Тема 4. Линейное n – мерное векторное пространство. Линейная зависимость и независимость векторов. Ранг матрицы и системы векторов

Множество n-мерных векторов, в котором введены операции сложения и умножения на число, называется

+—n-мерным векторным пространством (R⁽ⁿ⁾)

 

Упорядоченная система из n действительных чисел называется

+—n-мерным вектором

 

Коэффициенты при неизвестных всякого линейного уравнения с n неизвестными образуют

+—n-мерный вектор

 

Суммой векторов и называется вектор

+—

Произведением вектора на число k называется вектор

+—

Скалярным произведением двух векторов и называется действительное число, равное

+—

Длиной вектора или его модулем называется действительное неотрицательное число, равное

+—

Вектор называется линейной комбинацией векторов , если существуют такие числа, , при которых выполняется соотношение

+—

Система векторов (k 2) называется линейно зависимой, если

+—хотя бы один из векторов системы является линейной комбинацией остальных

Система векторов (k 2) является линейно зависимой, если существуют такие числа , не все равные нулю, при которых имеет место равенство

+—

Если соотношение возможно лишь в случае, когда , то система векторов называется

+—линейно независимой

 

Если некоторая подсистема (r £ k) системы векторов линейно зависима, то вся система

+—линейно зависима

 

Всякая система векторов, содержащая два равных вектора, является

+—линейно зависимой

 

Если система векторов линейно независима, то всякая ее подсистема

+—линейно независима

 

Всякая система векторов, содержащая два пропорциональных вектора, является

+—линейно зависимой

 

Если – линейно зависимая система векторов, а (r£n) –

такая ее линейно независимая подсистема векторов, к которой нельзя присоединить ни одного вектора системы, не нарушив линейной независимости, то эта подсистема называется

+—максимальной линейно независимой

 

Всякая система векторов, содержащая нулевой вектор является

+—линейно зависимой

 

Число векторов, входящих в любую максимальную линейно независимую подсистему векторов, называется

+—рангом системы

 

Максимальное число линейно независимых векторов системы равно рангу матрицы , составленной

+—из компонент векторов этой системы

 

Рангом системы векторов называется число векторов, входящих в любую

+—максимальную линейно независимую подсистему

 

Максимальное число линейно независимых строк матрицы равно

+—максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы

 

Любая совокупность n+1 векторов n–мерного векторного пространства

+—линейно зависима

 

Максимальное число линейно независимых строк матрицы

+—рангу этой матрицы

 

Базисом n–мерного векторного пространства называется любая совокупность

+—n линейно независимых векторов этого же пространства

 

Любой вектор n–мерного векторного пространства можно представить как

+—линейную комбинацию векторов базиса

Система называется системой

+—единичных векторов n–мерного векторного пространства

называется

+—длиной вектора

 

Числа , определяющие вектор , называются

+—компонентами вектора

 

Любой вектор n–мерного пространства можно представить как линейную комбинацию векторов базиса

+—единственным образом

 

Рангом матрицы A называется число r такое, что у матрицы существует

+—хотя бы один отличный от нуля минор r–го порядка и равны нулю все миноры более высокого порядка(³r+1)

 

Если r-ранг матрицы А, то отличный от нуля минор r–го порядка называется

+—базисным минором матрицы

 

Какое число линейно независимых векторов системы равен рангу матрицы А, составленной из компонент векторов этой системы?

+—максимальное

 

Максимальное число линейно независимых столбцов матрицы

+—рангу этой матрицы

 

Система векторов называется линейно независимой, если соотношение справедливо лишь в случае, когда

+—

Число векторов, входящих в любую максимальную линейно независимую подсистем векторов, называется

+—рангом системы

 

Указать совокупность векторов n – мерного векторного пространства, которая заведомо является линейно зависимой

+—совокупность n+1 векторов

 

Для линейной независимости системы из n n – мерных векторов необходимо и достаточно, чтобы определитель, составленный из компонент векторов этой системы

+—был отличен от 0

 

Система из пяти 4 – х мерных векторов

+—линейно зависима

 

Если , , то произведение равно +—5

Система векторов , , +—образует базис

Компоненты вектора в базисе , , где , , равны +—(3;-1)

Векторы и равны между собой, если

+—

Векторы образуют

+—линейно зависимую систему

Система векторов

+—образует базис

 

Базисом - мерного пространства является

+—любая группа из линейно независимых векторов

 

Ранг матрицы равен числу ее

+—линейно независимых строк

 

Рангом системы векторов называется число

+—векторов в ее любом базисе

 

Ранг матрицы не изменится, если

+—поменять местами два ее столбца

 

Если все миноры - го порядка матрицы равны 0, то все ее миноры порядка

+—равны 0

 

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных этих уравнений

+—имеет ранг, равный рангу расширенной матрицы

 

Прибавление к одной строке матрицы другой строки, умноженной на некоторое число

+—не меняет ранга матрицы

 

Умножение строки матрицы на некоторое число

+—не меняет ранга матрицы

 

Тема 5. Неотрицательные решения систем линейных уравнений. Симплексные преобразования

Опорными решениями называются

+—неотрицательные базисные решения

 

Если в какой-либо строке таблицы Гаусса свободный член положителен, а все остальные элементы строки отрицательны или равны 0, то

