здійснює довільний процес за рахунок теплоти , яка підводиться ззовні, при цьому температура та об’єм газу збільшуються. В результаті підвищення температури й збільшення об’єму газу його внутрішня енергія підвищується. Якщо на початку процесу внутрішня енергія газу дорівнює , а в кінці , тоді повна зміна внутрішньої енергії дорівнює:

. (2.34)

Крім цього, збільшення об’єму газу означає, що він здійснює роботу проти зовнішніх сил, оскільки газ оточений середовищем, тобто роботу розширення .

Якщо в процесі не змінюється зовнішня кінетична енергія газу і в ньому не від-буваються хімічні і будь – які інші зміни, то згідно закону збереження і перетворення енергії для процесу, котрий розглядається, баланс енергії виражається рівнянням

(2.35)

Це рівняння є математичним виразом першого закону термодинаміки для кін-цевого процесу. З рівняння (56) витікає, що в загальному випадку теплота, яка підво-диться, витрачається на зміну внутрішньої енергії і на здійснення зовнішньої роботи (проти зовнішніх сил).

Отриманий вираз першого закону термодинаміки можна надати в наступному вигляді:

, (2.36)

або в диференційній формі

(2.37)

Кожна з величин, котрі входять в рівняння (2.34) - (2.36), може бути позитивною, негативною і рівною нулю. Теплота, яка підводиться до тіла, є позитивною (), а та, що відводиться, - негативною (). Зміна внутрішньої енергії вважається позитивною () при підвищенні температури газу і негативною () при її зменшенні.

 

2 Зміна стану газу характеризується в загальному випадку зміною всіх його основних параметрів , v і Т, при цьому теплота або підводиться, або відводиться від газу. Такі процеси називаються політропними. Найбільш практичний і теоретичний інтерес ма-ють такі процеси, в яких будь–який з основних параметрів не змінюється або процес здійснюється без теплообміну з зовнішнім середовищем. Таких процесів 4:

1) ізохорний (); 3) ізотермічний (;

2) ізобарний (); 4) адіабатний (.

Ці процеси є основними. При вивченні кожного процесу:

а) записують рівняння процесу і будують його графік в - координатах;

б) визначають залежності між параметрами стану газу, котрі змінюються;

в) визначають кількість теплоти, яка підводиться до газу , і зміну його внутрішньої

енергії та ентальпії ;

г) визначають роботу, яка здійснюється газом при розширенні;

д) будують графік процесу в - координатах і визначають зміну ентропії процесу.

Усі процеси розглядаються як рівноважні та оборотні, при дослідженнях застосовують рівняння стану ідеального газу і перший закон термодинаміки.

 

3 а) Ізохорним називають процес, який протікає при постійному об’ємі, його рівняння

.

Графік процесу в - координатах показаний на рисунку 2,5. В цих координа-тах ізохора зображується вертикальною лінією, при нагріванні направленою вгору, при охолодженні – вниз.

 

 

Рисунок 2.5 – Ізохорний процес Рисунок 2.6 – Ізобарний процес

 

б) Залежність між параметрами стану, котрі змінюються в даному процесі, знаходять з рівняння стану:

або (2.38, 2.39)

тобто абсолютний тиск змінюється прямо пропорційно абсолютній температурі. Це означає, що при підведенні теплоти до газу (нагріванні) його абсолютний тиск і абсо-лютна температура підвищуються, при відведенні теплоти (охолодженні) – зменшу-ються.

в) Зміна внутрішньої енергії ідеального газу не залежить від властивостей або характе-ру процесу і може бути визначена:

при постійній теплоємності , (2.40)

при змінній (2.41)

Отримані рівняння зміни внутрішньої енергії (61), (62) дійсні для будь–яких процесів.

Зміна ентальпії визначається:

при постійній теплоємності , (2.42)

при змінній (2.43) У відповідності до властивостей ентальпії можна зауважити, що рівняння (2.42) і (2.43) дійсні для будь–яких процесів в ідеальних газах.

г) При - зміна питомого об’єму не відбувається і робота

або , (2.44)

отже, в цьому процесі робота не здійснюється і тому теплота витрачається повністю на зміну внутрішньої енергії газу:

(2.45)

 

3 а) Процес, який протікає при постійному тиску, називають ізобарним. Рівняння про-

цесу .

