Матричный метод решения систем линейных уравнений

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

«Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики»

КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ

УТВЕРЖДАЮ:

Зам. директора по УПР

_______Черненкова Н.В.

«____»__________2011г.

СБОРНИК

Практических занятий

 

По дисциплине: «Элементы высшей математики»

Номера работ: №1 – 16

для специальностей: 230115 – «Программирование в компьютерных системах»

230401 – «Информационные системы»

 

Каждая работа рассчитана на 2 часа

 

 

 

Составлен преподавателем Лобачевой М.Е.

Рассмотрен на заседании П(Ц)К

«Естественнонаучные и общепрофессиональные дисциплины»

Протокол № 1 от 31.08.2011г.

Председатель П(Ц)К________Лобачева М.Е.

 

Самара, 2011г

Практическое занятие №1

Наименование занятия: Операции над матрицами. Вычисление определителей

Цель занятия: Научиться выполнять действия с матрицами, вычислять определители.

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Матрицы и определители».

Литература:

1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.

2. Дадаян А.А. «Математика», 2004г.

Задание на занятие:

1. Даны матрицы и . Найти матрицу С = 5А – 2В.
2. Даны матрицы и . Найти матрицу С = А^Т·В.
3. Даны матрицы и . Найти матрицу С = А·В.
4. Даны матрицы и . Найти матрицу С = А·В – В·А.
5. Вычислить определитель .
6. Вычислить определитель .
7. Вычислить определитель .

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе
2. Выполнить задания
3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;
2. Выполненное задание;
3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Что называется матрицей?
2. Что называется суммой матриц?
3. Что называется произведением матрицы на число?
4. Какая матрица называется транспонированной к матрице А?
5. Как найти произведение двух матриц?
6. В чем состоит обязательное условие существования произведения матриц?
7. Что называется определителем матрицы?
8. Какие способы вычисления определителей вам известны?

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

Матрицей размера m´n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются a_ij, где i - номер строки, а j - номер столбца.

А =

Транспонированной к матрице А называется матрица , у которой строки и столбцы меняются местами.

Например, А = , A^T = ;

Действия с матрицами

1) Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу на число , нужно каждый элемент матрицы умножить на это число: .

2) Сложение матриц. Складывать можно только матрицы с одинаковым числом строк и столбцов, т.е. матрицы одинаковых размеров. Суммой матриц и называется матрица , элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц и , т.е. для любых индексов i, j.

Пример. Даны матрицы А = ; B = , найти 2А + В.

2А = , 2А + В = .

 

3) Умножение матриц. Произведение матрицы на матрицу (обозначается ) определено только в том случае, когда число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . В результате умножения получим матрицу , у которой столько же строк, сколько их в матрице , и столько же столбцов, сколько их в матрице .

Пример. Найти произведение матриц А = и В = .

АВ = × = .

ВА = × = 2×1 + 4×4 + 1×3 = 2 + 16 + 3 = 21.

Пример. Найти произведение матриц А= , В =

АВ = × = = .

 

Определители

Каждой квадратной матрице может быть поставлено в соответствие некоторое число, вычисляемое по определенному правилу с помощью элементов матрицы. Такое число называют определителем (или детерминантом) матрицы и обозначают символом или . При этом порядком определителя называют порядок соответствующей матрицы.

Правила вычисления определителей 2-го и 3-го порядков легко выписать:

,

Последнюю формулу, несмотря на внешнюю сложность записи, нетрудно запомнить. Если соединить линией каждые три элемента определителя, произведение которых входит в правую часть последней формулы со знаком «», то получим легко запоминающуюся схему 1. Аналогично для произведений, входящих со знаком «–», имеем схему 2.

Схема 1 Схема 2

Способы вычисления определителей:

1. Определитель можно вычислить, используя непосредственно его определение. Этим способом удобно вычислять определители второго и третьего порядка.

2. Определитель можно вычислить с помощью его разложения по элементам строки или столбца.

3. Определитель можно вычислить способом приведения к треугольному виду. Чтобы получить треугольный определитель, нужно к какой-либо строке (или столбцу) заданного определителя прибавлять соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число, до тех пор, пока не придем к определителю треугольного вида.

Пример. Вычислить определитель матрицы по правилу треугольников А =

= -5 + 18 + 6 = 19.

Пример. Вычислить определитель с помощью его разложения по элементам первой строки.

 

= -1

 

Значение определителя: -1·10 + 3·2 – 4·10 = -44.

 

Практическое занятие №2

Наименование занятия: Нахождение обратной матрицы. Вычисление ранга матрицы.

Цель занятия: Научиться находить обратные матрицы, вычислять ранг матриц.

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Матрицы и определители».

