Визначення параметрів розподілу випадкових величин та перевірка гіпотез

Статистичні гіпотези - це припущення, котрі відносяться до виду розподілу випадкової величини, або окремих його параметрів. Задача випробування статистичних гіпотез виникає тоді, коли обставини вимушують нас робити вибір між двома способами дії. Для оцінювання параметрів по емпіричним законам формулюється нульова гіпотеза (Н₀) про "відсутність розбіжностей". Нульова гіпотеза є прикладом статистичного висновку: якщо нульову гіпотезу відкинути, то висновок полягає в тому, що у сукупності, котра розглядається є розбіжності, тобто приймається альтернативна гіпотеза Н₁.

Ймовірність з якою може бути відхилена нульова гіпотеза називається рівнем значущості (для медико-біологічних досліджень достатнім є рівень значущості = 0,05). Рівень значущості задається заздалегідь. Ймовірність прийняття правильності рішення (гіпотеза Н₀ є вірною) називається довірчою ймовірністю (для медико-біологічних досліджень р = 0,95).

Перевірка гіпотез, як правило, зводиться до перевірки статистичних характеристик, що оцінюють параметри законів розподілу. Для перевірки гіпотез використовують статистичний критерій К - це правило, яке забезпечує прийняття вірності гіпотези і відхилення хибної з великою ймовірністю. Сукупність значень, при яких основна гіпотеза не приймається, називається критичною областю. Точки, що відділяють критичну область від області прийняття рішень називаються критичними.

Для визначення критичної області задається рівень значущості . Для кожного з критеріїв є таблиці, за якими знаходять значення критичних точок. Задача найкращого вибору критичної області розв'язується звичайно так, щоб критерій перевірки мав найбільшу чутливість, тобто щоб ми мали найбільшу ймовірність попадання нашого критерію в критичну область, коли вірна альтернативна гіпотеза. Ця ймовірність носить назву міцності критерію. В силу того, що гіпотези не можуть бути доведені, а тільки перевірені, при прийнятті гіпотези можливі помилки.

Розглянемо приклад. Процес виробництва ліків є складним. Будь-яке відхилення (навіть незначне) від технології спричиняє появу високотоксичної побічної домішки. Токсичність цієї домішки може бути настільки великою, що навіть така її кількість, яка не може бути визначена при хімічному аналізі, є небезпечною для пацієнта. Тому перед тим, як випускати у продаж партію ліків її досліджують на токсичність біологічними методами: невеликі дози препарату вводяться певній кількості тварин і результати реєструються. Кількість тварин, що загинули, є випадковою величиною. Як правило ін'єктується декілька груп тварин. Дослідження препарату може призвести до однієї з двох можливих дій:

- випустити партію ліків у продаж;

- повернути партію постачальнику для переробки або знищення. Вибір між двома діями може привести до здійснення помилок двох видів:

- визнати препарат безпечним для пацієнтів, коли насправді препарат небезпечний. Ця помилка може коштувати життя пацієнта.

- визнати препарат небезпечним для пацієнтів, коли насправді він є безпечним. Наслідки цієї помилки можуть бути виражені в додаткових фінансових затратах.

Таким чином, наслідки помилок є різними за своїми значеннями, тому при випробуванні гіпотез є важливим уникати однієї із можливих помилок, яка є більш важливіша, ніж інша.

Отже, при перевірці гіпотез можливі помилки двох видів:

· Н₀ відкидається, коли вона правильна - помилка 1-го роду.

· Н₀ приймається, коли правильна Н_І - помилка ІІ- го роду.

Понижуючи рівень значущості ми зменшуємо ймовірність помилки першого роду, але при цьому збільшується ймовірність помилки другого роду. Зазначимо, що чим більша міцність критерію, тим менша ймовірність помилки другого роду.

Етапи перевірки гіпотез

1. Визначення статистичної моделі, що буде використовуватися. Тут висувають деякий набір передумов відносно закону розподілу випадкової величини і її параметрів. Наприклад, закон розподілу нормальний, величини незалежні і т.д.

