Передаточное отношение и передаточное число

Важнейшей характеристикой всякого зубчатого механизма является передаточное отношение. Передаточным отношением называется отношение угловых скоростей колес. Передаточное отношение принято обозначать буквой U и снабжать индексами, указывающими номера зубчатых колес, например U₁₂ = ω₁ ⁄ ω₂. Из рассмотрения зубчатой передачи на рис.5.23 следует:

V_A1 = ω₁ r₁ V_A2 = ω₂ r₂ V_A1 = V _A2

Тогда

U₁₂ = ω₁ / ω₂ = r₂ / r₁ = m z₂ / m z₁ = z₂ / z₁ (5.10)

Передаточному отношению присваивается знак +, если входное и выходное колеса вращаются в одном направлении, и знак -, если они вращаются в разном направлении. Для зубчатой передачи внешнего зацепления U₁₂ отрицательно, для внутреннего зацепления – положительно. При передаточном отношении больше единицы имеем редуктор (замедление скорости), при передаточном отношении меньше единицы – мультипликатор (происходит увеличение скорости вращения). В подавляющем большинстве случаев механизмы являются редукторами. Их назначение – уменьшать частоту вращения двигателя до той, которая необходима для нормальной работы исполнительного органа машины. Одновременно с уменьшением частоты вращения повышается крутящий момент. Так как к.п.д. зубчатой передачи очень высок (0.95 – 0.98), то можно считать, что мощности N₁ = N₂, где N₁ = M₁ ω_1, N₂ = M₂ ω₂, отсюда следует, что M₂ = M₁ U₁₂.

Передаточное отношение не следует путать с передаточным числом, под которым понимается отношение угловой скорости большего колеса к угловой скорости меньшего, называемого обычно шестерней. Передаточное число всегда больше единицы и знака не имеет.

Рядовой зубчатой передачей (зубчатым рядом) называется зубчатый механизм, образованный зубчатыми колесами с неподвижными осями. Зубчатый ряд состоит из одной или нескольких зубчатых передач. Рассмотрим механизм на рис. 5.24. Он составлен из трех зубчатых передач, образованных колесами z₁, z₂, z₃, z₄, z₅, z₆. Запишем их передаточные отношения:

U₁₂ = ω₁./ ω₂, U₃₄ = ω₃ / ω_4, U₄₅ = ω₄ / ω_5,

откуда

Ω₂ = ω₁ / U₁₂, ω₄ = ω₃ / U_34, ω₅ = ω₄ / U₄₅

Производя последовательную подстановку выражений для ω₂, ω₄, ω₅, получим

Ω₅ = ω₁ / U₄₅ U₃₄ U₁₂,

откуда

U₁₅ = U₁₂ U₃₄ U₄₅

Полученная формула является частным случаем общего правила, формулируемого следующим образом:

Передаточное отношение рядовой зубчатой передачи равно произведению передаточных отношений входящих в нее зубчатых передач, при этом следует учитывать знаки передаточных отношений составляющих зубчатых передач.

Передаточное отношение также можно выразить через числа зубьев:

U₁₅ = Z₂ Z₄Z₅ / Z₁ Z₂ Z₄ (5.11)

Отсюда следует второе правило:

Передаточное отношение рядовой зубчатой передачи равно дроби, в числителе которой стоят числа зубьев выходных колес, а в знаменателе – входных. Знак берется согласно указанному выше правилу знаков. В формуле колесо Z₄ не влияет на численное значение передаточного отношения, но влияет на знак. Такое колесо называется паразитным

РАСЧЕТ РЯДОВОЙ КОРОБКИ ПЕРЕДАЧ

В качестве примера рассмотрим коробку передач легкового автомобиля, в основе которой рядовой зубчатый механизм (рис. 5.24).

Она состоит из входного вала 1, выходного вала 2 и промежуточного вала 3. На промежуточном валу жестко закреплены колеса с числом зубьев Z₁ = 29, Z₂ = 24, Z₃ = 20, Z₄ = 15, Z₅ = 15, на входном валу – колесо Z₆ = 17. На выходном валу подвижно установлены колеса Z₇ = 24, Z₈ = 27, Z₉ = 33. Для включения передачи 1 рычагом переключения передач передвигается кулачковая муфта М₁ направо так, что она кулачками сцепляется с колесом Z₉. Передвигая муфту влево, включаем передачу II, аналогично посредством муфты М₂ происходит включение передач III IY. При указанных числах зубьев колес рассчитаем передаточные отношения на I II III IY передачах:

U^I = 29 33 / 17 15 = 3.75

U^II ₌ 29 27 / 17 20 = 2.303

U^III = 29 21/ 17 24 = 1.49

U^IY = 1

Вводя в зацепление с колесами Z₅ и Z₁₀ = 34 паразитное колесо Z₁₁, получаем передачу заднего хода с передаточным отношением

U_зх = - 29 34 / 17 15 = - 3.88.

ПЛАНЕТАРНЫЕ ЗУБЧАТЫЕ МЕХАНИЗМЫ

Планетарным называется зубчатый механизм, содержащий колеса с подвижными осями. Планетарные зубчатые механизмы широко распространены в технике, особенно транспортной, так как, обладая большим передаточным отношением, имеют малые габариты и вес. Иногда эти механизмы называют эпициклическими, так как траектории точек колес с подвижными осями при внешнем зацеплении представляют эпициклоиды. Простейший планетарный механизм представлен на рис. 5.25. Колесо 2 с подвижной осью называется сателлитом, центральное колесо 1 – солнечным, звено, несущее ось сателлита, называется водилом, его принято обозначать буквой Н.