Литература:

1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.

Задание на занятие:

1. Найти матрицы, обратные заданным. Проверить результат.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5)

 

1. Найти ранг матриц.

1) ;

2)

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе
2. Выполнить задания
3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;
2. Выполненное задание;
3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Какая матрица называется вырожденной, невырожденной?
2. Какая матрица называется обратной по отношению к заданной матрице А?
3. Каково условие существования обратной матрицы?
4. Каков порядок вычисления обратной матрицы?
5. Как найти ранг матрицы?

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

Обратная матрица

Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. В противном случае матрица А называется вырожденной.

Если А – квадратная матрица, то обратной по отношению к А называется матрица, которая при умножении на матрицу А (как слева, так и справа) дает единичную матрицу. Обратная матрица обозначается символом .

Если А – невырожденная матрица, то для нее существует обратная матрица , которая вычисляется по формуле

, где – алгебраическое дополнение элемента .

Пример. Дана матрица А = , найти А^-1.

Найдем определитель матрицы. = 4 – 6 = – 2 ≠ 0, следовательно, для этой матрицы существует обратная. Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы:

А ₁₁ = 4; А ₁₂ = – 3; А ₂₁ = – 2; А ₂₂ = 1

Таким образом, .

Ранг матрицы

Минором порядка матрицы (соответствующим выбранным строкам и столбцам) называется определитель порядка , образованный элементами, стоящими на пересечении выбранных строк и столбцов.

В матрице размеров минор порядка называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры порядка равны нулю или миноров порядка вообще нет, т.е. совпадает с меньшим из чисел m или n.

Рангом матрицы называется порядок базисного минора, или, иначе, самый большой порядок, для которого существуют отличные от нуля миноры.

Вычисление ранга матрицы

Идея практического метода вычисления ранга матрицы заключается в том, что с помощью элементарных преобразований данную матрицу приводят к треугольному виду. Тогда ранг матрицы будет равен числу ненулевых строк в полученной матрице.

Элементарными преобразованиями называют следующие преобразования матриц:

1) Умножение или деление строки на число, отличное от нуля;

2) Сложение и вычитание строк;

3) Перестановку строк;

4) Вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);

5) Транспонирование

Те же операции, применяемые для столбцов, также являются элементарными преобразованиями.

 

Пример: Определить ранг матрицы.

 

~ ~ ~ , Rg = 2.

 

Если с помощью элементарных преобразований не удается найти матрицу, эквивалентную исходной, но меньшего размера, то нахождение ранга матрицы следует начинать с вычисления миноров наивысшего возможного порядка. В вышеприведенном примере – это миноры порядка 3. Если хотя бы один из них не равен нулю, то ранг матрицы равен порядку этого минора.

Практическое занятие №3

Наименование занятия: Решение систем линейных уравнений матричным методом и методом Крамера.

Цель занятия: Научиться решать системы линейных уравнений различными методами.

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Системы линейных уравнений»

Литература:

1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.
2. Дадаян А.А. «Математика», 2004г.

Задание на занятие:

1. Решить системы линейных уравнений в матричной форме и по правилу Крамера.

1)

 

2)

 

3)

4)

 

5)

 

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе
2. Выполнить задания
3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;
2. Выполненное задание;
3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Как записать простейшее матричное уравнение?
2. Укажите алгоритм решения простейшего матричного уравнения.
3. Как проверить правильность решения простейшего матричного уравнения?
4. Сформулируйте теорему Крамера.
5. Запишите формулы Крамера.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

Матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений.

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными:

Практическое занятие №4

Наименование занятия: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Цель занятия: Научиться решать системы линейных уравнений методом Гаусса

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Системы линейных уравнений»

Литература:

1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.
2. Дадаян А.А. «Математика», 2004г.

Задание на занятие:

1. Решить системы линейных уравнений методом Гаусса

1)

 

2)

 

4)

 

5)

 

3)

 

6)

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе
2. Выполнить задания
3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;
2. Выполненное задание;
3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Какие преобразования систем линейных уравнений являются эквивалентными?
2. Опишите алгоритм решения системы линейных уравнений методом Гаусса.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

,

где a_ij – коэффициенты, а b_i – постоянные. Решением системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

Для этой системы линейных уравнений вида матрица

 

А = называется матрицей системы, а матрица

 

А^*= называется расширенной матрицей системы

Метод Гаусса

Суть метода заключается в том, что систему уравнений с помощью элементарных преобразований приводят к эквивалентной ей системе с треугольной матрицей (системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают). Эти действия называются прямым ходом. Затем из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход).

Элементарными преобразованиями систем являются:

1) Умножение или деление коэффициентов и свободных членов на одно и то же число

2) Сложение и вычитание уравнений

3) Перестановка уравнений системы местами.

4) Исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Составим расширенную матрицу системы.

А* = .

Выполним над этой матрицей следующие преобразования:

1) поменяем местами 1 и 2 строки;

2) прибавим к элементам 2 строки 1-ю строку, умноженную на -2;

3) прибавим к элементам 3 строки 1-ю строку, умноженную на -7;

4) прибавим к элементам 3 строки 2-ю строку, умноженную на -3;

А* =

Получили систему с треугольной матрицей. Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем: x ₃ = 2; x ₂ = 5; x ₁ = 1.

 

Практическое занятие №5

Наименование занятия: Операции над векторами

Цель занятия: Научиться выполнять действия с векторами

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Векторы. Операции над векторами»

Литература:

1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.
2. Дадаян А.А. «Математика», 2004г.

Задание на занятие:

1. Даны векторы и . Построить векторы , .
2. Найти координаты векторов , , , если А (2; 3), В (-1; -3), С (-7; 5).
3. Даны векторы = (-2; 4) и = (3; 1). Найти: , , , .
4. Найти длину вектора , если А (5; 2), В (8; -2).
5. Дан треугольник с вершинами А (7; 7), В (4; 3), С (3; 4). Найти его периметр.
6. Отрезок АВ задан точками А (2; 3), В (10; 11). Найти координаты точки С, если известно, что .
7. Найти длину медианы АМ треугольника с вершинами А (7; -4), В (-1; 8), С (-12; -1).
8. Найти скалярное произведение векторов = (5; 7) и = (4; 3).
9. Найти угол между векторами = (4; 0) и = (2; -2).
10. Найти углы треугольника с вершинами А (6; 7), В (3; 3), С (1; -5).

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе
2. Выполнить задания
3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;
2. Выполненное задание;
3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Что называется вектором? Длиной вектора?
2. Как сложить два вектора?
3. Как найти разность двух векторов?
4. Как умножить вектор на число?
5. Как найти координаты вектора, заданного двумя точками?
6. Как найти длину вектора, заданного двумя точками?
7. Как найти длину вектора, заданного своими координатами?
8. Как вычисляется скалярное произведение векторов, заданных своими координатами?
9. Как найти угол между векторами?

ПРИЛОЖЕНИЕ

 

Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевойвектор – это вектор, начало и конец которого совпадают.

Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

Действия над векторами

1. Суммой двух векторов называется вектор , удовлетворяющий условию: если начало вектора перенести в точку, являющуюся концом вектора , начало вектора совпадет с началом вектора , а конец – с концом вектора (правило треугольника).

2. Произведением вектора на число a называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) ;

2) вектор коллинеарен вектору ;

3) вектор соноправлен с вектором ( ­­ ), если a > 0 и противоположно направлен ( ­¯ ), если a < 0.

Координаты вектора

Пусть точки А(х ₁, y ₁) и B(x ₂, y ₂), заданы в прямоугольной декартовой системе координат. Чтобы найти координаты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала т.е. = (x ₂ – x ₁, y ₂ – y ₁).

 

Практическое занятие №6

Наименование занятия: Составление уравнений прямых.

Цель занятия: Научиться составлять уравнения прямых.

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Прямая на плоскости»

Литература:

1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.
2. Дадаян А.А. «Математика», 2004г.

Задание на занятие:

1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку В(5; 3) и имеющей нормальный вектор (5; 0).

2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(3; -2) и имеющей направляющий вектор (-5; 3).

3. Треугольник задан точками А(5; 2), В(-1; -4), С(-5; -3). Составить уравнение прямой, проходящей через точку В параллельно АС.

4. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(1; 3), В(4; 1).

5. Составить уравнения медиан треугольника с вершинами А(7; 0), В(3; 6), С(-1; 1).

6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (2; 3) и перпендикулярной прямой 4 х + 3 у - 12 = 0.

7. Записать уравнения прямых в отрезках и построить их:

а) 2 х + 5 у + 20 = 0;

б) х – 8 у + 4 = 0.

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе
2. Выполнить задания
3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;
2. Выполненное задание;
3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Каким уравнением описывается прямая на плоскости?
2. Записать уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор.
3. Записать уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор.
4. Записать уравнение прямой, проходящей через две точки.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

 

Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А ² + В ² ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Уравнение прямой в отрезках

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 коэффициент С ¹ 0, то, разделив на С, получим: или , где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

 

Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках. А = -1, В = 1, С = 1, тогда а = -1, b = 1. Уравнение прямой в отрезках примет вид .

Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

Находим уравнение стороны АВ: ;

4 x = 6 y – 6; 2 x – 3 y + 3 = 0;

Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.

k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .

