Полигон и гистограмма частот

Для наглядности в статистике часто пользуются геометрической интер-претацией статистического распределения выборки, строя, так называемые, полигон и гистограмму частот (или относительных частот).

Для построения полигона частот (или относительных частот) при дискретном распределении признака по оси абсцисс откладывают значения признака х_i, а по оси ординат – частоты n_i (или соответственно относительные частоты W_i). Точки с координатами (x_i, n_i) (или (x_i, W_i)) соединяют отрезками прямых. Полигон частот дает представление о том, насколько часто встречаются те или иные значения исследуемого признака.

Пример. Для распределения

Х
Wi	0,2	0,4	0,3	0,1

полигон относительных частот имеет вид, показанный на рисунке.

Полигон относительных частот – это статистический аналог многоугольника распределения дискретной случайной величины в теории вероят­ностей.

Если исследуемый признак – непрерывная случайная величина, то целесообразно строить гистограмму частот. Для этого интервал, в котором заклю­чены все наблюдавшиеся значения признака, делят на ряд частичных интервалов одинаковой длины ∆. Далее находят n_i - сумму частот значений признака, попавших в i - ый частичный интервал, и строят ступенчатую фигуру из прямоугольников с основанием, равным ∆, и площадью, равной n_i.

Если значения признака совпадают с границей интервала, то их включают в сумму частот значений признака, принадлежащих соседним интервалам с частотами, равными половине частоты этого признака.

Полученный график называется гистограммой частот.

Площадь гистограммы частот равна сумме частот всех наблюдавшихся значений признака, то есть объему выборки.

Гистограмма относительных частот строится точно также, отличаясь от гистограммы частот лишь масштабом по оси ординат, а именно, по оси ординат откладывается плотность относительной частоты . Поэтому площадь i –го прямоугольника будет равна W_i – относительной частоте значений признака, попавших в i – ый интервал, а площадь гистограммы относительных частот будет равна сумме всех W_i, то есть единице.

Число интервалов r гистограммы определяют приближенно по формуле Старджесса для выборки объема n (округляя r до ближайшего целого значения):

Пример. Произведено 100 измерений диаметров валиков, результаты которых представлены в таблице 4.

Таблица 4

15,23	15,37	15,48	15,48	15,43	15,35	15,36	15,40	15,45	15,29
15,48	15,58	15,44	15,56	15,28	15,59	15,47	15,41	15,54	15,20
15,38	15,43	15,35	15,56	15,51	15,47	15,40	15,29	15,20	15,46
15,42	15,44	15,41	15,29	15,48	15,39	15,50	15,38	15,45	15,50
15,45	15,42	15,29	15,53	15,34	15,55	15,33	15,32	15,44	15,46
15,32	15,46	15,32	15,48	15,38	15,43	15,51	15,43	15,60	15,44
15,55	15,29	15,31	15,44	15,43	15,44	15,31	15,58	15,28	15,24
15,34	15,49	15,50	15,38	15,48	15,43	15,37	15,29	15,54	15,33
15,36	15,46	15,23	15,44	15,38	15,27	15,52	15,40	15,26	15,37
15,59	15,48	15,46	15,40	15,24	15,41	15,34	15,43	15,38	15,50

 

Построить гистограммы частот и относительных частот этого распределения.

Как видно из таблицы, наименьшее значение диаметра-15,20 мм, наи-большее-15,60 мм, длина этого промежутка - 0,4 мм. Число частичных интервалов принимаем по правилу Старджесса, равным восьми. Подсчитываем число значений признака, попадавших в каждый интервал. Для построения гистограмм частот (и относительных частот) составим таблицу 5.

Таблица 5

Частичный интервал = 0,05	Сумма частот значений признака в частичном интервале	Плотность частоты		Плотность относительной частоты
15,20-15,25			0,06	1,2
15,25-15,30			0,10	2,0
15,30-15,35			0,11	2,2
15,35-15,40			0,15	3,0
15,40-15,45	22,5		0,225	4,5
15,45-15,50	18,5		0,185	3,7
15,50-15,55			0,09	1,8
15,55-15,60			0,08	1,6
	N= 100

Соответствующие гистограммы изображены на рисунке.

 

При увеличении объема выборочной совокупности гистограмма относительных частот приближается к дифференциальному закону распределения признака в генеральной совокупности, то есть гистограмма относительных частот является статистическим аналогом плотности вероятностей f(x) непрерывной случайной величины.

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Точечные оценки

Любое значение неизвестного параметра, от которого зависит закон распределения случайной величины, вычисленное по опытным данным, всегда является приближенным.

Оценкой параметра и называется в статистике его приближенное случайное значение, вычисленное на основе ограниченного числа опытов. Если оценка параметра характеризуется одним числом, то она называется точечной.

Пусть из генеральной совокупности произведена выборка объема n для изучения некоторого признака Х. Обозначим неизвестный параметр теоретического распределения интересующего нас признака объектов генеральной совокупности через . Требуется по данным выборки найти “подходя­щую” оценку для параметра .

Очевидно, для некоторой другой выборки оценка будет принимать иное значение, то есть - случайная величина, зависящая от данных опытов и их числа n.

Чтобы оценка давала близкое приближение к оцениваемому параметру, она должна удовлетворять определенным требованиям.

1. При увеличении n оценка должна сходиться по вероятности к параметру , то есть должно выполняться равенство

Оценка, обладающая таким свойством, называется состоятельной.

2. Необходимо, чтобы пользуясь вместо , мы не допускали систематической (неслучайной) ошибки в сторону занижения или завышения действительного значения оцениваемого параметра, то есть, чтобы .

Оценка , математическое ожидание которой равна оцениваемому параметру, называется несмещенной.

3. Оценка должна обладать по сравнению с другими возможными оцен­ка­ми наименьшей дисперсией:

Оценка, обладающая таким свойством, называется эффективной.

Ниже рассмотрены повторные и бесповторные выборки и точечные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии, удовлетворяющие указанным требованиям.