Характеристическое уравнение. Корни характеристического уравнения. Постоянные времени. Время переходного процесса.

Характеристическое уравнение имеет вид:

ri+L =E

Lp+r=0

p=-

Для определения вида свободной составляющей необходимо составить и решить характеристическое уравнение: z(p)=0.Для записи характеристического уравнения необходимо нарисовать схему,в которой все источники ЭДС и тока следует заменить на их же внутреннее сопротивление,а сопротивление индуктивности и емкости принять соответственно равным Pl и ,далее необходимо разорвать любую ветвь данной схемы,записать ее исходное сопротивление относительно точек разрыва,прировнять его нулю,решить и определить корни p,если корни получились действительными отрицательными,то своб.составляющая искомой функции:

,где m-количество корней уравнения;

-корни; -постоянные интегрируемые.

Если корни характер.уравнения получились комплексно сопряженными,то своб.сост.будет иметь вид:

где -частота свободных колебаний;

-начальная фаза свободных колебаний.

 

 

8.Время переходного процесса. Определение практически t_пп. Расчет времени переходного процесса.

 

Время переходного процесса зависит от коэфициента затухания .Величина,обратная ,называется постоянной времени и представляет собой время,в течении которого значение свободной составляющей переходного процесса уменьшится в e=2,72 раза. Величина зависит от схемы и параметров.Так для цепи с последовательным соединением r и L = ,а при последовательном соединениии

R и C =Rc.

95% окончания переходного процесс 3 .

Кривые свободных составляющих переходного процесса проще всего построить, задавая времени t значения 0, ,2 …..Если вещественных корней несколько,то результирующая кривая получается путем суммирования ординат отдельных слагаемых (рис.1.)

Рисунок 1:

 

 

 

9.10,Переходный процесс в r, С – цепи при включении на источник постоянного напряжения. Анализ произвести классическим методом; привести аналитические выражения для U_C(t); i_C(t); графики. (Классический метод).

 

Уравнение состояния rC-цепи после коммутации следующее:

(1),или rC (2)

Его решение:

Емкость С после замыкания ключа при t зарядится до установившегося значения .Свободная составляющая

Поскольку начальные условия нулевые,согласно закону коммутации при t=0,или 0=A ,откуда A=-E.

Решение уравнения (2) примет вид:

+E=E(1- )

где =rC

Ток в цепи i(t)=C

Рисунок 1.

 

Рисунок 2.

 

 

 

 

Графики изменения напряжения и тока i(t) приведены на рисунке 1 и 2. Из рисунков видно,что напряжение на конденсаторе возростает по экспоненциальному закону от 0 до E,сила тока же в момент коммутации скачком достигает значения E/r, а затем убывает до нуля.

 

 

11.12.Переходный процесс в r, C – цепи при подключении к источнику синусоидального напряжения. Анализ произвести классическим методом; привести аналитические выражения для U_C(t); i_C(t); графики. (Классический метод).

 

Уравнение состояния rC-цепи в переходном режиме следующее

 

rC .

Решение этого уравнения:

Свободная составляющая

где =rC

Так цепь линейна,то при синусоидальном воздействиии в установившемся режиме напряжение на емкости также будет изменяться по синусоидальному закону с частотой входного воздействия,Поэтому для определения = воспользуемся методом комплексных амплитуд:

;

где = ;

Учитывая, что j= ,получаем:

 

откуда

Постоянную интегрирования А свободной составляющей

 

найдем из начальных условий в цепи с учетом закона коммутации:

.При t=0 последнее выражение имеет вид

0=A+

Откуда A=-

Cложив составляющие и ,получим окончательное выражение для напряжения на емкости в переходном режиме:

= + = - (1)

Анализ выражения (1) показывает, что переходный процесс в rC-цепи при синусоидальном воздействии зависит от начальной фазы ЭДС источника в момент коммутации и от постоянной времени rC-цепи.

Если ,то =0 и в цепи сразу после коммутации наступит установившийся режим,т.е.

= = .

При напряжение =- , т.е. напряжение на емкости сразу после коммутации может достигать почти удвоенного значения положительного знака,а затем постепенно приближаться к = .

Разность фаз приведет уравнение (1) к виду:

= .

Отличие данного режима от предыдущего состоит в том,что напряжение на емкости сразу после коммутации может достичь почти удвоенного значения отрицательного знака.

Для расмотренной Rc-цепи с источником синусоидального тока в установившемся режиме начальная фаза входного напряжения никакой роли не играет, но в переходном процессе ее влияние существенно.

 

 

13.Переходный процесс в r, L, C – цепи при подключении к источнику постоянного напряжения. Периодический процесс. Аналитические выражения для i(t), графики. (Классический метод).

Uc(0-)=Uc

Il(j-)=0

Корни действительные, отрицательные, разные.