Графік процесу в - координатах показаний на рисунку 2. 6 В цих координа-тах ізохора зображується горизонтальною лінією, паралельною осі . б) Залежність між змінними значеннями питомих об’ємів та абсолютних температур відома з закону Гей – Люсака:

. (2.46)

Таким чином, при збільшенні питомого об’єму газу абсолютна температура його підвищується, при зменшенні – знижується.

в) Зміна внутрішньої енергії визначається:

при постійній теплоємності , (2.47)

при змінній (2.48)

а зміна ентальпії:

при постійній теплоємності , (2.49)

при змінній (2.50)

Робота розширення на рисунку 8 зображується заштрихованою площею під ліні-єю 1-2 і визначається по рівнянню:

(2.51)

г) Кількість теплоти, підведеної до газу в ізобарному процесі, можна знайти з першого закону термодинаміки

, (2.52)

звідки мають: при постійній теплоємності

, (2.53)

при змінній теплоємності

(2.54)

 

4 а) Процес, який протікає при постійній температурі ( або , назива-

ється ізотермічним.

У відповідності з рівнянням стану для ідеально-

го газу отримують:

,

тому друге рівняння процесу, яке виражає закон

Бойля – Маріота, має вигляд:

(2.55)

В координатах ізотермічний процес зобра-

жується гіперболічною кривою, тобто лінією,

симетрично розташованою відносно координат-

них осей (рисунок 2.7).

 

Рисунок 2.7 – Ізотермічний процес

б) З рівняння (2.55) витікає:

(2.56)

або , (2.57)

тобто при постійній температурі абсолютний тиск газу змінюється зворотно пропор-ційно питомому об’єму (закон Бойля – Маріота).

в) Зміни внутрішньої енергії та ентальпії ідеального газу залежать тільки від темпера-ратури, тому в ізотермічному процесі

і ;

і .

Тоді у відповідності до першого закону термодинаміки по рівнянню (2.52) отри-мують:

,

тобто в ізотермічному процесі вся теплота, яка надається газу, витрачається повністю на роботу розширення.

г) Знаходять роботу процесу, користуючись рівнянням

(2.58)

Через те що і ,

то (2.59)

 

5 а) Адіабатним називається процес, який здійснюється без теплообміну між газом і зовнішнім середовищем. В такому процесі теплота не підводиться і не відводиться,

тому одним з рівнянь процесу є або .

Друге рівняння процесу має вигляд

, (2.60)

де - показник, який називається коефіцієнтом адіабати. Воно дає аналітичну залежність між змінними параметрами і .

 

 

В - діаграмі адіабата зображується кривою лінією, яка близька до гіперболи,

котра зміщена відносно координатних осей (ри-

сунок 2.8). осей (рисунок 10). б) Записують рівняння між параметрами стану,

які змінюються в даному процесі:

або ; (2.61)

і (2.62)

Рисунок 2.8 – Адіабатний процес

 

в) В адіабатному процесі теплота не підводиться і не відводиться (). Тому робота в цьому процесі здійснюється за рахунок внутрішньої енергії газу, тоді

(2.63)

Але , тому можна записати:

(2.64)

Через те що

і ,

то (2.65)

Теплоємність процесу

.

 

6 Політропним називають будь–який оборотний термодинамічний процес, котрий підпорядковується рівнянню

(2.66)

де показник може мати будь–яке значення від - до + . Для кожного процесу показник - величина постійна. Раніше розглянуті процеси є також політропними, ко-жен з них має певний показник . Дійсно, рівняння приводиться: при

до рівняння ізобарного процесу , при до рівняння ізотермічного , при до рівняння адіабатного процесу . Добуваючи корінь - ої степені з рівняння , приводять його до вигляду , звідки при отримують: , тобто рівняння ізохорного процесу.

З рівняння (81) можна отримати співвідношення між параметрами і для будь – яких довільних станів, які характеризуються точками 1 і 2, політропного процесу, а саме:

(2.67)

або і (2.68,2.69)

Рівняння політропи відрізняються від рівняння адіабати тільки показником степені при . Тому, аби отримати співвідношення між параметрами і , і для політропного процесу, використовуються рівняння (2.61), (2.62). Замінюючи в них показник адіабати на показник політропи , отримують:

і (2.70)

Аналогічно, використовуючи рівняння (2.65) для роботи в адіабатному процесі, отримують рівняння для роботи в політропному процесі, а саме:

, (2.71)

(2.72)

В політропному процесі теплота витрачається на зміну внутрішньої енергії і на роботу розширення

.

