Энергетические состояния квантовой системы. Населенности квантовых уровней

Важнейшим свойством квантовых систем (ансамбль атомов, молекул) является то, что их внутренняя энергия может принимать только дискретные значения E₁,E₂,..E_nу определяемые решениями соответствующих уравнений Шредингера. Совокупность возможных для данной квантовой системы энергетических уровней называется энергетическим спектром. На диаграмме энергетических уровней энергию выражают в Джоулях, обратных сантиметрах или электрон-вольтах. Состояние с наименьшей энергией, являющееся наиболее устойчивым, называют основным. Все другие состояния, которым соответствует большая энергия, называются возбужденными.

В общем случае можно представить, что несколько различных возбужденных состояний характеризуются одним и тем же значением внутренней энергии. В этом случае говорят, что состояния вырождены, а степень вырождения (или статистический вес уровня g_i.) равна числу состояний.

Рассмотрим макросистему, состоящую из N₀ тождественных слабовзаимодействующих микросистем (атомов), обладающих определенным спектром энергетических уровней. Такой макросистемой является ак­тивная среда лазера.

Число атомов в единице объема, находящихся на данном энергетическом уровне i, называется населенностью этого уровня N_i. Распределение населенностей по уровням в условиях термодинамического равновесия подчиняется статистике Больцмана:

(1.11)

где Т – абсолютная температура, k – постоянная Больцмана, g_i – кратность вырождения уровня, , где Е_i- энергия i –го квантового уровня. Из (1.11) следует, что , т.е. сумма населенностей всех энергетических уровней равна количеству частиц N₀ в рассматриваемом ансамбле.

В соответствии с (1.11) в основном состоянии с энергией Е₁ при термодинамическом равновесии находится наибольшее количество атомов, а населенности верхних уровней уменьшаются с ростом энергии уровня (рис.1.1). Отношение населенностей двух уровней в равновесном состоянии дается формулой: (1.12)

Для простых невырожденных уровней g₁= g₂=1 и формула (1.12) принимает вид: (1.12а)

Рис.1.1 Распределение населенностей энергетических уровней в условиях термодинамического равновесия.

 

Мгновенный, скачкообразный переход с уровня Е_i на уровень Е_j называется квантовым переходом. При Е_i > Е_j квантовая система отдает энергию, равную (E_i-E_j), а при Е_i < Е_j - поглощает ее. Квантовый переход с испусканием или поглощением фотона называется оптическим. Энергия испущенного (поглощенного) фотона определяется соотношением Бора:

hn_ij= Е_i - Е_j (1.13)

 

1.3 Элементарные процессы взаимодействия
оптического излучения с веществом

 

Рассмотрим более подробно квантовые переходы, которые могут происходить между двумя произвольно выбранными энергетическими уровнями, например 1 и 2 (рис.1.2), которым соответствует энергии E₁ и E₂­ и населенности N₁ и N₂.

N2

а) б) в)

N2

N2

E2

E2

E2

 

 

Рис. 1.2. Квантовые переходы в двухуровневой системе.

 

Возможны три типа оптических переходов: спонтанные, вынужденные с поглощением и вынужденные с излучением.

Введем для этих вероятностных процессов количественные характеристики, как это впервые было сделано А. Эйнштейном.

Спонтанные переходы

Если атом (или молекула) находится в состоянии 2 в момент времени t=0, то существует конечная вероятность того, что он перейдет в состояние 1, испустив при этом квант света (фотон) с энергией hn₂₁=(E₂-E₁) (рис.1.2а). Этот процесс, происходящий без взаимодействия с полем излучения, называется спонтанным переходом, а соответствующее излучение – спонтанным излучением. Вероятность спонтанных переходов пропорциональна времени, т.е. (dw₂₁)_сп=A₂₁dt, (1.14)

где А₂₁ – коэффициент Эйнштейна для спонтанного излучения и определяет вероятность перехода в единицу времени, [A₂₁]=1/c.

Предположим, что в момент времени t населенность уровня 2 составляет величину N₂. Скорость перехода этих атомов на нижний уровень вследствие спонтанного излучения пропорциональна вероятности перехода А₂₁ и населенности уровня, с которого происходит переход, т.е.

(dN₂/dt)_сп=-A₂₁N_2. (1.15)

Из квантовой механики следует, что спонтанные переходы происходят из данного состояния только в состояния, лежащие по энергии ниже, т.е. из состояния 1 в состояние 2 спонтанных переходов нет.