I(t)=I_уст+A1e^p1t+A2e^p2t

 

 

Процесс периодический:

t=0 {i(0)=A1+A2; A1=-A2

{

t=0 i_l(0)*r+L +Uc(0)=E A1=-A2= ()

 

i_l(t)= ()

i_l(t)= ()

 

14.Переходный процесс в r, L, C – цепи при подключении к источнику постоянного напряжения. Критический процесс. Аналитические выражения для i(t), графики. (Классический метод).

 

p1=p2=-δ=

i_l(t)=i_уст+(B1+B2*t)*

t=0: i_l(0)=β1=0

 

i_l(t)= ()

Если корни получились действительные, отрицательные, равные, значит процесс критический.

 

15.Переходный процесс в r, L, C – цепи при подключении к источнику постоянного напряжения. Колебательный процесс. Аналитическое выражение для i(t), графики. (Классический метод).

P_t= -δ±j*ω_св ω_св=

Корни отрицательные действительные, частью комплексносопряженные.

i_l(t)=i_устA1e^-δt*sin(ω_свt+ψ)

i_l(t)=i_уст+(M*cos ω_св t+N*sin ω_св t)*

i_l(t)= * = *

 

При δ→0

 

 

16. Переходный процесс в r, L, C – цепи при подключении к источнику синусоидального напряжения. Апериодический процесс. Аналитическое выражение для i(t), графики. (Классический метод).

R(t)=E_max*sin(ωt+ψ)

 

1.Н.Н.У

Uc(0)=Uc

i_l(0)=0

2.

φ=arctg

I_уст=i_max*sin(ωt+ψ-φ)

 

t=0

i_l(t)= i_уст(t)+i_св(t)

при Т_уст<ТАУ

при Т_уст≈ТАУ

при Т_уст>ТАУ

 

 

17.Переходный процесс в r, L, C – цепи при подключении к источнику синусоидального напряжения. Колебательный процесс. Математическое описание i(t), графики. (Классический метод).

R(t)=E_max*sin(ωt+ψ)

 

1.Н.Н.У

Uc(0)=Uc

i_l(0)=0

2.

φ=arctg

I_уст=i_max*sin(ωt+ψ-φ)

 

t=0

i_l(t)= i_уст(t)+i_св(t)

При Т_уст>T_α

При Т_уст≈T_св

При Т_уст<T_св

 

Алгоритм расчета переходных процессов классическим методом. Пример расчета.

В классическом Число уравнений в этом случае равно числу ветвей схемы

методе находится решение в виде суммы общего и частного решения. Расчета переходный процесс описывается системой обыкновенных дифф.уравнений, составленных одним из методов расчета для мгновенных значений функций времени. Решение для каждой переменной этой системы находится в виде суммы общего и частного решения. Для составления уравнения могут быть использованы: метод, основанный на применении законов Кирхгофа, метод узловых потенциалов, метод контурных токов и т.д. Например, система дифференциальных уравнений, составленная после коммутации согласно первому и второму законам Кирхгофа, имеет вид:

Например,

Число уравнений в этом случае равно числу ветвей схемы. Пусть требуется найти ток i_k в ветви с номером К.Исключая последовательно токи ветвей, в результате получим ток i_k и его производные до порядка n:

Порядок дифф.уравнения n определяется количеством независимых реактивных элементов схемы (m). Обычно n=m, но в зависимости от способа соединения может быть и так, что n<m. Это будет, например, в случаях, когда индуктивные и емкостные элементы включены последовательно, или, например, когда емкости соеденениы парал. И имеют одинаковые нач условия(рис9,4):

Последовательно включенные емкостные элементы можно заменить одним элементом, так же как и парал включенные индуктивные элементы можно заменить одним эквивалентным. На рисунке 9.5 показана замена 2х последовательно включенных емкостей одной эквивалентной.

В общем случае порядок диф.уравнения n равен: n=n_lc-n_ce-n_lj, где n_lc-количество реактивных элементов(L и C) в схеме, n_ce- количество емкостных контуров, n_lj-количество индуктивных узлов или сечений.

Под ёмкостным понимается контур, состоящих из емкостных элементов или емкостных элементов и идеальных источников ЭДС, рис 9.6.а.Под индуктивным понимается узел, в который сходятся индуктивные ветви или индуктивные ветви и источники тока(рис. 9.6.б), либо сечения, которые пересекают только индуктивные ветви или индуктивные ветви и источники тока.

Отметим, что этап составления диф.уравнения не явл-ся обязательным и переходный ток или напряжение могут быть найдены без составления ур-ния. Как было указано, в классическом методе расчета переходных процессов решения уравнений представляется виде суммы общего и частного решения.

Частное решение описывает режим, который называется принужденным. Решение однородного уравнения(правая часть равна нулю) описывает процесс при отсутствии внешних ЭДС и источников тока и называется свободным. Соответственно рассматриваются свободные и принужденные токи, напряжения, заряды.

Таким образом, ток в ветви с номером К представляется в виде суммы .