Повторение испытаний. Интегральная теорема Лапласа.

Предположим, что производится n испытаний в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна p (0 < p < 1). Вычислим вероятность того, что событие А появится в n испытаниях не менее k₁ и не более k₂ раз.

 

Теорема _20.9: (интегральная теорема Лапласа) Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событие А появится в n испытаний от k₁ до k₂ раз приближённо равна определённому интегралу:

При решении задач, приближающих использования интегральной теоремы Лапласа пользуются таблицами, т. к. неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции.

 

Таблица содержит значение функции для положительных значений от 0 до 5 и для x=0 и x<0 пользуются той же таблицей учитывая что функция нечётная, т. е. . Для значений x>5 функции придаётся значение 0,5.

 

На практике применяют формулу имеющую вид:

Таким образом вероятность того, что событие А появится n независимых испытаний от k₁ до k₂ раз:

43. Понятие случайной величины. Закон распределения вероятностей ДСВ. П.1Понятие СВ. СВ наз. величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, первоначально неизвестное и завис от случайных причин, которые заранее не могут быть уточнены.

Дискретной (прерывной) наз СВ, которая принимает отдельные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений ДСВ м.б. конечным или бесконечным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.Число их значений бесконечно.

П.2 Закон распред-я вероятностей ДСВ

Законом распределения CВ наз соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями (его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения ДСВ первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая - их вероятности (Табл.1).

Таблица 1

Х х1 х2... х_n

p p1 p2... p_n

Сумма вероятностей второй строки таблицы 1, равна единице:

p1 + p2 +...+ pn = 1.(события образуют полную группу). Если множество возможных значений Х бесконечно, то ряд p1 + p2 +... сходится и его сумма =1.

Для наглядности з-н распределения ДСВ изображают графически, для чего впрямоугольной системе координат строят точки(х_і, р_і), а затем соедіняютих отрезками прямых

44. Функция распределения вероятностей случайной величины. Свойства функции распределения. в отличие от дискретной, непрерывная СВ не может быть задана перечнем всех её возможных значений и их вер-тей.

Возьмём СВ Х, возможные значения которой полностью заполняют интервал (а,в).Составить перечень всех возможных знач. Х нельзя, поэтом необх. Дать общий способ задания любых типов СВ. С этой целью и вводят ф-ции распределения вероятностей СВ.

Пусть х-действительное число. Вер-ть соб., состоящего втом, что Х примет значение, меньше х (вер-ть соб. Х< x) обознач. через F(x). функция F(x) = Fx (x) = P(x < x) называется функцией распределения случайной величины x.Она определяет вер-ть того,что СВХ в рез-те испытания примет значение меньше Х. Геометрически это рав-во можно опред-ть так: F(x) есть вер-ть того, что СВ примет значение, кот. Изображается на числовой оси точкой, дежащей левее точки х.

Свойства функции распределения

1)значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1].

2)F(x2)≥ F(x1), если x2, > x1, т.е. функция распределения вероятностей является неубывающей функцией.

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина X примет значение, заключенное в интервале (α, β), равна приращению функции распределения на этом интервале, т.е.P (α ≤ Х <β) = F(β) – F(α). (9)

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, равна нулю.

Р (Х = х1) = 0.

Таким образом, не имеет смысла говорить о каком – либо конкретном значении случайной величины. Интерес представляет только вероятность попадания случайной величины в какой – либо интервал, что соответствует большинству практических задач.

Заметим, что было бы неправильно думать, что рав-во Р(Х=х₁) означает что событие Х=х1 невозможно.

Действ-но в рез-те испытания СВ обязательно примет одно из возможных значений ровно как и значение х1.

3)Если возможные значения СВХ принадлеж интерв (а, в), то: F(x)=0 при х ≤а и F(x)=0 при в≤х

Следствие.Если возможные значения НСВ расположены на всей оси Ох то справедливо соотношение lim(x→-∞)F(x)=0 и lim(x→+∞)F(x)=1