Вопрос 2. Ограниченная последовательность.

Вопрос 1. Числовая последовательность. Примеры.

Числовая последовательность – функция натурального аргумента: f(n)=x_n

Определение: если по некоторому закону каждом натуральному числу n поставлено в соответствие вполне оптимальное число x_n, то говорят, что задана числовая последовательность { x_n }.

Числа x₁,x_2…,x_n - называются членами последовательности, x_n – общим членом, или n-м членом данной последовательности.

Примеры:

1) 2,4,6..2n,…(монотонная, неограниченная)

2) 1,0,1,0,…(немонотонная, ограниченная)

Вопрос 2. Ограниченная последовательность.

Послед. x_n называется ограниченной, если существуют два числа m,M такие, что x_n находится в пределах m≤ x_n≤M.

-Последовательность {xn} называется ограниченной сверху, если ∃M<+∞ ∀ x_n≤M

-Последовательность {xn} называется ограниченной снизу, если ∃m>-∞ ∀ x_n ≥m.

-Последовательность {xn} называется ограниченной, если она одновременно ограничена и сверху и снизу.

Вопрос 3. Предел числовой последовательности.

Определение: число А называется пределом последовательности { а_n }, если для любого положительного числа ε>0 найдется такой N(номер, зависящий от ε), начиная с которого будет выполняться неравенство: |х _n-а|< ε

Предел числовой последовательности обозначается или а_n→А при n→∞.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а в противном случае – расходящейся.

Смысл определения предела последовательности состоит в том, что для достаточно больших n члены последовательности { а_n } как угодно мало отличаются от числа А..

Последовательность всходящая, если у нее есть предел.

Вопрос 4. Единственность предела сходящейся последовательности.

Теорема: Если последовательность сходится, то у нее существует единственный предел.

Доказательство методом от противного:

Пусть у сходящейся последовательности существует 2 предела.

a ≠ b.

Пусть N = max{ N ₁, N ₂ }, тогда при всех n > N имеем

,

И, поскольку ε является как угодно малым положительным числом, как единственно возможное, имеем

a = b.

Вопрос 5. Ограниченность сходящейся последовательности.

Если последовательность имеет конечный предел, то последовательность ограничена.

Если последовательность сходится, то она ограничена.

Доказательство: пусть последовательность сходится, то есть . Тогда по определению выполняется . Пусть =1, тогда .

Пусть M=max{ }

m=min{ }, тогда .

Значит, по определению последовательность является ограниченной.

Ограниченность последовательности является необходимым условием сходимости, но не является достаточным. Существуют ограниченные последовательности, которые не являются сходящимися.

Например, .

Пусть последовательность ограничена, будет ли она сходящейся? – Ограниченная сходимость следует не всегда.

неограниченная

ограниченная

Вопрос 6. Свойства пределов, связанные с арифметическими действиями (для последовательности)

{x_n;n=1,2…}

{y_n;n=1,2…}

1) x_n ±y_n

2) Cx_n, c- const

3) x_n *y_n

4)

 

 

Вопрос 7. Переход к пределу в неравенствах

Пусть и ; ,

Тогда

Док-во: предложим противное: > < ;

по определению пределов:

(*) <

(**) <

будут выполнены (*) и (**)

< < < < ;т.е

< ,что противоречит условию значит < не верно,а -верно(утверждение теоремы);

Вопрос 8. Теорема о двух милиционерах

 

 

 

тогда

Вопрос 11. Предел функции в точке

Пусть функция y=f(x) задана в некоторой окрестности точки х₀, кроме, может быть, самой точки х₀.

Определение: Число А называется пределом функции f(x) при х стремящемся к х₀ (или в точке х₀), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ε>0, найдется такое положительное число N>0(зависящее от ε, т.е. N(ε)), что для всех х, не равных х₀ и удовлетворяющее условию , выполняется неравенство f(x) –A< ε.

Этот предел функции обозначается или при .

Смысл определения предела функции f(x) в точке х₀ состоит в том, что для всех значений х, достаточно близких к х₀, значение функции f(x) как угодно мало отличается от числа А(по абсолютной величине).

Вопрос 12. Свойства предела, связанного с арифметическими действиями(для функций)

Пусть последовательность x_n и y_n сходящиеся:

, следовательно справдливо:

1)

2)

3)

4) , если (предел частного = частному пределов, если предел y_n отмечен на прямой)

Правило:

При вычислении пределов в произведении одну бесконечно малую величину можно заменять на ей эквивалентную бесконечно малую.

 

Вопрос 17. Непрерывность функции в точке. Различные определения.

Определение 1.

Функция называется непрерывной в точке х₀, если предел при х→х₀ сущствует и равен значению функции в этой точке.

Определение непрерывности функции в точке х₀ может быть записано и так:

т.е. для непрерывной функции возможна перестановка символов предела и функции.

Определение 2.

- приращение функции.

 

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х₀, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

Если ∆х→0, то ∆у→0.

Точка х₀ наз. точкой разрыва функции, если эта функция в данной точке не явл. непрерывн.Различ. точки разрыва 1ого рода(когда существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа при х→х₀, не равные др. др.) и 2ого рода(хотя бы один из односторон. пределов слева или справа равен бесконечности либо не сущ.)

