Механический смысл второй производной

Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону s=s(t), где s – путь, проходимый точкой за время t. Тогда скорость vэтого движения есть v= s'(t) = v(t), т.е. тоже некоторая функция времени.

В момент времени t скорость имеет значение v=v(t). Рассмотрим другой момент времени t+Δt. Ему соответствует значение скорости v1 = v(t+Δt). Следовательно, приращению времени Δt соответствует приращение скорости Δv= v1 – v = v(t + Δt) – v(t). Отношение

называется средним ускорением за промежуток времени Δt.

Ускорением в данный момент времени t называется предел среднего ускорения при Δt→0:

 

.

Таким образом, ускорение прямолинейного движения точки есть производная скорости по времени. Но как мы уже видели, скорость есть производная пути s по времени t: v = s'. Учитывая это, имеем:

a = v'(t) = (s')' = s''(t),

т.е. ускорение прямолинейного движения точки равно 2-й производной пути по времени

a = S''(t).

43. Дифференциалы. Геометрический смысл дифференциала. Свойства дифференциала.

Дифференциалы

Для функций

Дифференциал функции в точке может быть определён как линейная функция

где обозначает производную в точке .

Таким образом есть функция двух аргументов .

Дифференциал может быть определён напрямую, т.е., без привлечения определения производной как функция линейно зависящая от и для которой верно следующее соотношение

Для отображений

Дифференциалом отображения в точке называют линейны оператор такой, что выполняется условие

Геометрический смысл дифференциала

Дифференциал функции f (x) в точке x ₀ равен приращению, которое получает ордината касательной к кривой y = f (x) с абсциссой в точке x ₀ при переходе из точки касания в точку с абсциссой x ₀+Δ x.

 

 

Свойства дифференциала

Дифференциал функции обладает свойствами, аналогичными свойствам производной.

1. Дифференциал постоянной равен нулю:
dc = 0, с = const.

2. Дифференциал суммы дифференцируемых функций равен сумме дифференциалов слагаемых:

d(u+v)=du + dv

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются постоянным слагаемым, то их дифференциалы равны

d(u+c) = du (c= const).

3. Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен произведению первой функции на дифференциал второй плюс произведение второй на дифференциал первой:

d(uv) = udv + vdu.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала

d(cu) = cdu (с = const).

4. Дифференциал частного u/v двух дифференцируемых функций и = и(х) и v = v(x) определяется формулой

5. Свойство независимости вида дифференциала от выбора независимой переменной (инвариантность формы дифференциала): дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента независимого от того, является ли этот аргумент независимой переменной или функцией другой независимой переменной.

44. Основные теоремы дифференциального исчисления (теорема Ферма, теорема Ролля, теорема Лагранжа).

Теорема Ферма

Теорема утверждает, что:

Для любого натурального числа уравнение не имеет натуральных решений , и .

Теорема Ролля

(Теорема Ролля) Пусть функция f (x)

1. непрерывна на отрезке [ a, b ];
2. дифференцируема в интервале (a, b);
3. на концах отрезка [ a, b ] принимает равные значения.

Тогда существует точка c О (a, b) такая, что f '(c) = 0.

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 118.

Геометрическая интерпретация теоремы Ролля

Из теоремы Ролля следует, что существует точка с О (a, b), в которой касательная к графику функции f (x) параллельна оси О X (рис. 1).

Теорема Лагранжа

(Теорема Лагранжа) Пусть функция f (x)

1. непрерывна на отрезке [ a, b ];
2. дифференцируема в интервале (a, b).

Тогда существует точка с О (a, b) такая, что

 

f (b) − f (a) = f '(c) · (b − a).

(1)

 

Формула (1) называется формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 119.