Понятие функции нескольких переменных

При рассмотрении многих явлений приходится иметь дело с функцией нескольких переменных. Например, площадь треугольника V = xyz – объем прямоугольного параллелепипеда и т.д. Пусть имеется n переменных величин и каждому набору их значений ( из некоторого множества Х соответствует одно определенное значение переменной величины z. Тогда говорят, что задана функция n переменных .

Переменные – независимые переменные (аргументы), z – зависимая переменная – функция. Множество Х – область определения функции.

Будем вести изложение для функции двух переменных (n = 2), при этом практически все понятия и теоремы, сформулированные для n = 2, легко переносятся и на случай n > 2.

Если каждой паре (x, y) значений двух независимых друг от друга переменных x и y из области D соответствует определенное значение величины z, то z – функция двух независимых переменных x, y: z = f (x, y).

Функцию двух переменных можно задать с помощью формулы, аналитически или в виде таблиц (сложно).

Совокупность пар (x, y) значений x и y, при которых определяется z = f(x, y), называется областью определения (существования) этой функции. Окрестностью называется круг, содержащий точку .

Пример: Найти область определения функций: а) z = x + y, б) , .

а) Вся плоскость xoy.

б) Для функции – внутренность круга R = 1 с центром (0; 0).

Для функции – половина плоскости над прямой

Геометрически функция двух переменных определяет поверхность, которая проецируется на xoy в область определения функции.

Линией уровня Z = f(x, y) называется множество точек на плоскости, для которых f (x, y) = С, где С – это уровень.

Непрерывность функции нескольких переменных. Частные производные

Число А называется пределом функции при и (в точке ), если для любого, сколь угодно малого найдется такое, что для всех точек (x, y), отстоящих от точки на расстояние меньшее, чем (т.е. при ), выполняется неравенство . Это обозначают так: .

Функция называется непрерывной в точке , если или или (1).

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области D, называется непрерывной в этой области.

Если условие (1) не выполняется, то точка (х ₀; y ₀) – точка разрыва.

Если функция непрерывна и определена в области D (замкнутой и ограниченной), то в области D есть max и min значения f (x, y).

 

Частные производные

Пусть – непрерывная функция и y = const, а х получил приращение , т.е. x = x + x, тогда называется частным приращением f (x, y) по переменной х, аналогично – называется частным приращением по y.

Полное приращение функции равно

т.к. z_x вычисляется при y = const, то называется частной производной по х, вычисленной в предположении, что y = const.

Частной производной по y называется производная по y, вычисленная в предположении, что x = const:

При определении частных производных сохраняются правила дифференцирования для функций одной переменной.

Пример:

Полный дифференциал функции нескольких переменных

Пустьфункция имеет непрерывные частные производные. Полное приращение функции равно:

(прибавили и вычли f (x, y + y)). К 1 и 2; 3 и 4 слагаемым применим теорему Лагранжа:

, где и

z = x + y , т.к. и непрерывны, то

,где – бесконечно малые величины при и , z = dz + – полное приращение функции равно полному дифференциалу и бесконечно малым величинам высшего порядка малости.

Полный дифференциал – главная линейная часть приращения функции: (dx = x, dy = y).

Пример:

, ^, .

Для функции трех переменных полный дифференциал: .

Пример:

Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях

Пусть дифференцируема в точке но при и , тогда получаем: , где

Пример. Вычислить приближенно (1,03)^3,001.

Введем функцию . Пусть , ,

.

Производная сложной функции

Если z = f (u, v), а u и v являются функциями независимой переменной x: то и z является функцией x. Говорят, что z есть сложная функция аргумента x. Производная . (Аналогично для нескольких переменных).

Если z = f (x, u, v), то z – функция x и .

Пример:

Пример:

Движение точки задано уравнениями: . С какой скоростью возрастает ее расстояние от начала координат?

Ищем , . Тогда получаем, что

Пусть z = f (u, v) и . Пусть все функции имеют частные производные. Вычислим и . Дадим х приращение х, тогда разделим на х и перейдем к пределу: и .

Пример.