Свойства функций, непрерывных в точке:

1) Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х₀, то их сумма, произведение и частное являются функциями, непрерывными в точке х₀.

2) Если функция y=f(x) непрерывна в точке х₀ и f(x₀)>0, то существует такая окрестность точки х₀, в которой f(x)>0.

3) Если функция y=f(u) непрерывна в точке u₀ , а функция u=g(x) непрерывна в точке u₀=g(x₀), то сложная функция y=f(g(x)) непрерывна в точке х₀

Вопрос 30. Теорема Ролля

Пусть функция f(x) дифференцируема внутри интервала (a;b)- непрерывна на сегменте и на f(a)=f(b) (на концах отрезка принимает равные значения)найдется такая точка, в которой производная равна 0.

f’(c)=0

c ∈ (a;b)

Геометрический смысл теоремы: Найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс; в этой точке производная и будет равняться 0.

Проиллюстрируем эту теорему геометрически:

Найдет такая точка С, в которой касательная будет горизонтальна в этой точке производная равна 0.

Доказательство: Пусть функция f(x) – постоянна х ∈ (a;b), тогда значение производной во всех точках равно 0.

 

f’(x)=0

 

f(x)- не является константой.

f(x)≠f(a)

Пусть f(x)>f(a), значение на концах функции равны

Пусть f(x)>f(a), по условию f(a)=f(b)=>f(x)>f(b)

f’(c)=0

 

 

Теорема Коши.

Пусть f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), тогда справедлива следующая формула:

, где - какая-то точка из интервала (a;b)

Экстремум функции

- в точке х₀ у функции будет max, если в окрестности точки х₀ f(x₀)>f(x)

- и min, если для всех х из окрестности f(x₀)<f(x).

 

 

Вопрос 37. Необходимое и достаточное условие экстремума.

 

-Необходимое условие экстремума:

Пусть в точке х₀ у функции будет экстремум, тогда необходимо, чтобы производная в этой точке была равна 0 или не существовала.

Доказательство:

Для определенности положим, что в точке х, равной х₀, будет максимум, т.е существует такая окрестность этой точки, в которой f(x₀)>f(x).

Тогда функция в точке х=х₀ не может не возрастать, не убывать.

y=x³

y’=3x²

y’(0)=0

 

- Достаточное условие экстремума.

Пусть в точке х₀ производная =0 и в окрестности этой точки меняет знак, тогда в этой точке будет экстремум, а если при переходе через точку х₀ производная меняет свой знак с + на -, то точка х₀ есть точка максимума, а если с – на +, то точка минимума.

 

 

Вопрос 47. Таблица интегралов.

Таблица интегралов проверяется дифференцированием.

Вопрос 60.Числовые ряды

Числовым рядом называется сумма , a_n- общий член ряда.

Признак Коши.

Пусть существует предел , тогда:

1)q<1- ряд сходится

2)q>1-ряд расходится

3)q=1- ничего сказать нельзя(признак не работает)

Доказательство:

Для любого положения числа ε(∀ε>0) мы имеем

1) q<1

т.к. ε – любое число, его можно взять таким, что q+ε=q₁<1

a_n<a₁ⁿ

- это геометрическая прогрессия со знаком <1 => сходится, поэтому по признаку сравнения исходный ряд сходится.

2) q>1

За счет выбора ε можно q-ε>1

q-ε=q₂

q_n>q₂ⁿ – расходится

Признак Даламбера.

Пусть существует , тогда

1)q<1 –ряд сходится

2)q>1-ряд расходится

3) q=1- нужны дополнительные сведения.

Доказательство:

(∀ε>0)

1) q<1, также за счет выбора ε можно q+ε=q<1

a_n+1<a_nq₁<a_n-1q²...<a₁qⁿ

но

- сходится => исходный ряд тоже сходится.

2) q>1 аналогично, как признак Коши.

Признак Лейбница

Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине u₁>u₂>u₃>…>u_n>… и предел его общего члена при n→∞ равен 0, т.е. , то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена: S≤u₁.

и 2b_n 4b_n ↓0

1) строгое знакочередование

b_n→0 n→∞

S_n=ln2

2) Рассмотрим ряд из модулей

- расходится, поэтому сходимость у исходного ряда условная.

Вопрос 1. Числовая последовательность. Примеры.

Числовая последовательность – функция натурального аргумента: f(n)=x_n

Определение: если по некоторому закону каждом натуральному числу n поставлено в соответствие вполне оптимальное число x_n, то говорят, что задана числовая последовательность { x_n }.

Числа x₁,x_2…,x_n - называются членами последовательности, x_n – общим членом, или n-м членом данной последовательности.

Примеры:

1) 2,4,6..2n,…(монотонная, неограниченная)

2) 1,0,1,0,…(немонотонная, ограниченная)

Вопрос 2. Ограниченная последовательность.

Послед. x_n называется ограниченной, если существуют два числа m,M такие, что x_n находится в пределах m≤ x_n≤M.

-Последовательность {xn} называется ограниченной сверху, если ∃M<+∞ ∀ x_n≤M

-Последовательность {xn} называется ограниченной снизу, если ∃m>-∞ ∀ x_n ≥m.

-Последовательность {xn} называется ограниченной, если она одновременно ограничена и сверху и снизу.