Вынужденные переходы

 

Рассмотрим взаимодействие группы идентичных атомов с полем излучения, плотность энергии которого распределена равномерно по частотам вблизи частоты перехода. При воздействии на атом электромагнитного излучения резонансной частоты (n=ν₂₁=(E₂-E₁)/h) существует конечная вероятность того, что атом перейдет из состояния 1 на верхний уровень 2, поглощая при этом квант электромагнитного поля (фотон) с энергией hn (рис.1.2б).

Разность энергий (E₂-E₁) необходимая для того, чтобы атом совершал такой переход, берется из энергии падающей волны. В этом заключается процесс поглощения, который можно описать с помощью скоростного уравнения (dN₁/dt)_п=W₁₂N₁=r_nB₁₂N₁, (1.16)

где N₁ – населенность уровня 1, W₁₂=r_vB₁₂ – вероятность поглощения в единицу времени, r_v – спектральная объемная плотность энергии падающего излучения, В₁₂ – коэффициент Эйнштейна для поглощения.

Используется также другое выражение для вероятности W₁₂ в виде:

W₁₂=s₁₂F, (1.17)

где F – плотность потока падающих фотонов, s₁₂ – величина, называемая сечением поглощения, [s₁₂]= м².

Предположим теперь, что атом первоначально находится на верхнем уровне 2 и на вещество падает волна с частотой n=n₂₁. Тогда существует конечная вероятность того, что эта волна инициирует переход атома с уровня 2 на уровень 1. При этом разность энергий (E₂-E₁) выделится в виде электромагнитной волны, которая добавится к энергии падающей волны. Это и есть явление вынужденного (индуцированного) излучения.

Процесс вынужденного излучения можно описать с помощью скоростного уравнения: (dN₂/dt)_вын=W₂₁N₂=r_nB₂₁N₂, (1.18)

где N₂ – населенность уровня 2, W₂₁=r_vB₂₁ – вероятность вынужденного перехода в единицу времени, B₂₁- коэффициент Эйнштейнадлявынужденного перехода. И в этом случае для вероятности перехода справедливо соотношение: W₂₁=s₂₁F, (1.19)

где s₂₁ – сечение вынужденного излучения для перехода 2→1.

Между процессами спонтанного и вынужденного излучения имеется принципиальное отличие. Вероятности индуцированных переходов пропорциональны спектральной объемной плотности электромагнитного поля, а спонтанных от внешнего поля не зависят. В случае спонтанного излучения атом испускает электромагнитную волну, фаза которой не имеет определенной связи с фазой волны, излученной другим атомом. Более того, испущенная волна может иметь любое направление распространения.

В случае же вынужденного излучения, поскольку процесс инициируется падающей волной, излучение любого атома добавляется к этой волне в той же фазе. Падающая волна определяет также поляризацию и направление распространения испущенной волны. Таким образом, с ростом числа вынужденных переходов интенсивность волны возрастает, в то время как ее частота, фаза, поляризация и направление распространения остаются неизменными. Другими словами, в процессе вынужденных переходов из состояния E₂ в состояние E₁ происходит когерентное усиление электромагнитного излучения на частоте n₂₁=(E₂-E₁)/h. Разумеется, при этом происходят и обратные переходы E₁®E₂ с поглощением электромагнитного излучения.

 

Спонтанное излучение

Интегрируя выражение (1.15) по времени с начальным условием N₂(t=0)=N₂₀ получим: N₂(t)=N₂₀exp(-A₂₁t). (1.20)

Мощность спонтанного излучения находится перемножением энергии фотона hν₂₁ на количество спонтанных переходов в единицу времени:

P_сп=hν₂₁ A₂₁ N₂ (t)V=P_сп⁰exp(-A ₂₁t) (1.21)

где P_сп⁰=hn₂₁ A₂₁ N₂₀ V, V – объем активной среды.

Введем понятие о среднем времени жизни атомов в возбужденном состоянии относительно спонтанных переходов. В рассматриваемой двухуровневой системе атомы, которые покидают возбужденное состояние 2 за время от t до t+Dt, очевидно, находились в этом состоянии на протяжении времени t. Число таких атомов равно N₂A₂₁Dt. Тогда их средняя продолжительность жизни в возбужденном состоянии определяется соотношением:

(1.22)

Представим формулу (1.22) в виде:

(1.21 а)

Величину t_сп можно найти экспериментально, поскольку она фигурирует как параметр в законе затухания спонтанной люминесценции, определяемой формулой (1.21 а).