Средние индексы из индивидуальных

 

Общие индексы могут быть рассчитаны не только как агрегатные, но и как средние из индивидуальных или групповых. Если агрегатный индекс нельзя вычислить, тогда его заменяет средний индекс, тождественный агрегатному.

Общий индекс по своему смыслу является средней величиной из индивидуальных индексов. При этом возникает вопрос, какую форму средней и какие веса в ней следует применить. Форму средней и систему весов выбирают на основании общего правила: агрегатный индекс это основная форма экономического индекса. Отсюда следует, что средний из индивидуальных индексов должен быть тождественен исходному агрегатному или средний индекс является преобразованной формой агрегатного индекса.

В статистической практике средние индексы рассчитываются преимущественно в форме среднего арифметического и среднего гармонического индексов:

и

- индивидуальные индексы,

- веса соответственно в среднем арифметическом и среднем гармоническом индексе.

Индекс физического объема

Индекс физического объема может быть преобразован в средний арифметический индекс. При этом должно соблюдаться тождество:

; i , отсюда q₁=i∙q₀.

Заменим q₁ на произведение (i∙q₀) в формуле агрегатного индекса и получим

.

В таком виде агрегатный индекс физического объема услуг есть средняя арифметическая из индивидуальных индексов, взвешенных по стоимости услуг базисного года (q₀p₀).

Аналогично, определяя веса среднегармонического индекса физического объема, необходимо помнить о соблюдении условия:

Тогда, выражая продукцию базисного периода как , осуществляем замену в знаменателе агрегатного индекса физического объема. В результате получаем общий индекс физического объема в форме среднего гармонического индекса:

=

Такое преобразование наглядно показывает тождество между агрегатным индексом и средним арифметическим и средним гармоническим индексами физического объема.

При решении конкретных задач выбор той или иной формы среднего индекса определяется прежде всего тем, какие имеются исходные данные.

 

Индекс цен

Средние арифметические и средние гармонические индексы являются модификациями агрегатных индексов, т.е. применительно к индексам цен должны соблюдаться следующие равенства:

А) по Ласпейресу:

- весами служит стоимость отдельных видов продукции базисного периода,

- весами служит стоимость отдельных видов продукции базисного периода в отчетных ценах.

б) по Пааше

- весами служит стоимость отдельных видов продукции отчетного периода.

Т.о. значения среднего арифметического и среднего гармонического индексов цен будут совпадать тогда, когда их веса определены из тождества одной и той же агрегатной формуле (по Ласпейресу или Пааше).

Однако средние индексы по Ласпейресу не тождественны одноименным средним индексам по Пааше, как не тождественны и сами агрегатные индексы цен Ласпейреса и Пааше. Поэтому при расчете общего индекса как среднего из индивидуальных необходимо указывать, модификацией какого агрегатного индекса является используемый средний индекс, т.к. это определяет его веса.

 

 

Индексы переменного и постоянного составов.

Индекс структурных сдвигов

При изучении качественных показателей часто приходится рассматривать изменение во времени (или пространстве) с р е д н е й величины индексируемых показателей для определенной совокупности. Нарпимер, регулярно публикуются данные о динамике средних цен на определенные продукты, средней номинальной заработной плате в отдельных отраслях экономики и т.д.

Будучи сводной характеристикой качественного показателя, средняя величина складывается как под влиянием значений показателя у индивидуальных элементов (единиц), из которых состоит объект, так и под влиянием соотношения их весов («структуры» объекта).

Важно определить, в какой мере динамика изучаемых социально-экономических явлений и процессов обусловлена структурными сдвигами. Данная задача решается с помощью построения системы взаимосвязанных индексов переменного состава, постоянного состава и влияния структурных сдвигов.

В этой системе динамика среднего показателя (индекс переменного состава) представляет собой произведение двух индексов: индекса среднего показателя в неизменной структуре (индекса постоянного состава) и индекса среднего показателя, отражающего изменения структуры совокупности (индекса структурных сдвигов):

I_пер = I_пост ∙ I _стр.

