Разложение функции в ряд Фурье. Теорема Дирихле.

Ряд Фурье — представление произвольной функции с периодом в виде ряда

Этот ряд может быть также переписан в виде

 

Тригонометрическим рядом Фурье функции называют функциональный ряд вида где

Числа и ()называются коэффициентами Фурье функции . Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, мы хотим представить функцию в виде ряда (1), и нам надо определить неизвестные коэффициенты , и . Если умножить правую часть (1) на и проинтегрировать по промежутку , благодаря ортогональности в правой части все слагаемые обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент . Аналогично для

Ряд (1) сходится к функции в пространстве . Иными словами, если обозначить через частичные суммы ряда (1): то их среднеквадратичное отклонение от функции будет стремиться к нулю:

Теорема Дирихле

Признак Дирихле — теорема, указывающая достаточные условия сходимости несобственных интегралов и суммируемости бесконечных рядов. Названа в честь немецкого математика Лежёна-Дирихле.

 

Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов первого рода:

Пусть выполнены условия:

· и имеет на ограниченную первообразную то есть

· функция

·

 

Тогда сходится.

 

Условие монотонности в признаке Дирихле существенно.

Однако, условие монотонности не является необходимым.

Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа

Ряд , где и последовательность — положительна и монотонна (начиная с некоторого места, хотя бы в широком смысле слова), называется рядом Абелева типа.

 

Теорема (признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа)

 

Пусть выполнены условия:

· Последовательность частичных сумм ограничена, то есть

·

· Тогда ряд сходится.

 

Определение и свойства двойного интеграла.

Определение двойного интеграла

Понятие интеграла может быть расширено на функции двух и большего числа переменных. Рассмотрим, например, функцию двух переменных z = f (x,y). Двойной интеграл от функции f (x,y) обозначается как

 

где R - область интегрирования в плоскости Oxy. Если определенный интеграл от функции одной переменной выражает площадь под кривой f (x) в интервале от x = a до x = b, то двойной интеграл выражает объем под поверхностью z = f (x,y) выше плоскости Oxy в области интегрирования R

 

Формально двойной интеграл можно ввести как предел суммы Римана. Пусть, для простоты, область интегрирования R представляет собой прямоугольник . Используя ряд чисел { x0, x1,..., xm }, разобьем отрезок [a, b] на малые интервалы таким образом, чтобы выполнялось соотношение

Аналогично, пусть множество чисел является разбиением отрезка [c, d] вдоль оси Oy, при котором справедливы неравенства

Суммой Римана функции f (x,y) над разбиением называется выражение

Двойной интеграл от функции f (x,y) в прямоугольной области определяется как предел суммы Римана, при котором максимальные значения Δxi и Δyj стремятся к нулю:

Свойства двойного интеграла:

1.

2.

3.

4. Если в области R, то ;

5. Если в области R и то ;

6. Если на R и области R и S являются непересекающимися,то

Вычисление двойных интегралов.

Замена переменных в двойном интеграле. Полярные координаты.

Одним из частных случаев замены переменных является переход из декартовой в полярную систему координат (рисунок 1).

Рис.1		Рис.2

Якобиан такого преобразования имеет вид

Следовательно, дифференциальный элемент в полярных координатах будет равен

Пусть область интегрирования R в полярных координатах определяется следующим образом (рисунок 2):

Тогда двойной интеграл в полярных координатах описывается формулой

Будем называть полярным прямоугольником область интегрирования, показанную на рисунке 3 и удовлетворяющую условиям

В этом случае формула замены переменных в двойном интеграле имеет вид

Будьте внимательны, чтобы не пропустить сомножитель (якобиан) r в правой части этой формулы!

Рис.3		Рис.4

Пример 1

Вычислить двойной интеграл , преобразовав его в полярные координаты. Область интегрирования R представляет собой сектор круга радиусом .

Решение.

Область R в полярных координатах описывается множеством (рисунок 4). Применяя формулу

получаем

Пример 2

Вычислить интеграл , в котором область интегрирования R представляет собой кольцо, ограниченное окружностями и .

Решение.

В полярных координатах область интегрирования R является полярным прямоугольником (рисунок 5):

Рис.5		Рис.6

Тогда, используя формулу

находим значение интеграла

Пример 3

Найти интеграл , где область интегрирования R ограничена кардиоидой (рисунок 6).

Решение.

Данный интеграл легко решается после перехода к полярным координатам.

Пример 4

Вычислить интеграл в круге .

Решение.

Область интегрирования R показана на рисунке 7.

Рис.7		Рис.8

Преобразуем уравнение окружности следующим образом:

Подставляя , найдем уравнение окружности в полярных координатах.

Образ S области интегрирования R показан на рисунке 8. После перехода к полярным координатам вычисляем двойной интеграл.

Пример 5

Вычислить двойной интеграл посредством преобразования в полярные координаты. Область интегрирования R представляет собой круг .

Решение.

Область интегрирования R представлена на рисунке 9.

Рис.9		Рис.10

Образ S данной области описывается множеством и показан на рисунке 10. Запишем исходный двойной интеграл в полярных координатах.

Вычислим последний интеграл с помощью интегрирования по частям:

Пусть . Тогда . Следовательно,