+—система не имеет неотрицательных решений

 

Опорные решения

+—неотрицательны

 

Неотрицательные решения системы линейных уравнений находятся с помощью

+—симплексных преобразований

 

При симплексных преобразованиях свободные члены уравнений должны быть

+—неотрицательными

 

При симплексных преобразованиях за разрешающий столбец выбирается такой, в котором

+—есть хотя бы одно положительное число

 

При симплексных преобразованиях элементы таблицы вычисляются по формулам

+—Жордана-Гаусса

 

При симплексных преобразованиях расчет таблиц продолжается до тех пор, пока

+—система не будет приведена к единичному базису

 

Переход от одного опорного решения к другому осуществляется с помощью

+—симплексных преобразований

 

Количество опорных решений

+—меньше или равно количеству базисных решений

 

При симплексных преобразованиях разрешающий элемент расположен на пересечении

+—разрешающей строки и разрешающего столбца

 

Если правые части уравнений неотрицательны, то после симплексных преобразований они

+—останутся неотрицательными

 

При симплексных преобразованиях число строк таблицы равно

+—рангу системы

 

С помощью симплексных преобразований находятся

+—опорные решения системы уравнений

 

Опорное решение – это

+—базисное неотрицательное решение

 

Разрешающий элемент в симплексных преобразованиях

+—положительный

 

При получении решения системы уравнений с помощью симплексных преобразований количество итерации равно

+—количеству базисных переменных

 

Если при симплексных преобразованиях разрешающий элемент находится в строке с номером и в столбце с номером k, то новые значения правых частей уравнения подсчитываются по формуле

+—

Если при симплексных преобразованиях разрешающий элемент находится в строке с номером и в столбце с номером k, то новое значение вычисляется по формуле

+—

Решения систем линейных уравнений, которые принимают неотрицательные значения называются

+—допустимыми

 

Совокупность всевозможных допустимых решений системы линейных уравнений называется

+—областью допустимых решений

 

Последовательное применение симплексных преобразований позволяют определить все

+—опорные решения системы

 

Указать среди базисных решений опорное

+—

Указать вариант, в котором свободные члены системы уравнений могут являться результатом симплексных преобразований, если до них они были неотрицательными

+—(4, 5, 7, 3)

Какое количество опорных решений не может соответствовать перечисленным ниже числам, если число базисных решений равно десяти

+—11

 

Если все свободные члены системы неотрицательны, то после каких преобразований они останутся неотрицательными

+—симплексных

 

Решения систем линейных уравнений называются допустимыми, если они принимают

+—неотрицательные значения

 

Если система уравнений приведена к единичному базису и при этом ее свободные члены неотрицательны, то соответствующее системе решение является

+—опорным

 

При симплексных преобразованиях в качестве разрешающего уравнения выбирается то уравнение, для которого отношение свободного члена к положительному элементу разрешающего столбца

+—наименьшее

 

Система уравнений приведена к единичному базису. Ее решение является опорным, если свободные члены

+—неотрицательные

 

Указать вариант, в котором свободные члены систем уравнений не могут являться результатом симплексных преобразований, если до них они были неотрицательными

+—(2, -5, 6, -4)

 

При каком преобразовании разрешающий столбец выбирается так, чтобы он имел хотя бы один положительный элемент?

+—при симплексном

 

В качестве какого уравнения выбирается уравнение системы, для которого отношение свободного члена к положительному элементу разрешающего столбца наименьшее

+—разрешающего

 

Если система уравнений приведена к единичному базису и при этом хотя бы один из ее свободных членов отрицательный, то соответствующее системе решение не является

+—опорным

 

Указать среди базисных решение, которое не является опорным

+—

 

Переход от одного опорного решения к другому называется

+—однократным замещением

 

При симплексных преобразованиях разрешающая строка отыскивается по правилу

+—

Если в i – м уравнении системы линейных уравнений все , , то система не имеет

+—неотрицательных решений

 

Симплексные преобразования применяются для отыскании неотрицательных

+—решений системы уравнений

 

Если в i – м уравнении системы линейных уравнений свободный член , то

+—обе части i – ого уравнения надо умножить на (-1) и продолжить поиск опорных решений

 

Если при симплексных преобразованиях разрешающим элементом является , то новые элементы таблицы Гаусса определяются по правилу +—

Если разрешающим элементом в преобразованиях однократного замещения является , то новые элементы в таблице Гаусса определяются по формуле +—

В системе линейных уравнений опорное решение имеет вид +—(0,5,0,2)

 

В системе линейных уравнений известно опорное решение . Опорное решение равно +—(4,3,0)

В системе линейных уравнений опорное решение имеет вид +—(0,0,2,3)

 

В системе линейных уравнений опорное решение имеет вид +—(0,5,0,3)

 

В системе линейных уравнений известно опорное решение . Опорное решение равно +—(4,8,0)

В системе линейных уравнений известно опорное решение . Опорное решение равно +—(0,15,5)

 

Если в системе линейных уравнений с неотрицательными свободными членами после применения симплексного преобразования некоторые свободные члены стали отрицательными, то

+—симплексное преобразование применено неверно

В системе линейных уравнений известно опорное решение и нужно найти второе опорное решение . Тогда равно +—(15,10,5)