Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Обратная функция. Композиция функции
Определение: Функция называется обратной к , если и каждому элементу она сопоставляет такое, что . Итак по определению имеем, что
Если график обратной функции рассматривать в том же множестве , то и поменяются ролями. График обратной функции с аргументом и значением симметричен графику прямой функции, относительно биссектрисы первой и третей четверти.
Обратимость Функции Определение: Функция называется обратимой, если обратная функция однозначна.
Геометрическим признаком однозначности функции является то, что прямые перпендикулярные оси пересекают её график не более чем в одной точке. Поэтому признак однозначности обратной функции и признак обратимости прямой функции это то, что прямые перпендикулярные оси пересекаются не более чем в одной точке.
Композиция функции , , такую функцию называют композицией функции и обозначают или
Пример:
Основные элементарные функции
Постоянная функция: Степенная функция: а) б) в) г) д) при учитывается, что Показательная функция: Логарифмическая функция: Тригонометрические функции: Обратные тригонометрические функции: а) Разобьём весь график на промежутки монотонности ... выберем в качестве основного промежутка и отобразим обратную функцию на этом промежутке, обозначим - радианная мера угла, которого равен , взятому из - называется главным значением функции б) в)
Классификация функций
Элементарные функции – это функции получающиеся из основных элементарных, с помощью конечного числа последовательно выполненных арифметических операций и композиций В классе элементарных функций выделяют алгебраические и трансцендентные
Алгебраические а) Многочлен или целая рациональная функция. При её образовании используются действия: «+», «-», «» б) Рациональные или дробно-рациональные функции. При их образовании используются действия: «+», «-», «», «:» в) Иррациональные. При их образовании используются действия: «+», «-», «», «:», «»
Все остальные функции не являющиеся алгебраическими являются трансцендентными
Предел функции.
Окрестности.
10. Пусть >0, R.
Определение1. окрестностью точки x0 называется отрезок вида (x0- ; x0+ ), где x0 R.
Определение2. окрестностью точки + (- ) называется интервал вида (;+ ] ([- ; ))
Определение3. Окрестность точки x0 называется любое численное множество, содержащее некоторую окрестность этой точки U(x0).
Ясно, что любая окрестность является окрестностью этой точки.
20. Свойства окрестностей. 1) x0 x0 U(x0) 2) Пересечение 2-х окрестностей точки снова является окрестностью этой точки. 3) Доказательство. x0 R; U1(x0) и U2(x0) U (x0) U1(x0) U (x0) U2(x0) U (x0) U (x0) =: U (x0), Где =min{ ; } (U (x0) U (x0)) (U1(x0) U2(x0))
4) Свойство отделимости. Если x1, x2 , x1 x2 U(x1) и U(x2): U(x1) U(x2)=Ø Доказательство. x1, x2 R, пусть x1<x2
: x1< <x2 U (x1) U (x2) = Ø
Определение 4. Система (множество) окрестностей точки x0 (Ų) (элементы системы являются окрестности) называется фундаментальной, если U(x0) U Ų: U< U(x0)
Пример1. U:= { U (x0)}; x0 R, >0 система фундаментальная
Пример2. x0 R, {U (x0)} = {x0- , x0 + } U1(x0) U (x0) U (x0)…
5) x0 фундаментальная система вложенных окрестностей (пример2).
Предельная точка множества.
Рассматриваем E R
Определение. a называется предельной для множества E если в U(a) x0 E: x0 a
Множество всех предельных для E точек будет называться E’: x0 E’
В любой окрестности предельной точки множества E содержится бесконечное число точек из E
Доказательство: U(x0), x0 E’ Допустим, что в окрестности есть конечное число точек из E неравных x0. По свойству 3 у нас U'(x0): x1 U'(x0), U2(x0): x2 U2(x0), Uk(x0): xk Uk(x0); U*(x0) = U'(x0) U2(x0) … Uk(x0)
Получается, что U*(x0) не содержит ни одной из точек x1, x2,…, xk U(x0) U*(x0) Из того, что U*(x0) не содержится ни одной из точек x1, x2,…, xk x0 не является предельной для множества E. Получается противоречие конечного числа точек не может быть.
Определение предела.
10. 1) f(x)=x+1, x R, f(3)=4. x→3 f(x)→4 2) f(x)= x→0 f(x)→
Определение. Под пределом функции понимается число P функции f(x) при x→x0, если значение функции становится как угодно близким к P, лишь только x из области определения становится достаточно близким к x0.
20. Определение (основное определение предела). Пусть f: X→Y, E X, x0 E (x0 является предельной для E) Число p называется пределом функции f(x) при x→x0 на множестве E, если U(p) U(x0): x U(x0) E f(x) U(p); p ; p=lim f(x) x→ x0,E
Геометрическая интерпретация а)
- проколотая окрестность
30. Определение предела на языке -, - окрестностей.
Определение. Число з называется пределом функции f(x) при x→x0 на множестве E, если U (p) U (x0): x (x0) f(x) U (p)
Пример: y U (p)
|y-p| <
p=+ , y U (p)
y>
Осуществляется перевод с языка окрестностей на язык неравенств можно дать определение предела через неравенства для конкретных вариантов.
x0 R, p R p=lim f(x) >0 >0: x→ x0,E
|x- x0| < |f(x) – p| < где x E, x x0
Общие свойства пределов.
10. Свойство 1. Пусть f(x) C R limC = C x→ x0, x0 R
Свойство 2. Единственность предела.
Пределом функции f(x) при x→x0 единственен.