Якщо теплоємність політропного процесу , то

, (2.73)

звідки . (2.74)

Після елементарних перетворень отримують вираз для визначення теплоємності політропного процесу через показник степені :

(2.75)

Показник політропи можна знайти розрахунковим шляхом, логарифмуючи співвідношення між будь–якою парою основних параметрів.

 

 

Лекція 9

 

Другий закон термодинаміки. Ентропія. Тs – діаграма. Прямий і зворотний

Цикли Карно

План

1 Другий закон термодинаміки, сутність та основні формулювання.

2 Ентропія як параметр стану робочого тіла.

3 Тs– діаграма.

4 Аналітичне дослідження і графічне зображення термодинамічних процесів в

Тs– діаграмі.

5 Цикл Карно в Тs– діаграмі.

 

1 З позицій І закону ТД припустимі будь-які процеси взаємоперетворення теплоти і ро-боти, якщо вони відбуваються в еквівалентних кількостях. Частина таких процесів мо-же протікати довільно, тобто без усякого зовнішнього впливу: наприклад, перетворен-ня механічної роботи в теплоту тертя, перехід теплоти від гарячих тіл до холодних. Одначе здійснення деяких процесів можливо тільки при виконанні додаткових умов, тобто такі процеси не можуть протікати довільно: наприклад, перехід теплоти від хо-лодних тіл до гарячих повинен супроводжуватися обов’язковою витратою додаткової зовнішньої роботи.

Якщо І закон ТД встановлює еквівалентність теплоти і роботи, то ІІ закон вста-новлює напрямок, в якому відбуваються реальні процеси, і необхідні для їх здійснення умови. Обидва закони відкриті дослідним шляхом. На відміну від першого другий закон ТД суворо справедливий тільки для систем обмежених розмірів, наприклад Зем-лі та її найближчого оточення. На весь Всесвіт ІІ закон ТД не може бути поширений.

Перш ніж сформулювати ІІ закон ТД, згадаємо особливості здійснення колових процесів (циклів). Раніше було встановлено, що в прямих циклах (циклах теплових двигунів) підведена від тепловіддатчика до робочого тіла теплота не може бути пов-ністю перетворена в корисну роботу, бо частина теплоти в кількості обов’язково повинна бути передана від робочого тіла до теплоприймача з більш низькою темпе-ратурою. В зворотних циклах (циклах холодильних машин) відведення теплоти від менш нагрітих тіл (тепловіддатчиків) до більш нагрітих (теплоприймачів) відбувається тільки за умов обов’язкової витрати зовнішньої роботи, яка потім у формі теплоти також передається теплоприймачам.

Таким чином, не можна здійснити такий періодично діючий тепловий двигун, за допомогою котрого можна було б повністю перетворити в роботу всю теплоту, яка надана робочому тілу тепловіддатчиком. Це і є одне з формулювань ІІ закону ТД, який початково був сформульований саме стосовно до закономірностей перетворення теплоти в роботу.

Якщо б вдалося побудувати тепловий двигун, що працює при наявності тільки одного джерела теплоти, тобто врахувати колосальні запаси енергії в навколишніх ті-лах (земна поверхня, вода в морях, океанах і ріках), такий двигун практично міг би працювати безмежно довго. Тому одне з формулювань ІІ закону ТД стверджує, що не-можливо здійснити вічний двигун другого роду, тобто двигун, який перетворює пов-ністю в роботу теплоту, яка отримана від єдиного джерела теплоти.

В зворотних циклах, тобто в циклах холодильних машин, згідно ІІ закону ТД відведення теплоти від менш нагрітих тіл (тепловіддатчиків) до більш нагрітих (тепло-приймачів) можна здійснити тільки за умови обов’язкової витрати зовнішньої роботи, яка потім у вигляді теплоти передається теплоприймачам.

Існують також інші формулювання ІІ закону ТД:

· в коловому процесі теплота, яка підводиться, не може бути повністю перетво-рена в роботу;

· для перетворення теплоти в роботу потрібно мати не тільки нагрівач, але й охо-лоджувач (холодильник) з більш низькою температурою, тобто температурний перепад;

· теплота не може сама по собі переходити від тіл з більш низькою температу-рою до тіл з більш високою температурою.

 

2 Ентропія є шостим параметром стану робочого тіла. Ентропія характеризує напрямок

процесу теплообміну між системою і зовнішнім середовищем.

Для довільної маси газу (кг) ентропія позначається і вимірюється , для 1 кг газу - , тобто в тих же самих одиницях, що й масова теплоємність.

