Вопрос 12. Особенности поведения квантовых объектов в сравнении с классическими. Корпускулярно-волновой дуализм. Принцип неопределенности.

Рассмотрим три опыта: пули, волны и электроны.

1. Пули. Этот опыт хорошо описывается классической физикой. При движении действие измеряется S>> . Пуля - это объект, локализованный в пространстве.

График p₁(x) хар-ризует вероятность того, что пуля, прошедшая через 1 при закрытом 2, попадет в т. х. р₂(x) – 2 открыто, 1 закрыто. Т.к. пуля проходит либо через 1, либо через 2, то вероятности альтернатив должны складываться. Вероят-ть того, что пуля, прошедшая либо через 1, либо через 2, попадет в т. х 2-го экрана равна сумме вероятностей того, что пуля пройдет через 1 и через 2 отверстие.

2. Волны. S>> Волны не локализованы в пространстве.

В отличие от пули, при открытом 1 волны достигают всех точек экрана 2.

 

 

I – интенсивность – поверхностная плотность энергии волны, т.е. энергия волны отнесенная к единице площади.

 

I~A² (A-амплитуда волны). Куда волны приходят в фазе, там max I, куда в противофазе, там min I. I₁₊₂=I₁+I₂+2(√I₁•I₂)•cos δ, где δ – разность фаз волн от второй и первой щели. Интерференция – сложение колебаний двух и более волн, причем I₁₊₂≠I₁+I₂.

3. Электроны (ё). S ~ . ё – квантовые, неделимые объекты.

 

Если ё как-то проходит через первый экран и попадает во 2 экран, то он попадёт в какую-то определенную точку.

р₁₊₂=р₁+р₂+2(√р₁•р₂) •cos δ р₁₊₂≠р₁+р₂

У ё наблюдается корпускулярно-волновой дуализм. Он не частица и не волна. Корпускулярно-волновой дуализм – это антиномия.

Гейзенберг (Heisenberg): ∆x – неопределённость измерения координаты квантового объекта; ∆p_x – неопределённость измерения соответствующей проекции импульса на ось х. ∆x•∆p_x ~ . Это означает, что нельзя одновременно измерить координату х и соответствующую проекцию импульса на ось х квантового объекта точно.

1) ∆x à 0 (точно измеряем координату), тогда ∆p_xà ∞ (~h/ ∆x)

Дельта-функция Дирака везде равна 0, а в т. Хо она равна ∞.

Если мы точно определим координату квантового объекта, то мы не сможем определить его скорость. То есть, это «частица».

2) ∆p_xà 0 (точно измеряем скорость), тогда ∆x à ∞. Если мы точно определим скорость квантового объекта, то мы не сможем определить его координату. То есть, это «волна».

3) ∆x = конечной величине, тогда ∆p_x= h/ ∆x=конечной величине≠0.

Это волновой пакет. Мы наблюдаем неопределённость длины волны.

То есть, мы не можем одновременно измерить координату и скорость квантового объекта.

 

 

БИЛЕТ 11

Неевклидовы геометрии и физика

Математика пользуется особым уважением, потому что ее теоремы абсолютно верны и неоспоримы, тогда как законы других наук в известной степени спорны. Положения математики покоятся не на реальных объектах, а исключительно на объектах нашего воображения. Математика является тем, что дает точным наукам известную меру уверенности; без математики они ее не могли бы достичь. Возникает вопрос: Почему возможно такое превосходное соответствие математики с реальными предметами, если сама она является произведением только человеческой мысли, не связанной ни с каким опытом? Ответ на этот вопрос таков: если теоремы математики прилагаются к отражению реального мира, они не точны; они точны до тех пор, пока они не ссылаются на действительность. Прогресс, достигнутый направлением математики «аксиоматикой», заключается в том, что она четко разграничила логически-формальное от его объективного или наглядного содержания. Согласно аксиоматическому подходу, только логически-формальное составляет предмет математики; но наглядное или какое-либо другое содержание математики, не связанное с логически-формальным, не имеет отношения к математике. Аксиомы прежде всего определяют объекты, которыерассматриваются в геометрии.

Под точкой, прямой и т.д. в аксиоматической геометрии следует понимать только лишенные

содержания понятия. То, что дает им содержание, лежит вне математики.

Геометрия означает «измерение земли». Измерение же земли имеет дело с возможными расположениями различных тел природе, таких как части самого земного шара, измерительные ленты, измерительные стержни и т.д. Ясно, что из системы понятий аксиоматической геометрии нельзя получить никаких суждений о таких реально существующих предметах, которые мы называем практически твердыми телами. Твердые тела ведут себя в смысле различных возможностей взаимного расположения, как

тела эвклидовой геометрии трех измерений; таким образом, теоремы эвклидовой геометрии содержат в себе утверждения, определяющие поведение практически твердых тел. Дополненная таким утверждением геометрия становится, очевидно, естественной наукой; мы можем рассматривать ее фактически как самую древнюю ветвь физики. Ее утверждения покоятся

существенным образом на выводах из опыта, а не только на логических заключениях.