2. Формулювання нульової та альтернативної гіпотези Н₀ і Н₁.

3. Вибирають критерій, котрий підходить до висуненої статистичної моделі. Вибирають рівень значущості в залежності від надійності висновків, що вимагаються.

4. Визначають критичну область для перевірки гіпотези Н₀.

Якщо значення критерію попадає в цю область, то Н₀ відкидається. При умові, що Н₀ правильна, ймовірність попадання в критичну область дорівнює . Вигляд цієї області (одностороння або двостороння) залежить від прийнятої гіпотези Н₀.

5. Розраховують значення вибраного статистичного критерію для існуючих даних. Порівнюють розраховане значення критерію з критичним і потім вирішують прийняти чи відкинути Н₀.

Критерії перевірки гіпотез

Однією з задач математичної статистики є встановлення узгодженості послідовності спостережень випадкових величин або подій з гіпотезами щодо розподілу випадкової величини (або ймовірності події). Гіпотези, що перевіряються, формулюються або на основі теоретичних міркувань, або в процесі статистичного дослідження.

Перевірка гіпотез, як правило, зводить до оцінювання параметрів закону розподілу. Твердження, які формулюються, стосуються значень параметрів законів розподілу. З таких тверджень формулюються наслідки. Наслідки мають характер імовірнісних тверджень щодо поведінки статистичних характеристик. Перевірка полягає у обчисленні цих характеристик за даними спостережень. Такі характеристики називаються критеріями перевірки (К). Для критеріїв перевірки заздалегідь фіксують рівень значущості , вважаючи що в кожному експерименті подія з ймовірністю менше практично неможлива. Чим менший рівень значущості, тим менша ймовірність відхилити гіпотезу, коли вона є вірною (тобто здійснити помилку 1-го роду). По значенню знайдемо таке число щоб .

Нехай - значення критерію, що розрахований по вибірці:

- якщо , то гіпотеза відхиляється;

- якщо , то гіпотеза приймається.

Розглянемо критерії, що найчастіше використовуються при аналізі медико-біологічних даних.

 

Критерій (критерій Пірсона)

Нехай в експерименті спостерігається одна з подій ; - гіпотетичні ймовірності цих подій. Проведено спостережень, при цьому подія спостерігалась _к разів,

Складемо вираз:

Граничний розподіл є розподілом з ступенями вільності, де - число незалежних параметрів розподілу (для нормального закону =2).

Сформулюємо критерій :

- якщо -приймається нульова гіпотеза Н₀;

- якщо -відхиляється нульова гіпотеза і приймається альтернативна гіпотеза.

 

-критерій Ст'юдента

В медико-біологічних дослідженнях часто виникає задача оцінювання параметрів розподілу за малими вибірками. Для оцінювання параметрів розподілу таких вибірок використовують розподіл Ст'юдента. Розв'язок рівняння: для випадкової величини , розподіленої за законом Ст'юдента з ступенями вільності затабульовано. Тому порівнюють значення розрахованого коефіцієнта з табличним .

Сформулюємо критерій Ст'юдента:

- якщо - приймається нульова гіпотеза Н_о;

- якщо - відхиляється нульова гіпотеза і приймається альтернативна гіпотеза Н₁.

Стійкість критеріїв

Будь-які гіпотези перевіряють, висуваючи спочатку комплекс деяких передумов про закон розподілу випадкової величини. Невиконання передумов робить висновки із відповідних перевірок не відповідними істині. У зв'язку з цим, при розв'язанні реальної задачі необхідно підібрати критерії, що підходять для умов саме цієї задачі. Оскільки існує велика кількість різних критеріїв (особливо непараметричних), це може викликати певні труднощі у спеціалістів, для яких статистичні методи є всього лиш інструментом, яким вони користуються рідко. Тому розглянемо певну послідовність дій, притримуючись якої можна зробити правильний вибір.