Доказательство. (от обратного) Пусть p1=lim f(x) U(p1) U'(x0): x U'(x0) f(x) U(p1) x→ x0,E и пусть p2=lim f(x) U(p2) U2(x0): x U2(x0) f(x) U(p2) x→ x0,E где x E Выберем U(p1) U(p2) = Ø Если возьмем x f(x) , чего быть не может. =Ø =Ø
20. Сужение функции.
Определение. Пусть f: X→Y; функция : X1→Y называется сужением функции f на множестве X1 если X1 X; (x) f(x) для x X1
Свойство 3.
Если 1) lim f(x) = p; x→ x0,E 2) - сужение f на E1 3) x0 E lim (x) = p x→ x0,E1
Доказательство: По определению предела: Тогда x x0 : x→ x0,E1
30. Связь между пределами функции на множестве и на его частях.
Свойство 4. Пусть lim f(x) = p, E1 E; x→ x0,E x0 E тогда lim f(x) = p x→ x0,E1 Доказательство следует из предыдущего свойства.
Свойство 5. Пусть U (x0) – фиксированная окрестность, а f: E→R, тогда из lim f(x) = p x→ x0,E U'(x0) следует, что lim f(x) = p x→ x0,E Доказательство: U(p) U2(x0): x E f(x) U(p) x U(x0) E Свойство 6. Пусть E = E1 U E2, x0 E E Тогда lim f(x) lim f(x) и lim f(x) и равенству между собой всех трёх x→ x0,E x→ x0,E1 x→ x0,E2
пределов.
40. Ограниченная функция.
Определение 1. f: E→R. Функция f называется ограниченной сверху (снизу, просто ограниченной), если множество её значений ограничено сверху (снизу, просто).
Например: y = (0;+ ) – ограниченно снизу [1; + ) – просто ограниченно
Определение 2. Функция называется ограниченной сверху (снизу, вообще на E) при x→ x0 , если U(x0): функция ограниченна сверху (снизу, просто) на E U(x0).
Свойство 7. Если существует конечный предел lim f(x) =: p, x→ x0,E то функция f ограниченна при x→ x0 на множестве E. x→ x0,E f(x) U (p) |f(x) – p|< p - < f(x) < p + , а это значит, что значение функции ограниченно.
50. Предел последовательности.
Определение. Число p называется пределом xn при n→ + , если U(p) Ń(номер) N такой что n > Ń xn U(p)
Например: xn = → 0 при n→ + U (0) Ń: n > Ń xn U (0), т.е. | xn | < | | < n >
Определение. Последовательность называется сходящейся если она имеет конечный предел.
Свойство 8. Всякая сходящаяся последовательность ограниченна. Доказательство. lim xn =:p R (явл. конечной) n→ +
По свойству 7 xn - ограниченна при n→ + . Это значит, что Ń и числа a,b R: n > Ń a xn b
A = min{x1,x2,…xn, a} B = max{b, x1,x2,…xn} n N A xn B
60. Предел сложной функции.
Свойство 9. Пусть: 1) f: E R→R, g: G f(E\{x0})→R (исключая x0)
2) lim f(x) =:y и lim (y) =:p x→ x0,E y→ y0,G
3) y0 f(E\{ x0}), то g(y0) = p lim g(f(x)) = p (5) x→ x0,E
(5) lim g(f(x)) = lim g(y) (5’) x→ x0,E y→ lim f(x) x→ x0,E
Доказательство. Возьмем U(). По условию 2)2 U(y0): y (y0) G g(y) U(p). (6) (7) По условию 2)1 выбрали окрестность y0 U(x0): x (x0) E f(x) U(y0) (8) (9) Возьмем x (x0) E и рассмотрим f(x) y f(x) (10) возможные варианты: 1) y y0 ; 2) Так как y0 (y0) f(E\{x0}), то по условию (3) g(y0)=p g(y) U(p)
Итак, в любом случае (y) U(p), g(y)=g(f(x)) Рассмотрим пример, показывающий что при несоблюдении свойства 9 условия 3 формулы (5) может привести к ошибке f(x)=y0; g(y)= limg(f(x))= \\g(y0)=0\\ =0 x→ x0 Вычислим формально по формуле (5) (5) lim g(f(x)) = lim g(y) = y0 = 1 x→ x0,E y→ lim f(x) x→ x0,E
Ошибка заключается в том, что не выполнено условие 3 свойства 9 т.к. y0 является значением функции при x R, между тем g(y0)=0
Следствие 1. Пусть lim f(x) =:p, то для последовательности xn (xn x0, xn E): lim xn= x0 (xn→ x0) x→ x0,E n→ lim f(xn) = p n→
Доказательство. xn=x(n); lim f(x(n)) lim f(x) = p; n→ x→ lim f(xn)
Условие 3 свойства 9 выполнено, т.к. предел внутренней функции не является не является ее значением.
Следствие 2. lim f(x) =:p, то для xn→ x0 при любом выборе значений функции yn f(xn) x→ x0,E n→ lim yn = p n→
Доказательство. yn = y(n) является сужением функции f(xn) она имеет тот же предел, что и f(xn) (по свойству 3)
Следствия 1 и 2 часто используют для доказательства отсутствия пределов.
Пример: Рассмотрим функцию y=sin Рассмотрим lim sin -? x→0
1) xn = → 0 при n→ lim sin = lim sin( +2 n) = 1 n→ n→
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-16; просмотров: 544; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.17.150.89 (0.376 с.) |