Показатели относительного рассеивания

Для характеристики меры колеблемости изучаемого признака исчисляются показатели колеблемости в относительных величинах. Они позволяют сравнивать характер рассеивания в различных распределениях (различные единицы наблюдения одного и того же признака в двух совокупностях, при различных значениях средних, при сравнении разноименных совокупностей). Расчет показателей меры относительного рассеивания осуществляют как отношение абсолютного показателя рассеивания к средней арифметической, умноженное на 100%.

1. Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг общей средней.

2. Относительное линейное отклонение характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений (модуль отклонений) от средней величины.

3. Коэффициент вариации - отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической, применяется для сравнения вариаций различных признаков, используется как характеристика однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.

Пример расчета абсолютных и относительных показателей вариации:

Распределение КФХ области по урожайности зерновых культур

Группы хозяйств по урожайности (ц/га)	Середина интервала	Число хозяйств	Расчетные значения
Xi	ƒi	Xi ƒi	|Хi-Хср|	|Хi - Хср|*ƒi	(Χi-Χср)^2	(Χi-Χср)^2*ƒi
9,1-15	12,1		24,20	12,44	24,87	154,641	309,28
15,1-21,1	18,1		561,1	6,44	199,50	41,415	1283,88
21,1-27,1	24,1		1301,40	0,44	23,52	0,190	10,24
27,1-33,1	30,1		903,00	5,56	166,94	30,964	928,92
> 33,1	36,1		252,7	11,56	80,95	133,738	936,17
Всего	X		3042,40	36,44	495,77	360,948	3468,48
Средние	X	X	24,54	X	4,00		27,97

 

Вопрос 25 Асимметрия, эксцесс

Любое реальное распределение можно изобразить схематически в виде кривой, воспроизводящей основные особенности данного распределения. Под кривой распределения понимается графическое изображение в виде непрерывной линии изменения частот, функционально связанных с изменением вариант.

Элементами распределения являются:

варианта

частота

В зависимости от вида кривых, изображающих распределение, выделяют несколько основных типов распределения:

одновершинные

многовершинные

К одновершинным относятся те, в которых один, обычно центральный вариант, имеет наибольшую частоту (плотность распределения). Частоты же остальных вариантов убывают по мере удаления от центрального.

Если частоты убывают слева и справа от центрального значения одинаково, то такие распределения называются симметричными.

Если частоты убывают слева и справа от центра распределения с разной скоростью, то такие распределения называют асимметричными.

Многовершинные распределения – это распределения, в которых несколько центров, т. е. такие, у которых несколько максимумов частот.

Для однородных совокупностей, как правило, характерны одновершинные распределения.

Многовершинность распределения свидетельствует о неоднородности изучаемого явления. В этом случае необходимо произвести перегруппировку данных с целью выделения более однородных групп.

Выяснение общего характера распределения предполагает, наряду с оценкой его однородности, вычисление показателей асимметрии и эксцесса.

Кривые распределения бывают:

симметричными

асимметричными.

В зависимости от того, какая ветвь кривой распределения вытянута, различают:

правостороннюю асимметрию

левостороннюю асимметрию.

Для характеристики степени асимметрии двух или нескольких рядов пользуются коэффициентом асимметрии.

Для одновершинных распределений:

Более точным является коэффициент асимметрии, рассчитанный как отношение центрального момента третьего порядка (μ³) к среднеквадратическому отклонению в 3-й степени (Ϭ³):

1. Для симметричного распределения:

Соответственно, в симметричном распределении центральный момент 3-го порядка равен нулю (μ³=0), т. е. алгебраическая сумма отклонений отдельных значений признака (вариант), расположенных слева и справа от средней, равна нулю. График симметричного распределения симметричен относительно точки максимума.

Для несимметричных распределений центральные моменты нечетного порядка отличны от нуля:

2. Асимметрия положительна (A_s>0), если длинная часть кривой распределения расположена справа от моды (М_о). В этом случае соотношение между средней, медианой и модой нарушено:

3. Асимметрия отрицательна (A_s<0), если длинная часть кривой распределения расположена слева от моды (М_о).

A_s< 0.25 – слабая асимметрия

A_s= 0.25-0.5 – умеренная асимметрия

A_s> 0.5 – крайне асимметричное распределение

Для оценки «крутизны» (островершинности) распределения пользуются характеристикой – эксцессом.

Коэффициент эксцесса:

1. Для нормального распределения:

2. Выше нормального (островершинное распределение):

3. Ниже нормального (плосковершинное распределение):

Распределение объемов молока по жирности

1. Определим средний % жирности всего объема молока по средней арифметической взвешенной:

2. Определим среднеквадратическое отклонение взвешенное:

3. Определим моду. Модальным интервалом будет интервал с наибольшей частотой. Это интервал 3,4-3,6, на который приходится 780 ц молока.

4. Определим медиану. Медианным интервалом является интервал 3,4-3,6, т. к. он первый, на который приходится более 50% суммы накопленных частот.

5. Коэффициент асимметрии:

6. Коэффициент эксцесса:

Данное распределение плосковершинное (E_x=-0.5999<0), со слабо выраженной правосторонней асимметрией (A_s: 0 < 0.0629 < 0.25).