Вопрос о том, является ли практическая геометрия эвклидовой или нет, приобретает совершенно ясный смысл: ответ на него может дать только опыт. Всякие измерения длины в физике составляют предмет практической геометрии, если при этом исходить из того опытного закона, что свет распространяется по прямой линии, и именно по прямой в смысле практической геометрии. В системе отсчета, которая вращается относительно некоторой инерциальной системы, законы расположения твердых тел не соответствуют правилам эвклидовой геометрии вследствие лоренцова сокращения; таким образом,

допуская равноправное существование не инерциальных систем, мы должны отказаться от

эвклидовой геометрии. Если же отвлечься от связи между телом аксиоматической эвклидовой геометрии и реальным практически твердым телом, то мы легко приходим к точке зрения мыслителя Анри Пуанкаре: эвклидова геометрия отличается от всевозможных мыслимых аксиоматических геометрий своей простотой. А так как аксиоматическая геометрия сама по себе никаких высказываний о реальной действительности не содержит и может это делать лишь совместно с физическими законами, то представлялось бы возможным и разумным придерживаться эвклидовой геометрии, какими бы свойствами ни обладала действительность. Если же обнаружено противоречие между теорией и опытом, то легче согласиться с изменением физических законов, чем с изменением аксиоматической эвклидовой геометрией. Пуанкаре и другие исследователи отклоняли напрашивающуюся эквивалентность практически твердого тела из реального опыта и геометрического тела потому, что реальные твердые тела в природе при ближайшем рассмотрении оказываются совсем не твердыми, потому что их геометрическое поведение, т.е. их возможное взаимное расположение, зависит от температуры, внешних сил и т.п. Тем самым первоначальная непосредственная связь между геометрией и физической реальностью оказывается уничтоженной. Поведение реальных вещей описывает только геометрия вместе с совокупностью физических законов. Такое воззрение Пуанкаре с принципиальной точки зрения совершенно правильно.

А насчет возражения, что в природе нет абсолютно твердых тел, всякая практическая геометрия основывается на одном доступном опыту принципе.

Если два отрезка в какой-то момент времени и в каком-то месте оказались равными, то они будут равны всегда и везде. Предположение об отрезках должно также выполпяться для промежутков времени, измеряемых часами. Если двое идеальных часов в какой-нибудь момент времени и в каком-нибудь месте идут совершенно одинаково, то они всегда будут иметь одинаковый ход, независимо от тего, где и когда их будут сравнивать.

В смысле практической геометрии особенно важным представляется вопрос о том, является мир пространственно конечным или нет.Согласно общей теории относительности, существует две возможности:

1. Мир пространственно бесконечен, если в мировом пространстве средняя пространственная плотность материн, сосредоточенной в звездах, исчезаюше мала.

2. Мир пространственно конечен, если уществует некоторая средняя плотность весомой материи во Вселенной, отличная от нуля. Лучше было бы сказать, что пространство бесконечно относительно
практически твердых дел, предполагая, что законы их расположения определяются эвклидовой геометрией.

Другим примером бесконечного континуума является плоскость. На плоскости мы можем так укладывать квадраты из картона, что каждая сторона любого квадрата прилегает к стороне другого квадрата, соседнего с ним. Построение никогда не будет закончено; всегда можно продолжать укладывать новые квадраты, если только законы расположения их соответствуют законам расположения плоских фигур в эвклидовой геометрии. Таким образом, плоскость бесконечна относительно картонных квадратов.

Представляется вероятным, что наше трехмерное пространство является приблизительно сферическим, т.е. что законы расположения в нем твердых тел определяются не эвклидовой геометрией, а приближенно описываются сферической геометрией, если только рассматривать области достаточно большой протяженности.

Пусть К - сферическая поверхность, касающаяся в точке S плоскости Е, показанной для удобства на рисунке в виде небольшого куска поверхности. Пусть, далее, L - диск на сферической поверхности. Представим теперь, что на поверхности сферы в точке N, расположенной диаметрально противоположно точке S, помешен точечный источник света, так что диск отбрасывает тень на плоскость Е. Каждой точке на сфере соответствует тень на плоскости. Если диск на сфере К движется, то его тень L* также движется. Когда диск L находится в точке S, то он почти точно совпадает со своей тенью. Если он движется по сферической поверхности от точки S вверх, то тень L* на плоскости удаляется от точки S, причем эта тень будет становиться все больше и больше. При приближении кружка L к светящейся точке N, тень удаляется в бесконечность и становится бесконечно большой. Теперь поставим вопрос: каковы законы расположения теней L* диска на плоскости Е? Очевидно, они совершенно такие же, как и законы расположения дисков L* на сферической поверхности. В самом деле, каждой фигуре на сфере К соответствует теневая фигура на плоскости Е. Если два диска на К касаются, то их тени на Е также касаются. Геометрия теневых фигур на плоскости согласуется с геометрией дисков на сфере. Если мы назовем тени дисков жесткими фигурами, то по отношению к ним на плоскости Е выполняется сферическая геометрия.