Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Понятие функции многих переменных ⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4
Пусть даны множества D R n и I R. Определение 1. Если каждой точке множества D ставится в соответствие единственное число у из I, то говорят, что задана функция n переменных у=f (x 1, …, x n). Множество D называется областью определения функции D(у)=D, множество I называется множеством значений функции I (у)= I. Если зафиксировать любые n -1 переменные, то функция многих переменных превращается в функцию одной переменной. x 2= с 2, x 3= с 3, …, х n= c n; y=f (x 1, c 2, …, c n) - функция одной переменной х 1. Пример. - функция двух переменных, - функция трех переменных. Определение 2. Графиком функции двух переменных z=f(x,y) называется множество точек (х, у, z) 3-мерного пространства, таких, что (х, у) D (z) и z = f (x, y). Любую точку графика можно записать в виде (х, у, f (x, y)). Z 0 Y X Определение 3. Графиком функции n переменных называется n -мерная гиперповерхность в пространстве R n +1, точки которой имеют вид (х1, х2, …, хn, f(x1, х2, …, xn)). Определение 4. Линией уровня функции двух переменных называется линия на плоскости XOY, принадлежащая D (z), в каждой точке которой функция принимает одно и то же значение. Уравнение линии уровня: f(x, y) = c, где с - произвольное число. На данной линии уровня значение функции z=c. Линий уровня бесконечно много, и через каждую точку области определения можно провести линию уровня. Пример. z(x,y) = , D(z) = R 2\{(1,1)}. Y Z=1/9 Z=1 Z=4 1 Z=9 0 1 X c =1, , z=1. c =4, , z=4. c =9, , z=9. Используя линии уровня, можно построить график функции.
Z 0 Y X Определение 5. Поверхностью уровня функции n переменных y=f(х 1, х 2, …, х n ) называется гиперповерхность в пространстве R n, входящая в D (у), в каждой точке которой значение функции одно и то же. Уравнение поверхности уровня f(х 1, х 2, …, х n )=с. На поверхности уровня значение функции постоянно: у=с. Непрерывность функции Многих переменных
Рассмотрим функцию двух переменных n=2; z=f(x,y). Возьмем точку (х 0 ,у 0 ) D(у) R 2. Дадим аргументу х в данной точке приращение , зафиксировав у 0. Выражение z=f(x0+ ,y0) - f(x0,y0) называется частным приращением функции по переменной х. Аналогично, фиксируя х 0 и давая аргументу у приращение , мы получим частное приращение по переменной у. z=f(x0,y0+ ) - f(x0, y0). Выражение z=f(x0+ , y0 + ) - f (x0, y0)
называется полным приращением функции. Определение 1. Функция z=f(x, y) называется непрерывной в точке (x 0, y 0) D (у), если она определена в этой точке и малым приращениям аргументов соответствует малое полное приращение функции. . Определение 2. Функция z=f(x, y) называется непрерывной на множестве А D (z), если она непрерывна в каждой точке этого множества. Частные производные функции Многих переменных
Рассмотрим функцию двух переменных n=2; z=f(x,y). Определение. Частной производной функции z=f(x,y) в точке(x 0, y 0) D (у) по соответствующей переменной называется предел отношения частного приращения функции по этой переменной к приращению этой переменной, когда приращение переменнойстремится к нулю (если этот предел существует и конечен). , . При введении частной производной по любой переменной остальные переменные были фиксированы. Данное определение совпадает с определением производной функции одной переменной. Следовательно, частную производную можно найти, зафиксировав все переменные, кроме одной, считая их постоянными. Производная находится как производная функции одной переменной, т.е. . Все правила и формулы, справедливые для производной функции одной переменной, остаются справедливыми и для частных производных. Пример 1.
Пример 2.
Полный дифференциал
Определение. Полным дифференциалом функции многих переменных называется главная линейная относительно приращений аргументов часть малого полного приращения функции. Рассмотрим функцию двух переменных n=2; z=f(x,y). Если приращение функции можно представить в виде , где - бесконечно малые функции при , соответственно, то выражение называется полным дифференциалом функции двух переменных. Теорема. Полный дифференциал равен сумме попарных произведений частных производных на дифференциалы соответствующих переменных. . Пример. .
Производная по направлению
Рассмотрим функцию двух переменных n=2; z=f(x, y). Под направлением мы будем понимать любой вектор на плоскости. Y b a X 0 Определение 1. Направляющими косинусами данного направления называются косинусы углов, которые данное направление образуют с положительными направлениями осей координат. Направляющие косинусы данного направления - .
Направляющие косинусы любого направления в любом пространстве обладают следующим свойством: сумма квадратов направляющих косинусов равна единице. . На плоскости имеем . . Если рассмотреть вектор , координатами которого являются направляющие косинусы данного направления, то этот вектор сонаправлен с вектором и имеет единичную длину. Пусть даны точка и направление . Переместим точку М 0 вдоль направления на величину D l в точку М 1. Тогда функция и аргумент получат соответствующие приращения. Y M 1 B b D y D l a M 0 A Dx X 0
Функция получит приращение, которое называется приращением функции в данном направлении: , Из треугольника М0 М1 А: . Из треугольника М0 М1 В: . . Определение 2. Предел отношения приращения функции в данном направлении к приращению направления, когда приращение направления стремится к нулю, называется производной функции в данном направлении (если этот предел существует и конечен); . Если направление совпадает с направлением оси ОХ, топроизводная по направлению совпадает с частной производной по переменной х. Аналогично производная по направлению оси ОУ совпадает с частной производной по переменной у. Теорема. Производная по направлению равна сумме попарных произведений частных производных в данной точке на направляющие косинусы данного направления. . Пример. Найти производную функции в точке М (1, 2) в направлении (4, -3).
.
|
|||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-25; просмотров: 149; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.135.222.253 (0.027 с.) |