Точка. Проекции точки на две и три плоскости проекции. Связь прямоугольных координат точки с чертежом.

Проекция точки на 2 плоскости проекции

Выберем в пространстве точку А и опустим из неё на плоскости П1 и П2 перпендикуляры. Тогда мы получим две проекции точки А: А1 - первую или горизонтальную проекцию точки А и А2 - вторую или фронтальную проекцию точки А. Прямые А А1 и А А2 называются проецирующими прямыми или проецирующими лучами.

Перейдем от модели к чертежу. Для этого мысленно удалим точку А и повернём плоскость П1 вместе с отрезком А1 А0 вокруг оси проекций П2 / П1 до совмещения с плоскостью П2.

Полученный чертеж называется эпюром Монжа, ортогональным чертежом или комплексным чертежом.

Прямая А1А2 будет линией связи. Линия связи - это прямая, связывающая пары проекций одной и той же точки, и перпендикулярная оси проекций.

В итоге мы получили двухпроекционный комплексный чертёж точки А.

Утверждение: Две прямоугольные проекции точки полностью определяют её положение в пространстве основных плоскостей проекций.

Проекция точки на 3 плоскости проекции

Построим проекцию точки А на эту плоскость, опустив из точки А перпендикуляр на П3. A3 - третья или профильная проекция точки А. Повернем плоскость П3 вокруг оси OZ до совмещения с плоскостью П2. В итоге плоскости П1, П2 и П3 совместились в одну плоскость.

На чертеже линии связи А2 А1 и А2 А3 перпендикулярны к соответствующим осям: А2 А1 перпендикулярна П2 / П1, а А2 А3 перпендикулярна П2 / П3. Мы получили трёхпроекционный ортогональный чертёж точки А.

По ортогональному чертежу можно судить о расстоянии - r от точки А до плоскостей П1, П2 и П3:

- до П1: r = А2 А12= z (аппликате точки А)

- до П2: r = А1 А12=А3 А23= y (ординате точки А)

- до П3: r = А2 А23= x (абсциссе точки А)

Взаимосвязь между проекциями оригинала на комплексном чертеже заключается в следующем:

Две проекции точки располагаются на одной линии связи.

Линии связи между собой параллельны.

Две проекции точки определяют положение её третей проекции.

 

5. Прямая. Задание прямой и изображение ее на чертеже. Положение прямой относительно плоскостей проекции. Деление отрезка прямой в заданном отношении. Три метода нахождения натуральной величины отрезка прямой.

Прямой общего положения называется прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций. Двухпроекционный и трехпроекционный комплексный чертеж прямой чертится по 2-м точкам, принадлежащим этой прямой.

Положение прямой в системе плоскостей проекций.

1. Прямая общего положения (не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций)

Прямые частного положения:

2. Параллельная плоскостям проекций

- а || П1 - горизонталь

- b || П2 - фронталь

- с || П3 – профильная прямая

3. прямая перпендикулярна плоскостям проекций

- АВ перпендикулярна П1 – горизонтально-проецирующая прямая

- CD перпендикулярна П2 – фронтально-проецирующая прямая

- MN перпендикулярна П3 – профильно-проецирующая прямая

Деление отрезка прямой в заданном отношении

Деление отрезка прямой в заданном отношении производят используя теорему Фалеса

Теорема Фалеса

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Чтобы разделить отрезок в заданном отношении, например 2:1, нужно пристроить к любой из его проекций луч произвольного направления и отложить на нем три произвольных, но равных по длине отрезка. Искомой является точка С

 

В2

С2

А2

 

 

 

С1

А1

 

 

В1

 

 

Методы нахождения натуральной величины отрезка:

Метод прямоугольного треугольника

Натуральную величину отрезка определяют как гипотенузу прямоугольного треугольника, одним из катетов которого является горизонтальная (фронтальная) проекция отрезка, другим разность координат концов отрезка до горизонтальной (фронтальной) плоскости проекций.

Метод вращения

Суть метода вращения состоит в том, что при неизменном положении плоскостей проекций изображаемый объект поворачивается в положение, удобное для решения задачи

Метод замены плоскостей проекций

Прямая неподвижна. Мы вводим дополнительную плоскость проекций, параллельную и, если нужно, перпендикулярную прямой.

 

Метод вращения и замены плоскостей проекций являются методами преобразования эпюра.

 

6. Взаимное положение двух прямых. Конкурирующие точки.

В пространстве две прямые могут либо пересекаться, либо быть параллельными, либо быть скрещенными.

Пересекающиеся прямые

Свойство: если прямые пересекаются, то точки пересечения их одноимённых проекций находятся на одной линии связи.

Параллельные прямые

Свойство: параллельность отрезков прямых сохраняется в проекциях.
Обратное свойство: если проекции прямых на всех плоскостях проекций параллельны, то прямые параллельны.

Скрещивающиеся прямые

Свойство: на чертеже одноименные проекции прямых, взятые отдельно, имеют признаки пересекающихся или параллельных прямых.

Точки, у которых проекции на П₁ совпадают, называют конкурирующими по отношению к плоскости П₁, а точки, у которых проекции на П₂ совпадают, называют конкурирующими по отношению к плоскости П₂.

 

 

7. Плоскость. Способы задания плоскости на чертеже. Положение плоскости относительно плоскостей проекций. Принадлежность прямой линии и точки плоскости. Горизонталь и фронталь плоскости.

Способы задания плоскости:

1. Тремя точками

2. Двумя параллельными прямыми

3. Двумя пересекающимися прямыми

4. Плоской фигурой

5. Точкой и прямой

6. Способ задания с помощью следов (следами)

След – линия пересечения плоскости с плоскостью проекции

Свойство следов: если точка находится на следе, то вторая ее проекция лежит на оси ОХ

Положение плоскости относительно плоскостей проекций.

Плоскости в зависимости от расположения можно подразделить на плоскости частного и общего положения.

Плоскости частного положения:

Проецирующие плоскости – плоскости, перпендикулярные соответственно П1, П2, П3.

Плоскость, перпендикулярная П1 – горизонтально-проецирующая, П2 – фронтально проецирующая, П3 – профильно-проецирующая.

Плоскости, параллельные плоскостям проекций

|| П1 – горизонтальная плоскость

|| П2 – фронтальная плоскость

|| П3 – профильная плоскость

 

Принадлежность прямой линии и точки плоскости

Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие данной плоскости, или через одну точку, принадлежащую заданной плоскости и параллельна прямой, находящейся в этой плоскости.

Точка принадлежит плоскости, если она находится на прямой, принадлежащей этой плоскости.

Горизонталь – прямая, лежащая в плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций.

Фронталь – прямая, лежащая в плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций.

 

Пересечение прямой и плоскости

Точку пересечения прямой определяют в следующей последовательности.

1. Через заданную прямую проводят вспомогательную проецирующую плоскость.

2. Строят линию пересечения данной и вспомогательной плоскостей

3. Определяют положение точки пересечения прямой с построенной линией пересечения плоскостей.

4. Определяется видимость данной прямой относительно данной плоскости

 

 

Взаимное положение плоскостей: параллельность, пересечение

Параллельность:

Признаком параллельности двух плоскостей является условие: плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум

пересекающимся прямым второй плоскости.

Если плоскости заданы следами, то если два пересекающихся между собой следа одной плоскости параллельны одноименным с ними следам другой плоскости, то обе плоскости параллельны между собой.

Пересечение:

В общем случае для построения линии пересечения двух плоскостей надо найти какие-либо две точки, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям; эти точки определяют линию пересечения плоскостей.