В ТТД визначають лише зміну ентропії . У зв’язку з цим умовно вважають, що при 0 і при будь – якому тиску , як і внутрішня енергія .

Ентропія визначається по формулі

, (2.76)

де - кількість теплоти, яка бере участь в довільному термодинамічному процесі,

; Т – абсолютна температура, К.

Відношення називається приведеною теплотою та уявляє собою якісну характеристику процесу перетворення теплоти.

 

3 Введення поняття ентропії дозволяє застосувати для дослідження термодинамічних процесів нову (замість введеної раніше - діаграмі) прямокутну систему координат

Тs - Тs– діаграму. По вертикальній осі відкладається абсолютна температура Т, а по осі абсцис (горизонтальній) – ентропія s. Цю діаграму ще називають тепловою або ентропійною. В цій діаграміплоща, обмежена зверху кривою, по боках – перпендику-лярами, які опущені з точок початкового і кінцевого стану на ось абсцис та віссю абс-цис виражають кількість теплоти, яка підводиться або відводиться (рисунок 2.9).

За допомогою Т s – діаграми можна визначати теплоємність робочого тіла в

будь – якому процесі в заданому стані і встановити

її знак. Через те, що в рівнянні (2.76) Т завжди пози-

тивна величина, то і мають однакові знаки.

Тобто якщо теплота підводиться до газу (величина

позитивна), то і збільшується, і навпаки.

 

 

Рисунок 2.9 - Тs– діаграма

 

 

На підставі першого закону термодинаміки ()

.

, а , тоді

або (2.77)

(2.78)

(2.79)

4 Термодинамічні процеси газів в Тs – діаграмі.

Ізохорний процес. При з рівняння (98) отримують:

(2.80)

Отже, ізохора зображується логарифмічною кривою,

поверненою випуклістю в бік осі абсцис. Площа під

кривою процесу зображує теплоту, котра підводить-

ся, яка в цьому випадку дорівнює зміні внутрішньої

енергії (рисунок 2.10).

 

Рисунок 2.10 - Ізохорний процес в

Тs– діаграмі

 

Ізобарний процес. При рівняння (2.78) і (2.79) приводяться до вигляду

(2.81)

Таким чином, ізобарний процес в Тs– діаграмі зображується також логарифміч-ною кривою Одначе з рівнянь (2.80) і (2.81) видно, що при одних і тих же значеннях

температур і зміна ентропії в ізобарному процесі буде більше, ніж в ізохорному, бо . Тому ізобара буде більш пологою лінією, ніж ізохора (рисунок 2.11).

 

Ізотермічний процес. Через те що процес протікає при , ізотерма – го-ризонтальна лінія, причому при розширенні – це лінія 1–2, через те що процес протікає з підведенням теплоти, і отже, із збільшенням ентропії; при стисненні - лінія , тобто ентропія зменшується, бо в цьому випадку теплота відводиться (рисунок 2.12).

 

Рисунок 2.11 – Ізобарний процес в Рисунок 2.12 – Ізотермічний процес в

Тs– діаграмі Тs– діаграмі

 

Зміна ентропії в ізотермічному процесі визначається з рівняння

(2.82)

. Адіабатний процес. В адіабатному процесі , тому

і . (2.83)

Отже, оборотний адіабатний процес зобража-

ється вертикальною лінією (рисунок 2.13). Про-

цес стиснення направлений в бік підвищення

температури – вгору, а процес стиснення – вниз,

в бік зниження температури.

 

Рисунок 2.13 – Адіабатний процес в Тs– діаграмі

 

5 Оборотний прямий цикл Карно, який складається з двох ізотерм і двох адіабат, в

Тs– діаграмі зображується прямокутником АВСD (рисунок 2.14) і протікає в інтервалі температур гарячого джерела теплоти і - холодного. Знайдемо термічний ККД циклу за допомогою Тs – діаграми.

На рисунку 2.14 АВ – ізотермічний процес розширення, в якому до газу підво-диться теплота

 

,

CD – ізотермічний процес стиснення, в якому газ віддає теплоту

 

.

 

Вертикальні лінії ВС і DA зображують відповідно адіабатні процеси розширення і стиснення.

Термічний ККД циклу . (2.85)

Таким чином, вираз термічного ККД циклу

Карно тут отримано значно простіше, ніж раніше при

використанні - діаграми.

 

Рисунок 2.14 – Оборотний цикл Карно в Тs– діаграмі

 

 

Лекція 10