График гармонического колебания

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Колеблющиеся системы

Рассмотрим колебания в трех системах:

а) колебания заряда в колебательном контуре L,C;

б) колебания грузика, прикрепленного к пружине;

в) колебание физического маятника - любого тела, совершающего колебания вокруг горизонтальной оси, не проходящей через его центр тяжести.

14.2.2 Колеблющиеся величины
q - заряд	x - координата грузика	φ - угол отклонения
14.2.3. Уравнения движения
Закон Ома (10.7)	Второй закон Ньютона (4.6)	Уравнение динамики вращательного движения (7.3)
14.2.4. Применим закон движения, т.е. учтем особенности наших систем:
Используя другое обозначение производной получим после несложных преобразований:

Мы получили дифференциальные уравнения, описывающие движения наших систем. В первых двух случаях уравнения одинаковы по форме, в третьем случае второй член уравнения содержит не φ, а Sin φ. Если рассматривать только малые отклонения маятника от положения равновесия, то тогда, при φ << 1, Sin φ ≈ φ и мы имеем:

.

Введем обозначения:

,	,	,
,	,	.

 

Дифференциальное уравнение колебательного движения

Для всех трех рассмотренных случаев имеем одно и то же дифференциальное уравнение колебательного движения

.

Решение дифференциального уравнения

Решением дифференциального уравнения называется функция, обращающая это уравнение в тождество.

Нетрудно проверить прямой подстановкой, что в нашем случае решение имеет вид:

,

т.е. является гармонической функцией. Значит уравнение , это дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Сложение колебаний

Векторная диаграмма

Векторная диаграмма - это способ графического задания колебательного движения в виде вектора.

Аналитическое задание колебательного движения		Графическое задание колебательного движения

 

Вдоль горизонтальной оси откладывается колеблющаяся величина ξ (любой физической природы). Вектор , отложенный из точки 0 равен по модулю амплитуде колебания A и направлен под углом α, равным начальной фазе колебания, к оси ξ. Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью ω, равной циклической частоте колебаний, то проекция этого вектора на ось ξ дает значение колеблющейся величины в произвольный момент времени.

Сложение колебаний одинаковой частоты и одинакового направления

Пусть складывается два колебания:

строим векторные диаграммы и складываем векторы:

По теореме косинусов .

Так как

,

то

.

Очевидно (см. диаграмму), что начальная фаза результирующего колебания определяется соотношением:

.

 

Сложение колебаний близких частот

Пусть складывается два колебания с почти одинаковыми частотами, т.е.

, .

Из тригонометрии: . Применяя к нашему случаю, получим:

График результирующего колебания - график биений, т.е. почти гармонических колебаний частоты ω, амплитуда которых медленно меняется с частотой Δω .

Амплитуда из-за наличия знака модуля (амплитуда всегда > 0) частота с которой изменяется амплитуда, равна не Δω /2, а в два раза выше - Δω.

Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний

Пусть маленькое тело колеблется на взаимно-перпендикулярных пружинках одинаковой жесткости. По какой траектории будет двигаться это тело?

Это уравнения траектории в параметрическом виде. Для получения явной зависимости между координатами x и y надо из уравнений исключить параметр t.

 

Из первого уравнения:

; .

Из второго:

.

После подстановки: .

Избавимся от корня:

.

- это уравнение эллипса.

 

Частные случаи:

1. 

 

1. 

1. 

Затухающие колебания

Рассмотрим колебания, происходящие в двух системах:

а) колебания заряда в колебательном контуре L,C, имеющем активное сопротивление R;

б) колебание грузика, прикрепленного к пружинке, учтем влияние трения на движение грузика.

Колеблющиеся системы

 

14.4.2. Законы движения
Закон Ома для неоднородного участка цепи (10.7):	Второй закон Ньютона (4.6):
14.4.3. Применение законов движения, с учетом особенности наших систем
Или, используя другое обозначение производной:
14.4.4. Введем обозначения:

 

Дифференциальное уравнение, описывающее затухающие колебания наших двух систем в этих обозначениях будет иметь один и тот же вид

.

Решение

Каким будет его решение? При (отсутствие сопротивления, трения) оно должно переходить в (см. 14.2).

Наличие затухания, потерь энергии, переход ее из электромагнитной или механической в тепловую приведет к уменьшению амплитуды колебаний с течением времени, станет другой, меньшей чем ω₀, и частота колебаний.

Предположим, что амплитуда убывает по экспоненциальному закону, т.е. A(t) = A₀·e^-βt (e=2,71828...),

тогда решение будем искать в виде:

.

Проверка

Выясним, при каких условиях эта функция будет решением, для этого найдем и подставим в дифференциальное уравнение.

Сгруппируем члены с косинусом и синусом, на A₀e^-βt сократим:

.

Для тождественного обращения левой части в ноль надо, что бы коэффициент при косинусе обращался в ноль (коэффициент при синусе обратился в ноль, т.к. мы "удачно" выбрали A(t) = A₀^βt. Из этого требования следует выражение для - ω частоты затухающих колебаний.