Индекс переменного состава среднего показателя вычисляется как отношение двух средних арифметических взвешенных величин, относящихся к отчетному и базисному периодам, и отражает влияние двух факторов: изменения индексируемой величины в неизменной структуре (с постоянными весами) и изменения структуры.

Чтобы выявить раздельное влияние этих факторов на динамику среднего показателя, произведем следующее преобразование в условных обозначениях, принятых для средней:

I_x ,

где х₁, х₀ – групповые средние в отчетном и базисном периодах; f₁, f₀ – численность единиц совокупности или вес каждой группы в отчетном и базисном периодах.

В данной схеме первое соотношение представляет собой индекс переменного состава I_пер, второе – индекс постоянного состава I_пост, третье – индекс структурных сдвигов I_стр. Эта общая схема построения системы взаимосвязанных индексов переменного, постоянного состава и структурных сдвигов.

Индекс постоянного состава отражает динамику среднего показателя только за счет изменения индексируемой величины, при фиксировании весов на уровне, как правило, отчетного периода.

При этом следует отметить, что индекс постоянного состава представляет собой агрегатный индекс:

I_пост .

Индекс постоянного состава исключает влияние изменения структуры совокупности на динамику средних величин.

Индекс структурных сдвигов отражает динамику среднего показателя только за счет изменения весов при фиксации индексируемой величины на уровне базисного периода.

Если от абсолютных весов перейти к относительным весам,

формулы рассматриваемых индексов примут следующий вид:

, ,

Рассмотренные нами агрегатные индексы цен I_p, себестоимости I_c – это и есть индексы в неизменной структуре или постоянного состава.

Следует учесть, что агрегатный индекс цен, себестоимости для разнородной продукции (услуг) нельзя называть индексом переменного состава.

Индексы постоянного состава и влияния структурных сдвигов выполняют аналитические функции, при их построении используются различные системы взвешивания: первый строится с весами отчетного периода, второй с весами базисного периода (весами в индексе структурных сдвигов являются уровни осредняемого показателя).

 

Цепные и базисные индексы

 

Если известны данные за несколько периодов (больше двух), по ним может быть построен ряд (система) индексов: либо с постоянной для всех базой сравнения, либо с переменной.

Ряд индексов, каждый из которых рассчитан по отношению к предыдущему периоду, называют цепными индексами, а ряд индексов с постоянной базой сравнения – базисными.

В индексе фигурируют веса (соизмерители). Эти веса могут быть одними и теми же для всех периодов ряда динамики или постоянными, а могут быть индивидуальными для каждого периода, т.е. переменными. Рассчитанные на основе таких рядов базисные или цепные индексы соответственно называются индексами с постоянными или переменными весами.

Ряд базисных индексов физического объема с постоянными весами может быть представлен следующим образом:

, ,

Ряд цепных индексов физического объема с постоянными весами имеет вид

, ,

Индексы физического объема строятся обычно на основе цен базисного периода, а точнее, неизменных цен, которые действуют в течение ряда лет. Поэтому ряд базисных и цепных индексов объема услуг имеет в качестве постоянных весов неизменные цены.

Использование в качестве весов неизменных цен позволяет сопоставлять физические объемы продукции или услуг за ряд лет.

Вычисляя цепные индексы физического объема, можно было поступить по-другому: для каждого периода строить индекс физического объема, принимая в качестве весов цены предыдущего периода:

, ,

Данные индексы являются индексами физического объема с переменными весами.

Аналогично можно записать в двух вариантах и агрегатные индексы цен.

Цепные индексы цен:

А) с п о с т о я н н ы м и весами (базисного года)

, ,

б) с п е р е м е н н ы м и весами (текущего периода)

, ,

 

Цепные индексы качественных показателей строятся обычно с переменными весами.

Для индексов динамики с постоянными весами сохраняется взаимосвязь между цепными и базисными индексами (по аналогии с цепными и базисными темпами роста): произведение цепных индексов дает базисный:

· =

Перемножение же цепных индексов с переменными весами не дает базисного индекса, т.е. математически такого равенства не будет