Если колесо 1 подвижно, степень подвижности механизма, рассчитанная по формуле Чебышева, равна 2, Если остановить колесо 1, получим механизм с W = 1 (рис. 5.25б) Механизмы, у которых W>1, называются дифференциальными (зубчатыми дифференциальными). Если у планетарного механизма остановить водило, оставив колеса свободными, получим рядовую передачу.

Схема планетарных механизмов могут быть очень разнообразными. Практическое применение нашло, в основном, только несколько схем. Наиболее распространенные схемы представлены на рис. 5.26.

Механизм по схеме а получил название механизма Джеймса, а механизм по схеме в – механизм Давида. Наибольшее распространение получила схема а. Она характеризуется высоким к.п.д., практический диапазон передаточных отношений U = 3 – 8. Механизмы по схемам в и г могут иметь очень большие передаточные отношения, но у них низкий к.п.д. По схеме е выполняются мотор – редукторы, представляющие в одном агрегате двигатель и редуктор. Особенно перспективна схема д, здесь всего два колеса, высокий к.п.д., большое передаточное отношение.

АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕДАТОЧНОГО ОТНОШЕНИЯ И УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ ПЛАНЕТАРНЫХ МЕХАНИЗМОВ

Кинематический расчет планетарных механизмов значительно более сложен, чем рядовых механизмов. Он основан на методе обращения движения. Рассмотрим его на примере механизма на рис. 5.27. Считаем, что заданы числа зубьев колес Z₁, Z₂, Z₃, Z₄, угловая скорость входного колеса ω₁. Требуется определить передаточное отношение U_1н, угловую скорость выходного звена Н и угловую скорость колеса 2.

Сущность метода обращения движения состоит в следующем: придадим стойке механизма скорость вращения водила ω_{н ,} но в противоположном направлении. Тогда водило окажется неподвижным в абсолютной системе отсчета, а остальные звенья приобретут дополнительную скорость – ω_н. Изобразим обращенный механизм рядом на схеме. Механизм с неподвижным водилом является зубчатым рядом, для него справедливы полученные ранее соотношения:

U₁₄^H = (ω₁ - ω_H) / (ω₄ – ω_H) (5.12)

Здесь верхний индекс Н указывает, что параметры относятся к обращенному механизму. Согласно формуле (5.11) имеем:

U₁₄^H = - Z₂ Z₄ / Z₁ Z₃

Из формулы (5.12) после некоторых преобразований следует:

U_1H = ω₁ / ω_H = 1 - U₁₄^H

Полученная формула справедлива для любой схемы планетарного механизма. Она носит название формулы Виллиса.

Если требуется определить передаточное отношение от водила к колесу 1, то, имея в виду, что U_H1 = 1 / U_1H, получим

U_H1 = 1 / (1 - U₁₄^H)

Зная U_1H, можно найти ω_Н: ω_Н = ω₁ / U_1H. Для определения скорости ω2 следует рассмотреть одну ступень планетарного механизма и изобразить соответствующий ей обращенный механизм (рис.5.28). Для обращенного механизма

U₁₂ = (ω₁ – ω_H) / (ω₂ - ω_H)

Отсюда уже не представляет сложности определить ω₂.

5.25 КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ АВТОМОБИЛЬНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА

Рассмотренный метод кинематического исследования применим также к анализу дифференциальных зубчатых механизмов. Одним из наиболее известных является автомобильный дифференциал (рис.5.29). Его назначение – передача движения от карданного вала к колесам автомобиля. Механизм, представленный на рис.5.29, включает главную передачу, образованную коническими колесами Z₁ и Z₂, корпус дифференциала, являющийся в то же время водилом дифференциального механизма, нескольких сателлитов Z₄ и двух центральных колес Z₃ и Z₅, жестко посаженных на полуоси колес.

Применим к этому механизму принцип обращения движения, сообщив ему скорость – ω_Н. На рис. представлен обращенный механизм. Для него можно записать

U₃₅^H = (ω₃ – ω_H) / (ω₅ – ω_H) = Z₅ / Z₃

Поскольку Z₅ = Z₃, U₃₅^H = -1. Знак минус указывает, что колеса Z₃ и Z₅ в обращенном механизме вращаются в противоположном направлении. Произведя подстановку, получим уравнение автомобильного дифференциала:

Ω₃ + ω₅ = 2 ω_Н (5.13)

Произведем анализ формулы (5.13). При движении по прямому участку дороги ω₃ = ω₅ = ω_Н, следовательно, дифференциал как бы жестко связывает полуоси, происходит кинематическая блокировка дифференциала. Совершенно по другому ведет себя дифференциал при движении по закруглению. Внешнее колесо движется с большой угловой скоростью, чем внутренне, но так, что их средняя скорость равна скорости водила. Если бы колеса были связаны жесткой осью, происходило бы пробуксовка одного или обоих колес, ухудшая эксплуатацию автомобиля. В том случае, когда одно колесо свободно пробуксовывает, второе колесе неподвижно. Скорость буксующего колеса равно 2ω_Н. В таких случаях применят механическую блокировку дифференциала.