Ответ: 3 x + 2 y – 34 = 0.

 

 

Практическое занятие №7

Наименование занятия: Кривые второго порядка.

Цель занятия: Научиться составлять кривых 2-го порядка, строить их.

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Кривые 2-го порядка»

Литература:

1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.
2. Дадаян А.А. «Математика», 2004г.

Задание на занятие:

1. Составить уравнение окружности с центром О(3; -2) и радиусом r = 5. Построить ее.
2. Построить окружность х² + у² + 6 х – 4 у – 3 = 0.
3. Составить каноническое уравнение эллипса, у которого малая ось 2b = 6, а расстояние между фокусами = 8.
4. Найти координаты фокусов, длины осей и эксцентриситет эллипса, заданного уравнением 16 х ² + 25 у ² = 400.
5. Найти координаты фокусов, длины осей, эксцентриситет и уравнения асимптот гиперболы, заданной уравнением 16 х ² – 25 у ² = 400.
6. Составить каноническое уравнение гиперболы, действительная ось которой 2b = 10, а уравнения асимптот имеют вид: .
7. Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, заданной уравнением у ² = 8 х.
8. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если уравнение ее директрисы х + 3 = 0.

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе
2. Выполнить задания
3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;
2. Выполненное задание;
3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Дать определение кривых второго порядка (окружности, эллипса, гиперболы, параболы), записать их канонические уравнения.
2. Что называется эксцентриситетом эллипса, гиперболы? Как его найти?
3. Записать уравнение равносторонней гиперболы

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

 

Окружностью называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром.

Пусть центром окружности является точка О (a; b), а расстояние до любой точки М (х;у) окружности равно R. Тогда (x – a)² + (y – b)² = R ² – каноническое уравнение окружности с центром О (a; b) и радиусом R.

 

Пример. Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде: 2 x ² + 2 y ² – 8x + 5 y – 4 = 0.

Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к каноническому виду. Для этого выделим полные квадраты:

x ² + y ² – 4 x + 2,5 y – 2 = 0

x ² – 4 x + 4 – 4 + y ² + 2,5 y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x – 2)² + (y + 5/4)² – 25/16 – 6 = 0

(x – 2)² + (y + 5/4)² = 121/16

Отсюда находим координаты центра О (2; -5/4); радиус R = 11/4.

 

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (называемых фокусами) есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Фокусы обозначаются буквами F ₁, F ₂, расстояние между фокусами – 2 с, сумма расстояний от любой точки эллипса до фокусов – 2 а (2 а > 2 c), a – большая полуось; b – малая полуось.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид: , где a, b и c связаны между собой равенствами: a² – b² = c² (или b² – a² = c²).

Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к длине большей оси и называется эксцентриситетом. или .

Т.к. по определению 2 а > 2 c, то эксцентриситет всегда выражается правильной дробью, т.е. .

 

Пример. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F₁(0; 0), F₂(1; 1), большая ось равна 2.

Уравнение эллипса имеет вид: .

Расстояние между фокусами: 2 c = , таким образом, a ² – b ² = c ² = . По условию 2 а = 2, следовательно, а = 1, b = Искомое уравнение эллипса примет вид: .

 

Гиперболой называется множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид: или , где a, b и c связаны между собой равенством a² + b² = c². Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат. Фокусы обозначаются буквами F ₁, F ₂, расстояние между фокусами – 2 с, разность расстояний от любой точки гиперболы до фокусов – 2 а (2 а < 2 c). Ось 2 а называется действительной осью гиперболы, ось 2 b – мнимой осью гиперболы. Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к длине действительной оси: или . Т.к. по определению 2 а < 2 c, то эксцентриситет гиперболы всегда выражается неправильной дробью, т.е. .

Если длина действительной оси равна длине мнимой оси, т.е. а = b, ε = , то гипербола называется равносторонней.

Пример. Составить каноническое уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением

Находим фокусное расстояние c ² = 25 – 9 = 16.

Для гиперболы: c ² = a ² + b ² = 16, ε = c/a = 2; c = 2 a; c ² = 4 a ²; a ² = 4; b ² = 16 – 4 = 12.

Тогда - искомое уравнение гиперболы.

 

Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Фокус параболы обозначается буквой F, директриса – d, расстояние от фокуса до директрисы – р.

Каноническое уравнение параболы, фокус которой расположен на оси абсцисс, имеет вид:

y ² = 2 px или y ² = -2 px

Уравнения директрис соответственно x = - p /2, x = p /2

Каноническое уравнение параболы, фокус которой расположен на оси ординат, имеет вид:

х ² = 2 pу или х ² = -2 pу

Уравнения директрис соответственно у = - p /2, у = p /2