Ймовірність випадкової події. Геометричний та статистичний способи обчислення ймовірностей випадкових подій.

ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

 

Геометричний підхід до обчислення ймовірностей.

Класичне обчислення ймовірності застосовують коли числа і скінченні, а результати випробування рівноможливі. Якщо ж множина елементарних подій нескінченна, тобто займає деяку область , а події сприяє лише її частина , то користуються геометричним означенням ймовірності.

Ймовірність випадкової події дорівнює відношенню міри до міри , тобто

.

Зокрема, в одновимірному координатному просторі ймовірність визначається відношенням довжини відрізків; у двовимірному просторі – відношенням площ плоских фігур; у тривимірному просторі – відношенням об’ємів просторових тіл.

Статистичні ймовірності.

Відносною частотою події називається відношення числа випробувань в яких дана подія відбулась, до числа всіх проведених випробувань, тобто

.

Ймовірність є теоретичною величиною, яка обчислюється до проведення випробування, а відносна частота ‑ величина емпірична, яка обчислюється за результатами проведених випробувань. У дослідах відносна частота коливається навколо деякого сталого числа. Ця властивість відносної частоти називається властивістю стійкості.

Статистичною ймовірністю події називається число, навколо якого групуються відносні частоти цієї події

.

 

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ

 

Задача 1. Щосуботи два катери прибувають до одного причалу з 9-ї до 10-ї год. ранку. Визначити ймовірність того, що катери зустрінуться, якщо час стоянки біля причалу складає 20 хв.

Розв’язання. Розглянемо подію , яка полягає в тому, що катери зустрінуться. Позначимо через час прибуття до причалу першого катера, а через ‑ час прибуття другого катера. Оскільки вони можу прибути протягом години (60 хв.), то і . Отже, простором елементарних подій даного випадкового експерименту можна вважати точки квадрата (рис. 4.1).

Оскільки простір є неперервним, то ймовірність можна обчислити як відношення міри множини елементарних подій, сприятливих для події , до міри множини всіх елементарних подій.

Визначимо відповідну множину точок площини, які сприяють події . Зустріч катерів відбудеться тоді і тільки тоді, коли (різниця між моментами прибуття катерів не перевищує 20 хв.). Це означає, що зустрічі (подія )відповідають точки квадрата, для яких , або , тобто множина точок сприятливих події лежить між прямими і ,утворюючи многокутник . Площа квадрата становить , а площа многокутника рівна . Тоді шукана ймовірність .

 

Задача 2. Всередині еліпса розміщено коло . Знайти ймовірність попадання точки в кільце, обмежене еліпсом і колом (рис. 4.2).

Розв’язання. Нехай подія - попадання точки в кільце. Тоді . . Таким чином, .

Задача 3. По цілі зроблено 24 постріли, з яких було 18 влучень. Яка відносна частота влучень?

Розв’язання. . Таким чином можна зробити висновок, що ймовірність влучень .

 

ЗАВДАННЯ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ РОБОТИ

 

1. Хлопчик чекає телефонного дзвінка від друга протягом години. Знайти ймовірність того, що друг зателефонує йому в перші 10 хв.

2. На прямолінійній ділянці газопроводу завдовжки 80 км відбувся розрив. Яка вірогідність того, що розрив віддалений від обох кінців ділянки на відстань, більшу ніж 30 км?

3. Знайти ймовірність того, що сума двох навмання взятих додатних правильних дробів не більше одиниці, а добуток їх не перевищує .

4. На нескінченну шахову дошку, сторона кожної клітинки якої дорівнює , кидають монету радіуса . Знайти ймовірність того, що монета не перетне сторони клітинки.

5. Відстань між пунктами М і N літак долає за 1 годину, а автомобіль – за 18 годин. Потяг у випадковий час протягом доби вирушає з пункту М до N. Знайти ймовірність того, що черговий літак прибуде до пункту N раніше потяга, якщо між М і N виконується за розкладом один рейс літака щодоби.

6. Два товариші домовились зустрітись в певному місці між 12-ю та 12 год. 40 хв., а також те, що той хто прийде першим, чекатиме іншого впродовж 30 хвилин. Знайти ймовірність того, що зустріч відбудеться, якщо кожний з товаришів, може прийти в будь-який момент часу між 12-ю та 12 год. 40 хв.

7. Два літаки прибувають у зону аеропорту в довільні моменти часу між 17-ю і 18-ю годинами. Посадка літака, що прибув другим, може бути здійснена не раніше ніж через 10 хв. після посадки першого. Знайти ймовірність того, що другому літаку не доведеться чекати посадки.

8. Віконна решітка складається з клітин зі стороною 20см. У грати 100 разів кинули навмання один і той же м'яч. У 50 випадках він пролетів через грати не зачепивши її. Оцініть наближено радіус м'яча.

9. Дослідження показало, що з 1000 потенційних покупців, що зайшли в магазин, дійсно придбало товар 190. Яка відносна частота того, що зайшовши в магазин споживач а) придбає товар б) не придбає товар.

10. Стрілець виробив 100 пострілів по мішені, причому вразив мішень 57 разів. Яка відносна частота того, що стрілець не вразить мішень.

11. Відносна частота появи бракованих виробів на автоматичній строковій лінії складає 0,02. Скільки перевірялося виробів, якщо відомо, що бракованих було 8?

Відповіді. 1. . 2. . 3. . 4. . 5. 0,87. 6. 0,9375. 7. 0,69. 8. 2,93. 9. а) 0,019; б) 0,981. 10. 0,43. 11. 400.

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ

 

1. Всередині прямокутника, обмеженого осями координат і прямими , , навмання вибрано точку. Знайти ймовірність того, що вона лежить нижче лінії .

2. У круг радіуса навмання кинуто точку. Знайти ймовірність того, що вона виявиться всередині вписаного в круг квадрата.

3. Знайти ймовірність того, що навмання вибрана точка правильного трикутника потрапляє в коло, вписане в цей трикутник.

4. Дві особи домовились зустрітись між 14 і 15 годинами. Той, хто прийде першим, чекатиме іншого лише 20 хвилин. Знайти ймовірність того, що зустріч відбудеться, якщо кожна особа може прийти в довільний момент часу між 14 і 15 годинами.

5. Зроблено 20 пострілів по цілі, при цьому виявлено 18 влучень. Знайти відносну частоту влучень.

6. При стрільбі з гвинтівки відносна частота попадання в ціль дорівнює . Знайти число влучень, якщо зроблено 140 пострілів.

Відповіді. 1. . 2. . 3. . 4. 0,56. 5. 0,9. 6. 91.