Глава 4. Рискметрики банка J. P. Morgan

Методы оценки рисков согласно методике J.P.Morgan

В модели SMA (простой взвешенной средней) каждому наблюдению придается одинаковый вес, в EWMA (экспоненциально взвешенной средней), более поздние наблюдения считаются более полезными и имеют более высокий вес.

Дисперсия доходности актива как простая средняя определяется соотношением:

где - доходность актива в период i;

- средняя доходность актива за n периодов;

- число периодов наблюдения

Дисперсия актива как экспоненциально взвешенная средняя определяется соотношением:

где - коэффициент убывания веса доходности актива в i-м периоде

При , согласно модели EWMA, можно выразить следующим образом:

Для определения дисперсии доходности актива для следующего от сегодняшнего дня в Рискметриках используют следующую формулу:

Где – прогноз дисперсии на день t+1, сделанный в день t;

- прогноз дисперсии на день t, сделанный в день t-1;

- фактическая доходность актива в день t;

- коэффициент убывания веса (для расчета однодневной дисперсии в Рискметриках считается, что )

В рамках рискметрик определяют также и ковариации доходностей активов.

Ковариация доходностей активов на основе простой средней будет определяться по следующей формуле:

где – доходности активов X и Y в i-м периоде;

- средняя доходность активов X и Y за период n

Ковариация доходностей активов на основе экспоненциально взвешенной средней будет определяться по следующей формуле:

При , согласно модели EWMA можно определить ковариацию доходностей активов для следующего дня по формуле:

Для определения ковариации доходностей активов для следующего от сегодняшнего дня в рискметриках (для модели EWMA) используют следующую формулу:

где - прогноз ковариации на день t+1, сделанный в день t;

– доходность активов X и Y за день t.

- коэффициент убывания веса (для расчета однодневной ковариации в Рискметриках считается, что )

Для модели EWMA можно прогнозировать значение однодневного коэффициента корреляции, используя формулу:

Задачи с решениями

Задача 1. Данные о доходности акций компании А за предшествующие 5 дней представлены в таблице. Сегодняшний день – день t.

Дни	t	t-1	t-2	t-3	t-4
Доходность,%	-0,2	0,3	-0,1	0,12	0,25

Задание: с помощью модели EWMA сделать прогноз стандартного отклонения доходности акций компании А на следующий день(t+1), используя данные за 5 предшествующих дней.

Решение:

Для решения задачи используем следующие соотношение:

В качестве прогноза за период , возьмем квадрат доходности акции за 5-й день:

Для последующих дней вычисления проводим согласно следующим соотношениям:

Прогноз стандартного отклонения доходности акции для следующего дня равен:

%

P.S. Несмотря на выписанные здесь формулы, автор все же проводил расчеты на компьютере, что рекомендую делать и читателям.

Задача 2. Данные о доходности акций компании X и Y за предшествующие 5 дней представлены в таблице. Сегодняшний день – день t.

Дни	t	t-1	t-2	t-3	t-4
Доходность акции X,%	0,5	0,1	-0,01	0,1	-0,1
Доходность акции Y,%	0,2	-0,1	0,05	-0,2	-0,4

Задание: с помощью модели EWMA сделать прогноз ковариаций доходностей акций компаний X и Y, а также коэффициент корреляции на следующий день(t+1), используя данные за 5 предшествующих дней.

Решение:

Для решения задачи используем следующие соотношение:

В качестве прогноза за период , возьмем произведение доходностей акций X и Y за 5-й день:

Для последующих дней вычисления проводим согласно следующим соотношениям:

 

Задача 3. Для условий предыдущей задачи определить однодневный коэффициент корреляции на следующий день(t+1), используя данные за 5 предшествующих дней

Решение:

Коэффициент корреляции определим, используя известную формулу

 

Чтобы определить необходимые параметры ковариации среднеквадратических отклонений и ковариации, необходимые вычисления были произведены в таблице Exel и результате сведены в таблицу.

Период				интервал
t-4					-0,1	-0,4
t-3	0,01	0,16	0,04	t-3|t-4	0,1	-0,2
t-2	0,0154	0,1384	0,0364	t-2|t-3	-0,01	0,05
t-1	0,013876	0,133096	0,034186	t-1|t-2	0,1	-0,1
t	0,019043	0,11911	0,031535	t|t-1	0,5	0,2
t+1	0,047901	0,123964	0,035643	t+1|t

% %

Теперь осталось подставить полученные значения в формулу и получить результат: